第三章函数及其图象第11讲函数与平面直角坐标系考点一平面直角坐标系1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数对来表示．例如点A在平面内可表示为A(a)，其中a表示点A的横坐标表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的．
2．平面直角坐标系内点的坐标特征(1)各象限内点的坐标的特征点P(x)在第一象限＞0＞0；点P(x)在第二＜0＞0；点P(x)在第三象限＜0＜0；点P(x)在第四象限＞0＜0.
(2)坐标轴上点的坐标的特征点P(x)在x轴上＝0；点P(x)在y轴上＝0；点P(x)在坐标原点＝0＝0.(3)点P(x)到x轴、y轴的距离分别为|y|
考点二特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴(或垂直于y轴)的直线上点的纵坐标相同；(2)平行于y轴(或垂直于x轴)的直线上点的横坐标相同．
2．各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相同；(2)第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．3．对称点的坐标特征点P(x)关于x轴对称的点P的坐标为(x－y)关于y轴对称的点P的坐标为(－x)，关于原点对称的点Px，－y)．以上特征可归纳为：(1)关于x轴对称的两点横坐标相同纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的两点横坐标互为相反数纵坐标相同；(3)关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数．4．点平移的坐标特征(1)将点P(x)向右(或向左)平移a个单位得到对应点P′的坐标是(x±a)；(2)将点P(x)向上(或向下)平移b个单位得到对应点P′的坐标是(x)；(3)将点P(x)先向右(或向左)平移a个单位再向上(或向下)平移b个单位得到对应点的P′坐标是(x±a)．考点三确定物体的位置1．平面内点的位置可以用两个量来确定．2．方法(1)平面直角坐标法；(2)方位角和距离定位法．用方位角和距离定位法确定平面内点的位置时要注意中心点的位置若中心点变化了则方位角与
考点四函数及其图象1．常量与变量在一个变化过程中数值发生变化的量叫做变量数值始终保持不变的量叫做常量．2．自变量与函数的概念(1)一般地在一个变化过程中如果有两个变量x与y并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值都有唯一确定的值与其对应那么就说x是自变量是x的函数．(2)用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式(或函数关系式、函数表达式)．
3．函数的表示方法函数有三种表示方法：解析式法、列表法、图象法这三种方法有时可以互相转化．
4．函数的图象(1)画函数图象一般按下列步骤进行：列表、描点、连线；(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个
温馨提示：
画图象时要注意自变量的取值范围当自变量能取端点值时要注意图象端点画实心圆点；当自变量不取端点值时画空心圆圈．考点五函1．当函数解析式为整式时自变量的取值范围是全体实数；2．当函数解析式为分式时自变量的取值范围是使分母不等于0的实数；3．当函数解析式为偶次方根形式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于0的实数；
4．当自变量出现在0次幂或负整数指数幂的底数中时它的取值范围是使底数不为0的数；5．在一个函数解析式中同时有几种代数式函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．
6．函数值对于自变量的取值范围内的一个确定的值如当x＝a时函数有唯一的对应值这个对应值叫做当x＝a时的函数值．考点六函数图象的判断方法及应用1．根据实际问题判断函数图象时一般需遵循以下四点：(1)找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围对应到函数图象中找出对应点；(2)找特殊点：即指交点或转折点说明图象在此点处将发生变化；(3)判断图象趋势；判断函数的增减性；(4)看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.
2．根据几何动点问题判断出函数图象的题目一般解题思路为设时间为t找出因变量与t之间存在的函数关系并用含t的式子表示再找相对应的函数图象需要注意是否需要对自变量的取值范围进行分类讨论．考点一在坐标系中点的坐标的特征例1(2016·梅州)已知点P(3－m)在第二象限则m的取值范围是．【点拨】∵点P(3－m)在第二象限解得m＞3.【答案】m＞3
方法总结：
已考点二对称点的坐标特征例2(2016·武汉)A(a，1)与点A′(5)关于坐标原点对称则实数a的值是()＝5＝1．＝－5＝1＝5＝－1．＝－5＝－1【点拨】因为点A(a)与点A′(5)关于坐标原点对称所以a＝－5＝－1．故选【答案】
方法总结：
点(x)关于x轴对称的点的坐标为(x－y)即横坐标不变纵坐标互为相反数；点(x)关于轴对称的点的坐标为(－x)，即纵坐标不变横坐标互为相反数；点(x)关于原点对称的点的坐标为(－x－y)即横、纵坐标都互为相反数．考点三求函数自变量的取值范围例3(2016·黄冈)在函数y＝中自变量x的取值范围是()＞0．－4C．x≥－4且x≠0．＞0且x≠－4【点拨】根据二次根式和分式有意义的条件得x＋4≥0且x≠0解得x≥－4且x≠0.故选【答案】方法总结：
求函数自变量的取值范围一般有以下四种情况：(1)当函数解析式为自变量的整式时取全体实数；(2)当函数解析式为分式时分母不为0；(3)当函数解析式为二次根式时要保证被4)当函数解析式为复合式时自变量的取值要同时满足多个条件.考点四函数的图象及应用例4(2016·黄石)如图所示向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是()
【点拨】根据球形容器形状可知当0＜x＜R时增量越来越大；当R＜x＜2R时增量越来越小．故y关于x的函数图象是先凹后凸．故选【答案】
方法总结：
本题主要考查了函数图象的变化特征解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解此类试题时注意如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
1．若点P(2k－1－k)在第四象限则k的取值范围为()＞1．＜＞＜k＜12．如图已知棋子“车”的坐标为(－2－1)棋子“马”的坐标为(1－1)则棋子“炮”的坐标为()
A．(3，2)．(－3)
C．(3－2)．(－3－2)
3．函数y＝中x的取值范围为()－2且x≠0．＞－2且x≠0＞－2．4．(2016·哈尔滨)明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务绿化组工作一段时间后提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S(单位：)与工作时间t(单位：)之间的函数关系如图所示则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是()
【解析】根据图象可知：提高效率后1小时完成的绿化面积＝－1200＝450()，而前4小时已完成1200所以提高效率前每小时完成的绿化面积＝＝150()．故选5．小张的爷爷每天坚持体育锻炼星期天爷爷从家里跑步到公园打了一会儿太极拳然后沿原路慢步走到家下面能反映当天爷爷离家的距离y(米)与时间x(分钟)之间关系的大致图象是()
一、选择题(每小题4分共40分)1．(2016·荆门)在平面直角坐标系中若点(a，－)在第一象限内则点(a，b)所在的象限是()第一象限B．第二象限第三象限D．
【解析】∵点A(a－b)在第一象限内＞0－b＞0＜0点B(a)所在的象限是第四象限．故选
2．点P(－2－3)向左平移1个单位再向上平移3个单位则所得到的点的坐标为()(－3)B．(－1)
C．(－3－6)．(－1)
3．(2016·娄底)函数y＝的自变量x的取值范围是()且＞2【解析】由题意得x≥0且x－2≠0解得x≥0且x≠2.故选4．(2016·南宁)下列各曲线中表示y是x的函数的是()
【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值都有唯一的值与之相对应故选5．(2016·滨州)如图正五边形放入某平面直角坐标系后若顶点的坐标分别是(0)，(－3)，(b，m)，(c，m)，则点的坐标是(【导学号90280116】(2，－3)B．(2)
C．(3)D．(3－2)【解析】∵点A坐标为(0)，∴点A在该平面直角坐标系的y轴上．∵点C的坐标为(b)，(c，m)，∴点C关于y轴对称．∵正五边形ABCDE是轴对称图形该A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴点B也关于y轴对称．∵点B的坐标为(－3)，∴点E的坐标为(3)．故选6．如图在5×4的方格纸中每个小正方形边长为1点O在方格线的交点(格点)上．在第四象限内的格点上找点C使△ABC的面积为3则这样的点C共有()【导学号90280117】个个．个．个
【解析】由方格图可知AB＝3若以AB为底面积为3则高为2.由方格图易得在第四象限这样的格点有3个坐标分别是(1－1)(2，－1)(3，－1)．故选7．(2016·北京)如图直线在某平面直角坐标系中轴∥轴∥点的坐标为(－4)，点的坐标为(2－4)则坐标原点为()【导学号90280118】B．C．D．【解析】因为A点坐标为(－4)，所以原点在点A的右边也在点A的下边2个单位处；因为B点坐标为(2－4)所以原点在点B的左边且在点B的上边4个单位处．如图符合．故选8．(2016·衢州)如图在△ABC中＝BC＝25＝30是AB上一点(不与A重合DE⊥BC，垂足是点E设BD＝x四边形ACED的周长为y则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是()【导学号90280119】
【解析】如图作CM⊥AB于点M.
∵CA＝CB＝30＝BM＝15＝＝20.∵DE⊥BC＝∠CMB＝90＝∠B∴＝＝＝＝＝＝四边形ACED的周长为y＝25＋＋＋30－x＝－＋80.∵0＜x＜30图象是故选9．如果两个变量x之间的函数关系如图所示则函数值y的取值范()
A．－3≤y≤3
【解析】两个变量x之间的函数图象中最高点是(－2)，最低点是C(1)，根据函数的定y的取值范围是0≤故选10．(2016·安徽)一段笔直的公路长20千米途中有一处休息点长15千米甲、乙两名长跑爱好者同时从点出发甲以15千米/时的速度匀速跑至点原地休息半小时后再以10千米/时的速度匀速跑至终点；乙以12千米/时的速度匀速跑至C．下列选项中能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程(千米)与时间(小时)函数关系的图象是()【导学号90280120】
【解析】由题意甲跑了1小时到了B地在B地休息了半个小时小时正好跑到C地乙跑了小时到了C地在C地休息了小时．由此可知正确的图象是故选二、填空题(每小题4分共24分)11．(2016·衡阳)点(x－2＋3)在第一象限则的取值范围是＞2．【解析】∵点P(x－2＋3)在第一象限解得x＞2.12．已知点P(3)关于y轴的对称点为(b，2)，则ab＝－6．13．若第二象限内的点P(x)满足|x|＝3＝25则点P(－3)．【解析】∵|x|＝3＝25＝±3＝±5.点P(x)在第二象限内＜0＞0.x＝－3＝5.点P的坐标为(－3)．14．(2016·遵义)如图1四边形中＝90°从点出发以每秒1个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动设P点的运动时间为秒的面积为关于的函数图象如图2所示当运动到中点时的面积为．【导学号90280121】【解析】由图象可知＋BC＝6＋BC＋CD＝10＝4根据题意可知当P点运动到C点时的面积最大＝＝8,＝又∵S＝＝2,＝1.当点运动到BC中点时的面积＝(AB＋CD)×AD＝5.5
15．(2016·杭州)在平面直角坐标系中已知(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，若线段与互相平分则点关于坐标原点的对称点的坐标为．【导学号90280122】【解析】如图所示：
∵A(2，3)，B(0，1)，C(3，1)，
线段AC与BD互相平分的中点坐标为即D点坐标为(5),∴点D关于坐标原点的对称点的坐标为(－5－3)．(－5－3)16．如图在平面直角坐标系中点A(0)，B(－1)，过点A作AB的垂线交x轴于点A过点A作AA的垂线交y轴于点A过点A作A的垂线交x轴于点A按此规律继续作下去直至得到点A为止则点A坐标为．【导学号90280123】【解析】∵A(0)，B(－1，0)，且AB⊥AA点A的坐标为(3)．同理可得点A的坐标为(0－3)点A的坐标为(－9)，……∵2015÷4＝503……3点A坐标为(－3)．(－3)
三、解答题(共36分)17．(12分)(2016·台州)请用学过的方法研究一类新函数y＝(k为常数)的图象和性质．(1)在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝的图象；解：函数y＝的图象如图所示：
(2)对于函数y＝当自变量x的值增大时函数值y怎样变化？解：①若k＞0当x＜0时随x增大而增大；当x＞0时随x增大而减小．若k＜0当x＜0时随x增大而减小；当x＞0时随x增大而增大．18．(12分)星期天玲玲骑自行车到郊外游玩她离家的距离与时间的关系如图所示请根据图(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？解：观察图象可知：玲玲到达离家最远的地方是12时此时离家30千米；(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？解：观察图象可知：10点半时开始第一次休息休息了半小时；
(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？解：玲玲在返30÷(15－13)＝(千米/时)；(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？解：玲玲全程骑车的平均速度为(30＋30)÷(15－9)＝(千米/时)．19．(12分)在如图所示的三个函数图象中有两个函数图象能近似地刻画a两个情境情境a：小芳离开家不久发现把作业本忘在家于是返回家里找作业本再去学校；情境b：小芳从家出发走了一段路程后为【导学号90280124】(1)情境a所对应的函数图象分别为(填序号)解：情境a：小芳离开家不久即离开家一段路程此时①②③都符合；发现把作业本忘在家于是返回家找作业本即离家的距离逐渐减小至0并停留了一些时间找作业本；又去学校即离家越来越远只有③符合情境a.情境b：小芳从家出发走了一段路程后为了赶时间以更快的速度前进即离家越来越远且没有停留只有①.
(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．解：示例：小芳从家出发去书店买书买完书后又走回家． |
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