第24讲锐角三角函数
考点一锐角三角函数的定义如图在中＝90°的对边分别为a则＝＝＝．温馨提示：
1．锐角三角函数是在直角三角形中定义的．nA表示的是一个整体是指两条线段的比没有单位．锐角三角函数的大小仅与角的大小有关与该角所处的直角三角形的大小无关．当A为锐角时＜＜1＜＜1＞0.考点二特殊角的三角函数值温馨提示：
1．30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子从小到大分别是1，，，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°，45°，60°角的余弦值的分母也都是2，而分子从大到小分别是，，1，余弦值随角度的增大而减小．
2．30°，60°角的正切值互为倒数，都和有关，45°角的正切值是1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大．
考点三三角函数之间的关系1．同角三角函数之间的关系
sin2α＋cos2α＝1；tanα＝.
2互余两角的三角函数之间的关系若∠A＋∠B＝90则＝＝＝1．3．锐角三角函数的增减性
当α为锐角时，0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，且sinα，tanα的值都随α的增大而增大；cosα的值随α的增大而减小．
这些关系式都是恒等式正反均可运用同时还要注意它们的变形公式．考点一锐角三角函数的定义例1(2016·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()
＝＝＝＝【点拨】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，sinB＝.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，sinB＝.在Rt△ADC中，sin∠DAC＝.∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴sinB＝sin∠DAC＝.综上，只有C项不正确．故选C．
【答案】C
方法总结：
在直角三角形中根据锐角三角函数的定义代入对应的边即可表示出要求的三角函数；若没有图形考点二特殊角的三角函数值和三角函数之间的关系
例2(2016·永州)下列式子错误的是()
A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1D．sin60°＝2sin30°
【点拨】A．cos40°＝cos(90°－50°)＝sin50°，式子正确；B．tan15°·tan75°＝tan15°·＝1，式子正确；C．sin225°＋cos225°＝1，式子正确；D．sin60°＝，sin30°＝，则sin60°≠2sin30°，式子错误．故选D．
【答案】方法总结：
本题考查了互余两角(∠A＋∠B＝90)的正弦和余弦及正切之间的关系1)一个角的正弦等于其余角的余弦即＝；(2)一个角正弦的平方与其余弦的平方的和等于1即＋＝1；(3)一个角的正切与其余角的正切互为倒数即＝考点三三角函数的增减性例3如图若锐角△ABC内接于⊙O点D在⊙O外(与点C在AB同侧)则下列三个结论：＞sin；＞；③＞中．正确的结论为()．．【点拨】如图，连接BE根据圆周角定理可得∠C＝∠AEB＝∠D＋∠DBE＞∠D．＞根据锐角三角形函数的增减性可得＞故①正确；＜故②错误；＞故③正确．故选【答案】
方法总结：
当0°＜α＜90°时，0＜sinα＜1，且sinα随α的增大而增大；0＜cosα＜1，且cosα随α的增大而减小；tanα＞0，且tanα随α的增大而增大．
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA等于(A)
B．C．D．
2．如图已知△ABC的三个顶点均在格点上则的值为()
A．B．C．D．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC点在格点上设每个小正方形的边长为1由勾AB＝＝＝＝2在中＝＝＝故选
3．把△ABC三边的长度都扩大到原来的3倍则锐角A的正弦值()不变B．缩小为原来的扩大到原来的3倍D．不能确定
4．在锐角三角形ABC中若＋(1－)2＝0则∠C的度数是()A．45°B．60°C．75°D．105°5．如图在△ABC中＝90点D在AC上将△BCD沿BD翻折点C落在斜边AB上若＝＝5则＝．
6．已知α是锐角且tanα＝，则sinα＋cosα＝．
7．已知△ABC中，∠A与∠B满足(1－tanA)2＋＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sinA)2－2－(3＋tanC)0的值．
解：(1)∵(1－tanA)2＋＝0，∴1－tanA＝0，cosB－＝0，∴tanA＝1，cosB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
∴△ABC是锐角三角形．
(2)由(1)知＝＝(1＋)2－－(3＋)0＝－2－1＝1＋＋－－1＝一、选择题(每小题4分，共48分)
1．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝(D)
A．B．
C．D．
2．(2016·永州)下列式子错误的是()
A．cos40°＝sin50°B．tan15°·tan75°＝1
C．sin225°＋cos225°＝1D．sin60°＝2sin30°
【解析】sin40°＝sin(90°－50°)＝cos50°；tan15°·tan75°＝tan15°·cot15°＝1；sin225°＋cos225°＝1；sin60°＝，sin30°＝，则sin60°＝2sin30°错误．故选D．
【答案】D
3．(2016·淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上．线段AB，PQ相交于点M.则图中∠QMB的正切值是()【导学号90280264】
A．B．1C．D．2
【解析】如图，过点P作PC∥AB，连接QC．则∠QMB＝∠P，借助网格可判断PQ＝2，PC＝2，QC＝4，PQ2＝PC2＋QC2，
∴三角形PCQ为直角三角形，∠PCQ＝90°，∴tan∠QMB＝tanP＝＝2.故选D．
【答案】D
4．(2016·绵阳)如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为()【导学号90280265】
A．B．
C．D．
【解析】∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°.∵D是AB中点，DE⊥AB,∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝36°，∠BEC＝180°－∠EBC－∠C＝72°，∴∠BEC＝∠C,∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC．设AE＝x，则BE＝BC＝x，CE＝4－x.在△BCE与△ABC中，∠CBE＝∠BAC＝36°，∠C＝∠ABC＝72°，∴△BCE∽△ABC，∴CE∶BC＝BE∶AC，即＝，解得x＝－2±2(负值舍去)，∴AE＝－2＋2.在△ADE中，∵∠ADE＝90°，∴cosA＝＝＝.故选C．
【答案】C
5．(2016·福州)如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是()
A．(sinα，sinα)B．(cosα，cosα)
C．(cosα，sinα)D．(sinα，cosα)
【解析】如图，过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，则点P的坐标为(cosα，sinα)．故选C．
【答案】C
6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(C)
A．B．C．D．
7．在△ABC中，(tanA－3)2＋|2cosB－|＝0，则△ABC为()
【导学号90280266】
A．直角三角形
B．等边三角形
C．含60°的任意三角形
D．是顶角为钝角的等腰三角形
【解析】∵(tanA－3)2＋|2cosB－|＝0，∴tanA－3＝0，2cosB－＝0.∴tanA＝，cosB＝.∴∠A＝60°，∠B＝30°.∴△ABC为直角三角形．故选A．
【答案】A
8．(2016·攀枝花)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD＝()
A．B．C．D．
【解析】∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5.如图，连接CD，∵∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝.故选D．
【答案】D
9．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为()
A．B．C．D．
【解析】如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB＝，即＝，∴设AD＝5x(x＞0)，则AB＝3x.∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA．
∴＝＝＝.∴CE＝x，DE＝x.∴AE＝x.∴tan∠CAD＝＝.故选D．
【答案】D
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为()
【导学号90280267】A．B．－1C．2－D．
【解析】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°.
∴DE＝EC＝DC＝AC．∴tan∠DBC＝＝＝.故选A．
【答案】A
11．(2016·菏泽)如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为()【导学号90280268】
A．25∶9B．5∶3C．∶D．5∶3【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，∴AD＝AB·sinB，A′D′＝A′B′·sinB′，BC＝2BD＝2AB·cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′·cosB′.∵∠B＋∠B′＝90°，∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB．
∵S△BAC＝AD·BC＝AB·sinB·2AB·cosB＝25sinB·cosB，S△A′B′C′＝A′D′·B′C′＝A′B′·cosB′·2A′B′·sinB′＝9sinB·cosB，∴S△BAC∶S△A′B′C′＝25∶9.故选A．
【答案】A
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2，则tan∠MCN＝()
【导学号90280269】
A．B．C．D．－2
【解析】如图，连接AC，MN，∵在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC＝AC，AB＝AD，∴Rt△ABC≌Rt△ADC．
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝2，BM＝4.在Rt△BMC中，根据勾股定理，得MC＝2，同理可得NC＝2.在△AMN中，∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴MN＝2.在△CMN中，MC＝2，NC＝2，MN＝2，过点M作MH⊥CN于点H，并设AC与MN的交点为O，CO＝＝3.由面积相等，
可得MN·CO＝CN·MH，即2×3＝2MH，MH＝，CH＝＝.∴在Rt△MHC中，tan∠MCN＝＝.故选A．
【答案】A
二、填空题(每小题4分，共20分)
13．(2016·杭州)tan60°＝．
14．(2016·临沂)一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝1.类似地，可以求得sin15°的值是．
【解析】sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°·cos45°－cos60°·sin45°＝×－×＝.
【答案】
15．(2016·福州)如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．【导学号90280270】
【解析】如图，延长BC交网格于格点E，连接EA，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝a，EB＝2a∴∠AEB＝90°，∴tan∠ABC＝＝＝.
【答案】
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝．
【导学号90280271】
【解析】如图，作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠BAC．在Rt△ABD中，AD＝＝＝3.∵∠BPC＝∠BAC，∴tan∠BPC＝tan∠BAD＝＝.
【答案】
17．(2016·盐城)已知△ABC中，tanB＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为．
【导学号90280272】
【解析】如图1所示，
∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1,∴BD＝4.
∵AD⊥BC，tanB＝，∴AD∶BD＝，
∴AD＝BD＝，
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×＝8；
如图2所示，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12.
∵AD⊥BC，tanB＝，∴AD∶BD＝，
∴AD＝BD＝8,
∴S△ABC＝BC·AD＝×6×8＝24.
综上可知，△ABC面积的所有可能值为8或24.
【答案】8或24
三、解答题(共32分)
18．(每小题4分，共8分)
(1)计算：cos60°＋sin45°＋tan30°·cos30°.
解：原式＝＋×＋×＝＋＋＝.
(2)计算：(2015－π)0＋＋|－1|－3tan30°＋6.解：原式＝1－3＋－1－3×＋2＝2－3.
19．(6分)(2016·连云港)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝.
(1)求BC的长；
解：如图1所示，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2,CD＝AC·cos30°＝4×＝2.
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，∴BD＝16，
∴BC＝BD－CD＝16－2；
(2)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2)．
解：如图2所示，在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM.
∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
∴tan15°＝tan∠AMD＝＝＝≈≈0.3.
20．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．
【导学号90280273】
(1)求证：△ACE≌△AFE；分析：可用AAS证明也可用HL证明两个直角三角形全等；
证明：方法1：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE.又∵AE＝AE，∠C＝∠AFE＝90°，∴△ACE≌△AFE.
方法2：∵AE平分∠CAB，∠C＝90°，EF⊥AB于点F，∴EC＝EF.又∵AE＝AE，∴△ACE≌△AFE.
(2)求tan∠CAE的值．
分析：设AB＝3x(x>0)，因此AC，AF，BF，BC均能用含x的代数式表示，再在△BEF中利用勾股定理，将EF，CE转化为用含x的代数式表示，从而tan∠CAE可求．
解：设AB＝3x(x>0)，则AF＝AC＝2x，∴BC＝＝＝x.由(1)知CE＝EF，设CE＝EF＝m(m＞0)．在△BEF中，BE2＝EF2＋BF2，即(x－m)2＝m2＋x2，∵x≠0，∴m＝x.故tan∠CAE＝＝＝.
点评：本题考查了直角三角形全等的判定及锐角正切的概念，解题的关键是第(2)问求CE与AC，可通过设AB＝3x，用含x的代数式表示CE.
21．(10分)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°＝，cos30°＝，
则sin230°＋cos230°＝1；①
sin45°＝，cos45°＝，
则sin245°＋cos245°＝1；②
sin60°＝，cos60°＝，
则sin260°＋cos260°＝1；③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝1．【导学号90280274】
(1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
(1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H，则BH2＋AH2＝AB2，sinA＝，cosA＝.
∴sin2A＋cos2A＝＋＝＝1.
(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝，求cosA．
解：∵sin2A＋cos2A＝1，sinA＝，∴cos2A＝1－＝.∵cosA>0，∴cosA＝.
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