第25讲解直角三角形及应用考点一解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形(直角三角形中除直角外一共有5个元素即3条边和2个锐角)．
2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：＝＝＝＝＝＝3．解直角三角形的类型已知条件 解法 两直角边
(如a，b) 由tanA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝ 斜边、一直
角边(如c，a) 由sinA＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝ 一锐角与邻
边(如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tanA；c＝ 一锐角与对
边(如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝；c＝ 斜边与一锐
角(如c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sinA；b＝c·cosA
温馨提示：
解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)无斜用切(正切)宁乘勿除取原避中”．考点二解直角三角形的应用1．仰角、俯角如图在测量时视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的角叫做仰角在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度(坡比)、坡角如图1坡面的高度h和水平距离l的比叫做坡度(或坡比)即i＝tanα＝坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
3．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图，A点位于O点的北偏东60°方向．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．
考点一解直角三角形例1(2016·兰州)在Rt△ABC中，∠C＝90°，
＝＝6则AB＝()【点拨】如图在中＝90＝＝＝6＝＝＝10.故选
【答案】
方法总结：
解直角三角形时结合图形根据题目的已知条件选择合适的表达式求解．一般地尽可能选择乘法表达式并尽可能使用题
考点二用直角三角形的边角关系解一般三角形例2在△ABC中＝12＝13＝则BC边长()B．8C．8或17D．7或17【点拨】结合题意画图如下：图1图2∵cosB＝，∴∠B＝45°.作AD⊥BC，则AD＝BD＝12.∴CD＝＝＝5.如图1，BD＝12＋5＝17；如图2，BD＝12－5＝7.故选D．
【答案】当三角形不是直角三角形时可以通过作高构造直角三角形求解.考点三解直角三角形的应用
例3(2016·邵阳)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，
求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.73)．【点拨】根据sin75°＝＝，求出OC的长，根据tan30°＝，再求出BC的长即可求解．解：在Rt△ACO中，sin75°＝＝≈0.97，
解得OC≈38.8，
在Rt△BCO中，tan30°＝＝≈，
解得BC≈67.3.
答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm.
方法总结：
仰角、俯角问题和坡度、坡角问(1)仰角、俯角问题中若出现两个不同的仰角(俯角)或一个仰角、一个俯角．解决此类问题时一般是设出未知数用同一个未知数表示问题中的未知量然后根据问题中的数量关系列出方程求解；(2)坡度、坡角问题中两个直角三角形有公共的直角边先求出公共边是解决此类题目的基本出发点．1．(2016·南宁)如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(C)
A．5sin36°米B．5cos36°米
C．5tan36°米D．10tan36°米
2．如图市政府准备修建一座高AB＝6的过街天桥已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为则坡面AC的长度为()．．．m
3．某舰艇以28海里/时向东航行．在A处测得灯塔M在北偏东60°方向，半小时后到B处．又测得灯塔M在北偏东45°方向，此时灯塔与舰艇的距离MB是(C)
(＋1)海里．海里(＋)海里．14海里4．如图，两个建筑物AB和CD的水平距离为30m，张明同学住在建筑物AB内10楼P室，他观测建筑物CD楼的顶部D处的仰角为30°，测得底部C处的俯角为45°，求建筑物CD的高度．(≈1．73，结果保留整数)
解：如图，过点P作PE⊥CD于E则四边形BCEP是矩形．＝BC＝30()．在中＝30°＝30＝PE·°＝30×＝10()．在中＝45°＝30＝PE·°＝30×1＝30()．＝DE＋CE＝30＋10＋17.3≈47()．答：建筑物CD的高度约为475．(2016·广安)如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1．5米，为了安全现要做一个不锈钢扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB＝66.5°.(参考数据：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92)
(1)求点D与点C的高度DH；(2)求所有不锈钢材料的总长度(即AD＋AB＋BC的长结果精确到0.1米)．解：(1)DH＝1．5×＝1．2(米)；
(2)如图过点B作BM⊥AD于点M
在矩形BCHM中＝BC＝1米＝AD＋DH－MH＝1＋1．2－1＝1．2(米)在中＝(米)所有不锈钢材料的总长度为1＋3.0＋1＝5.0(米)．
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．(2016·怀化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为()
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【解析】∵sinA＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2＋BC2＝AB2，∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x＝2或x＝－2(舍去)，则BC＝4x＝8(cm)．故选C．
【答案】C
2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为(A)
A．6B．7.5C．8D．12.5
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C)
A．2海里B．2sin55°海里
C．2cos55°海里D．2tan55°海里
4．(2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()【导学号90280275】
A．B．
C．D．
【解析】依题意，知PB′＝PA，设PA＝x，则PC＝x－1.在Rt△PB′C中，sinα＝＝，解得x＝.故选A．
【答案】A
5．如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为()
A．5米B．6米
C．8米D．(3＋)米
【解析】设CD＝x米，则AD＝2x米，由勾股定理，可得AC＝＝x(米)．∵AC＝3米，∴x＝3.∴x＝3.∴CD＝3米．∴AD＝2×3＝6(米)．在Rt△ABD中，BD＝＝8(米)．∴BC＝8－3＝5(米)．故选A．【答案】A
6．如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为()【导学号90280276】
A．(11－2)米B．(11－2)米
C．(11－2)米D．(11－4)米
【解析】如图，延长OD，BC相交于点P.∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，∴在Rt△CPD中，DP＝＝2(米)，PC＝＝4(米)．∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，∴＝，∴PB＝＝＝11(米)，∴BC＝PB－PC＝(11－4)米．故选D．
【答案】D
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，则AB的长为()
A．3＋B．2＋2C．5D．
【解析】如图，作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝，AD＝3.在Rt△BCD中，tanB＝，∴BD＝＝2.∴AB＝AD＋BD＝5.故选C．【答案】C
8．(2016·巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()
A．斜坡AB的坡度是10°
B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝米
【解析】坡度是坡角的正切值，斜坡AB的坡度i＝＝tan10°.故选B．
【答案】B
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，cosA＝，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则DE的长为()
A．B．C．D．2
【解析】∵∠ACB＝90°，cosA＝，∴＝.又∵BC＝3，AC2＋BC2＝AB2，∴AB＝5，AC＝4.∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝2.5∠EDB=90°.
∴∠ACB＝∠EDB．又∵∠ABC＝∠EBD，∴△ABC∽△EBD，∴＝，即＝，解得ED＝.故选B．
【答案】B
10．(2016·重庆)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为()
(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)【导学号90280277】A．30.6B．32.1C．37.9D．39.4【解析】如图，延长AB交DC于点H，作EG⊥AB于点G.
则GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1∶，∴BH∶CH＝1∶，设BH＝x米，则CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得x2＋(x)2＝122，解得x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH－BH＝15－6＝9(米)，EG＝DH＝CH＋CD＝(6＋20)米．∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°－45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝(6＋20)米，∴AB＝AG＋BG＝6＋20＋9≈39.4(米)．故选D．【答案】D
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．(2016·黔南州)为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出个这样的停车位．(取≈1.4，结果保留整数)
【导学号90280278】【解析】如图，
CE＝＝2(米)，BC＝(5－2)×sin45°＝(5－2)×＝(米)．设至多可划出x个车位，依题意可列不等式2x＋56,将≈1.4代入不等式，化简整理，得2.8x53.9，解得x19.25，因为x是正整数，所以x＝19，所以这个路段最多可以划出19个这样的停车位．
【答案】19
12．(2016·十堰)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．请根据这些数据求出河的宽度为米．(结果保留根号)
【导学号90280279】
【解析】如图，作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H，K，则四边形BHCK是矩形，
设CK＝HB＝x米，∵∠CKA＝90°，∠CAK＝45°，∴∠CAK＝∠ACK＝45°，∴AK＝CK＝x米，BK＝HC＝AK－AB＝(x－30)米，∴HD＝x－30＋10＝(x－20)米．在Rt△BHD中，tan∠HBD＝，即＝，解得x＝30＋10.∴河的宽度为(30＋10)米．
【答案】30＋1013．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m．(结果保留根号)
【解析】在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴CD＝BD＝9m．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝30°，∴AD＝CD·tan30°＝9×＝3(m)．∴AB＝AD＋BD＝(9＋3)m.
【答案】9＋3
14．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．
【导学号90280280】
【解析】如图，过点A作AM⊥AD交DC的延长线于点M，连接BM，∵∠ADC＝45°，∴△DAM为等腰直角三角形．∴AD＝AM.又∵∠ABC＝∠ACB＝45°，∴△CAB也是一个等腰直角三角形，∴AC＝AB．又∵∠DAC＋∠CAM＝∠CAM＋∠MAB＝90°，∴∠DAC＝∠MAB．∴△DAC≌MAB，∴BM＝DC＝3，∠AMB＝∠ADC＝45°.又∵∠AMC＝45°，∴∠DMB＝90°.∵在Rt△DAM中，DM＝＝4，∴在Rt△DMB中，BD＝＝.
【答案】15．(2016·东营)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝.那么矩形ABCD的周长为cm.
【导学号90280281】
【解析】∵tan∠EFC＝，∴设CE＝3k(k＞0)，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝5k，∴DC＝AB＝8k.
∵∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k.
在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝＝＝5k＝5，解得k＝1.
故矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(8k＋10k)＝36(cm)．
【答案】36
三、解答题(共35分)
16．(10分)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°.轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，
它们的速度分别为45km/h和36km/h.经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
【导学号90280282】
解：设B处距离码头O有xkm.在Rt△CAO中，
∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO·tan∠CAO＝(45×0.1＋x)·tan45°＝(4.5＋x)km.
在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO·tan∠DBO＝x·tan58°(km)．
∵DC＝DO－CO，∴36×0.1＝x·tan58°－(4.5＋x)．
∴x＝≈＝13.5.
答：此时B处距离码头O大约有13.5km.
17．(12分)(2016·漳州)如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为米，tanA＝.现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．(结果保留根号)
【导学号90280283】
解：根据题意，得
△ABE和△BDC是直角三角形．
∴∠3＝∠4＝90°.
∵∠A＋∠2＝90°，∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠A．
∴tan∠1＝tanA＝.
在Rt△BCD中，tan∠1＝，
设CD＝x，则BD＝3x，∴x2＋(3x)2＝()2，
∴x＝，∴BD＝3x＝(米)．
答：BD的长为米．
18．(13分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BADC，其中AB∥CD．瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α＝31°，
观测渔船N的俯角β＝45°，已知NM所在的直线与PC所在的直线垂直，垂足为点E，PE长为30米．【导学号90280284】
(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；
分析：在Rt△PME中求出ME，在Rt△PNE中求出NE，用ME－NE即可得MN；解：在Rt△PEN中，EN＝PE＝30米．
在Rt△PEM中，ME＝≈＝50(米)，
∴MN＝EM－EN＝20(米)．
答：两渔船M，N之间的距离为20米．
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH的坡度i＝1∶1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
分析：利用背水坡的坡度和加固后的坡度及坝高求出AH的长度，结合DF的长度及坝高求出梯形DAHF的面积，进而求出加固的大坝的体积，即土石方量，然后利用分式方程求出原计划平均每天填筑的土石方量．
解：如图，过点F作FM∥AD交AH于点M，过点F作FN⊥AH交直线AH于点N，
则四边形DFMA为平行四边形，∠FMA＝∠DAB，
DF＝AM＝3米，
由题意，知tan∠FMA＝tan∠DAB＝4，tanH＝.
在Rt△FNH中，NH＝＝＝36(米)．
在Rt△FNM中，MN＝＝＝6(米)．
∴HM＝HN－MN＝36－6＝30(米)，
∴AH＝AM＋HM＝3＋30＝33(米)．
∴S梯形DAHF＝·FN·(DF＋AH)＝×24×(3＋33)＝432(平方米)．
故需要填筑的土石方共V＝S×L＝432×100＝43200(立方米)．
设原计划平均每天填筑x立方米，则原计划天完成，增加机械设备后，现在平均每天填筑x立方米，则12x＋×1.5x＝43200，解得x＝600.
检验：当x＝600时，x≠0，∴x＝600是原分式方程的解，且满足实际意义．
答：该施工队原计划平均每天填筑600立方米的土石方．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能将实际问题转化为解直角三角形问题．
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