第17讲三角形与全等三角形考点一三角形的分类按边分三角形
按角分三角形
考点二三角形的性质1．三角形的内角和是三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边两边之差小于第三边．3．如果三角形的三条边固定那么三角形的形状和大小就确定了三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．
4．三角形中的重要直线或线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点这点叫做三角形的内心它到三角形各边的距离相等；(2)高：三角形的三条高交于一点这点叫做三角形的垂心；
(3)中线：三角形的三条中线交于一点这点叫做三角形的重心；(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点这点叫做三角形的外心外心到三角形三个顶点的距离相等；(5)中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
温馨提示：
三角形边、角之间的关系是三角形的重要性质在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到．学习时应结合图形利用数形结合思想．三角形的角平分线、高、中线、中位线均为线段．
考点三全1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、高、中线、中位线)相等、周长相等、面积相等．
考点四全等三角形的判定1．如果两个三角形的三条边分别对应相等那么这两个三角形全等简记为2．如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等那么这两个三角形全等简记为3．如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等那么这两个三角形全等简记为
4．如果两个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等那么这两个三角形全等简记为5．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等HL.
温馨提示：
1．判定三角形全等必须有一组对应边相等．判定三角形全等时不能错用来判定．
考点一三角形的三边关系例1(2016·盐城)若a为△ABC的三边长且满足|a－4|＋＝0则c的值可以为()．D．
【点拨】∵|a－4|＋＝0∴a－4＝0＝4；b－2＝0b＝2；则4－2
考点二三角形的内角与外角的性质例2(2016·枣庄)如图在△ABC中＝AC＝30为BC延长线上一点与∠ACE的平分线相交D，则∠D的度数为()
【点拨】如图所示，∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，即∠3＋∠4＝∠A＋∠1＋∠2，∴2∠4＝2∠2＋∠A．∵∠4＝∠2＋∠D，∴∠A＝2∠D，∴∠D＝15°.故选A．
【答案】A
方法总结：
本题考查了三角形内角和定理关键是根据三角形内角和是180和三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和这一性质进行分析．
考点三全等三角形的性质与判定例3(2016·昆明)如图点D是AB上一点交AC于点E＝FE求证：AE＝CE.
【点拨】根据平行线的性质得出∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．
证明：∵FC∥AB＝∠ECF＝∠CFE.在△ADE和△CFE中
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AE＝CE.
方法总结：
三角形的性质往往与三角形的全等综合进行考查应用全等三角形的判定与性质证明或计算关键是找准对应
考点四全等三角形的开放性问题例4(2016·永州)如图点D分别在线段AB上与BE相O点已知AB＝AC现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()＝∠C．＝AE＝CE．＝CD
【点拨】∵AB＝AC为公共角如添加∠B＝∠C利用即可证明△ABE≌△ACD；如添加AD＝AE利用即可ABE≌△ACD；如添加BD＝CE由等量关系可得AD＝AE利用即可证明△ABE≌△ACD；如添加BE＝CD利用不能证明△ABE≌△ACD所以此选项不能作为添加的条件．综上所述添加项中的条件不能判定△ABE≌△ACD故选【答案】
方法总结：
根据题目给出的条件和图形隐含的条件考虑能用哪种方法证明再看缺少的条件添
1．(2016·长沙)若一个三角形的两边长分别为3和7则第三边长可能是()2．在△ABC中＝∠B＝2∠C那么这个三角形是()直角三角形．钝角三角形锐角三角形．不能确定
3．如图，在中＝90＝25是AB上一点．将沿CD折叠使点B落在AC边上的点B′处则∠ADB′等于()．．
4．如图在△ABC中和∠ACB的平分线交于点E过点E作MN∥BC交AB于点M交AC于点N若BM＋＝则线段MN的长为()
A．6B．7C．8D．9
5．如图在四边形ABCD中连接BD．请添加一个适当的条件＝CD或∠A＝∠C或∠ADB＝∠CBD使△ABD≌△CDB．(只需写一个)
6．(2016·十堰)如图是CD上一点交AD于点F＝BF.求证：AF＝DF.
证明：∵AB∥CD＝∠DEF.在△ABF和△DEF中
∴△ABF≌△DEF，
∴AF＝DF.
7．如图在△ABC与△DCB中与BD交于点E且＝∠D＝DC．
(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时求∠EBC的度数．
(1)证明：在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE(AAS)．
(2)解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB．
∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°.
一、选择题(每小题3分共36分)1．(2016·岳阳)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()
【解析】A中因为2＋3＝5所以不能构成三角形；B中因为2＋4＜7所以不能构成三角形；C中因为3＋4＜8所以不能构成三角形；D中因为3＋3＞4所以能构成三角形．故选D．
2．下列图形中具有稳定性的是()正方形矩形平行四边形．直角三角形
3．(2016·盐城)若a为△ABC的三边长且满足－4|＋＝0则c()B．6C．7D．8【解析】∵|a－4|＋＝0－4＝0－2＝0＝4＝2.则4－2＜c＜4＋2即2＜c＜6＝5符合条件．故选
4．如图，在△ABC中C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝(C)
A．118°B．119°
C．120°D．121°
5．(2016·乐山)如图是△的外角∠的平分线若∠＝35°＝60°则∠＝()
A．35°B．95°C．85°D．75°
【解析】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°.∵∠ACD＝∠B＋∠A,∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°.故选C．
6．如图，?ABCD中是对角线BD上的两点如果添加一个条件使△ABE≌△CDF则添加的条件不能为()【导学号90280179】＝DF＝DE＝CF．＝∠2【解析】∵四边形是平行四边形＝CD＝若添加BE＝DF则根据“可判定△ABE≌△CDF；若添加BF＝DE由等量减等量差相等得BE＝DF则根据“可判定△ABE≌△CDF；若添加AE＝CF不可判定△ABE≌△CDF；若添加＝则根据“可判定△ABE≌△CDF.根据上述分析可知选故选
7．如图，△ABC中＝AC是BC边的中点的垂直平分线分别交AC于点E则图中全等三角形的对数是(【导学号90280180】对对．对．对【解析】∵D是BC的中点＝BD．∵AB＝AC＝AD＝AC也是底边上的高即BC的垂直平分线＝OB．∵OD＝OD＝＝AC＝AO＝OC是AC的垂直平分线＝CE＝CO又∵OE＝OE综上所述可知有4对全等三角形．故选
8．如图，在△ABC和△BDE中点C在边BD上边AC交边BE于点F若AC＝BD,＝ED＝则∠ACB等于()∠AFB．
【解析】∵AC＝BD,＝ED＝BE＝∠EBD．是△BFC的外角＝＋＝2∠ACB即∠ACB＝故选9．如图是△ABC的角平分线垂足为E交ED的延长线于点F若BC恰好平分∠ABF＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；＝DC；；＝3BF.其中正确的结论共有()【导学号90280181】个个．个．个【解析】∵BF∥AC恰好平分∠ABF＝∠C＝AC．又∵AD是△ABC的角平分线＝正确；在△CDE与△BDF中＝∠DBF＝DB∠CDE＝∠BDF(ASA)，∴DE＝DF＝BF正确；∵AE＝2BF＝3BF正确．综上所述都正确．故选10．如图在方格纸中以为一边作△ABP使之与△ABC全等从P四个点中找出符合条件的点P则点P有()
A．1个个．个．个
【解析】要使△ABP与△ABC全等点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离即3个单位长度根据对应边相等可判断P的位置可以是P三个．故选
11．(2016·资阳)如图两个三角形的9，6，对应阴影部分的面积分别是m则m－n等于()B．3D．无法确定
【解析】设空白处图形的面积为x根据题意得m＋x＝9＋x＝6则m－n＝9－6＝3.故选12．如图，点A为定点定直线是l上一动点点M分别为PA的中点对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；的面积；④直线MN之间的距离；的大小．其中会随点P的移动而变化的是()【导学号90280182】．．【解析】∵点A为定点点M分别为PA的中点是△PAB的中位线＝即线段MN的长度不变故①不符合；PA的长P的移动而变化的周长会随点P的移动而变化故②符合；的长度不变点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半的面积不变故③不符合；
直线MN之间的距离不随点P的移动而变化故不符合；∠APB的大小随点P的移动而变化故⑤符合．综上所述会随点P的移动而变化的是②⑤.故选
二、填空题(每小题4分共20分)13．(2016·济宁)如图中垂足分别为D交于点H请你添加一个适当的条件：使【导学号90280183】
【解析】∵AD⊥BC＝＝∠ADB＝90在中＝90－∠AHE在中＝90－∠CHD＝∠CHD＝∠DCH即∠EAH＝∠BCE.根据添加AH＝CB或EH＝EB；根据AE＝CE.＝CB或EH＝EB或AE＝CE14．(2016·南京)如图四边形ABCD的对角线AC相交于点O下列结论：；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；＝DC．其中所有正确结论的序号是．【解析】∵△ABO≌△ADO,＝∠AOD＝90C⊥BD，故①正确；∵△ABO≌△ADO＝∠DAC＝DA．在△ABC和△ADC中＝AD＝∠DAC＝AC(SAS)，∴BC＝DC故②③正确．综上可得①②③正确．①②③
15．如图，在△ABC中＝5＝3分别为△ABC的中线和角平分线过点C作于点H并延长交AB于点F连接DH则线段DH的长为．【导90280184】
【解析】在△ABC中为△ABC的角平分线＝AC＝3＝HC．∵AB＝5＝2.为△ABC的中线为△CBF的中位线＝＝
16．(2016·河北)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.【导学号90280185】
当∠＜83°时光线射到边上的点后经反射到线段上的点易知∠1＝∠2.若光线又会沿原路返回到点此时∠＝°.
……
若光线从点发出后经若干次反射能沿原路返回到点则锐角∠的最小值＝°.
【解析】∵∠AOB＝70°，A1A2⊥AO，∴∠2＝90°－∠AOB＝83°.∴∠1＝∠2＝83°，∠AA1A2＝180°－∠1－∠2＝180°－83°－83°＝14°，∴∠A＝90°－∠AA1A2＝76°.
如图，光线从点A发出后，经若干次反射，能沿原路返回到A点，则An－1An⊥AO，即∠αn＝90°.
易知β1＝α1＋AOB，α2＝β1＋AOB＝α1＋2∠AOB，β2＝α2＋AOB＝α1＋3AOB，α3＝β2＋∠AOB＝α1＋4∠AOB，…，αn＝α1＋2(n－1)AOB，即A＋2(n－1)×7°＝90°，∠A的最小值为6°.766
17．如图三边的中线AD的公共点是G若S＝12则图中阴影部分的面积是．
【解析】由三角形重心的性质可得AG＝2GD则＝＝S△ABD＝×S△ABC＝＝2.同理S＝2阴影部分的面积为4.4
三、解答题(共44分)18．(12分)(2016·内江)问题引入：(1)如图1在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝90°＋α(用α表示)；如图2，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝120°＋α(用α表示)；
拓展研究：(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝120°－α(用α表示)，并说明理由．
类比研究：
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝－α．
【导学号90280186】解：(1)如图1，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)．在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A＝90°＋α；
如图2，在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－(180°－∠A)＝120°＋∠A＝120°＋α.
(2)如图3，在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋ABC)＝180°－(∠A＋180°)＝120°－α.
(3)在△OBC中，∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－(∠DBC＋∠ECB)＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC)＝180°－(∠A＋180°)＝－α.
19．(16分)(2016·常德)已知四边形ABCD中＝AD连接AC过点A作AE⊥AC且使＝连接BE过A作AH⊥CD于H交BE于F.【导学号90280187】(1)如图1当E在CD的延长线上时求证：；＝EF；(2)如图2当E不在CD的延长线上时＝EF还成立吗？请证明你的结论．
(1)证明：如图1
①∵AB⊥AD，AE⊥AC，
∴∠BAD＝90＝90＝
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE(SAS)．②∵△ABC≌△ADE，∴∠AEC＝∠3.在中＋∠AEC＝90＋∠ACE＝90即∠BCE＝90＝AC＝HE.＝∠BCE＝90＝＝1＝EF.(2)解：结论仍然成立．证明如下：如图2过E作MN∥AH交BA的延长线于点M
∵∠CAE＝90＝90＋∠2＝90＋∠CAD＝90＝∠CAD．＝∠HAE.＋∠CAH＝90＋∠HAE＝90＝∠HAE＝∠ACH.在△MAE和△DAC中
∴△MAE≌△DAC(ASA)，∴AM＝AD．＝AD＝AM.＝＝1＝EF.20．(16分)(2016·长春)感知：如图1平分∠＋∠＝180°＝90°易知：＝【导学号90280188】探究：如图2平分∠＋∠＝180°＜90°求证：＝应用：如图3四边形中＝45°＝135°＝＝则－＝(用a的代数式表示)．探究：证明：如图2中作DE⊥AB于点E作DF⊥AC交AC的延长线于点F
∵DA平分∠BAC＝DF.＋∠ACD＝180＋∠FCD＝180＝∠FCD在△DEB和△DFC中
∴△DEB≌△DFC，∴DB＝DC．应用：解：如图3连接AD作DE⊥AB于点E交AC的延长线于点F
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
△DFC≌△DEB，DF＝DE，CF＝BE.
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
△ADF≌△ADE，AF＝AE，
AB－AC＝(AE＋BE)－(AF－CF)＝2BE.
在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，
BE＝a，AB－AC＝a.
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