第七章图形的变化第26讲轴对称与中心对称
考点一轴对称图形与轴对称1．轴对称图形如果一个平面图形沿着一条直线折叠后直线两旁的部分能够互相重合那么这个图形就叫做轴对称图形．
2．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠如果它能够和另一个图形重合那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称这条直线叫做对称轴折叠后重合的点是对应点叫做对称点．3．轴对称的基本性质
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等对应角相等．4．轴对称和轴对称图形的区别轴对称涉及两个图形是两个图形的位置关系；轴对称图形是对一个图形本身而言的.考点二中心对称图形与中心对称1．中心对称图形在平面内把一个图形绕某一个点旋转180°如果旋转后的图形能与原来的图形重合那么这个图形就叫做中心对称图形这个点叫做它的对称中心旋转前后图形上能够重合的点叫做对称点．2．中心对称在平面内，把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，那么这个点叫做对称中心，旋转前后两个图形上能够重合的点叫做关于中心的对称点．
3．中心对称的性质(1)关于中心对称的两个图形对称点所连线段都经过对称中心并且被对称中心平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等形；(3)点P(x)关于原点的对称点P′的坐标为(－x－y)．考点一识别中心对称图形与轴对称图形1(2016·宜昌)如图若要添加一条线段使之既是轴()
【点拨】选项既是轴对称图形又是中心对称图形符合题意；选项既不是轴对称图形也不是中心对称图形不符合题意；选项是轴对称图形不是中心对称图形．故选【答案】
方法总结：
根据轴对称图形和中心对称图形的定义判定：如果一个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分完全重合则这个图形为轴对称图形；如果一个图形绕某点旋转180°后能够与原图形重合则这个图形为中心对称图形．考点二轴对称例2如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在边AC上，将△ABC沿着DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝65°，则∠BDF等于()
B．50°C．60°D．57.5°
【点拨】由轴对称的性质，可得AD＝DF.∵D为△ABC边AB的中点，∴AD＝DB．∴DF＝DB．∴∠DFB＝∠B＝65°.∴∠BDF＝180°－65°－65°＝50°.故选B．
【答案】B
方法总结：
折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对称．折叠前后的两个图形是全等形对应线考点三画轴对称图形例3(2016·临夏州)如图在平面直角坐标系中的顶点A(0)，B(3，2)，C(1，4)均在正方形网格的格点(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A；(2)将△A沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A写出顶点A的坐标．【点拨】(1)直接利用关于x轴对称的点的性质得出各对应点位置进而得出答案；(2)直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．解：(1)如图所示1B1C1即为所求．
(2)由上图可知(0，－1)(3，－2)(1，－4)将它们分别向左平移3个单位得点A(－3－1)(0，－2)(－2－4)．
方法总结：
作一个图形的轴对称图形一种方法是通过作垂线并截取作出各个关键点的对称点顺次连接关键点即可得到；另一种方法是根据关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标的特点求出1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志在这四个标志中是轴对称图形的是()
2．(2016·厦门)已知△ABC的周长是1＝1－2AB则下列直线一定为△ABC的对称轴的是()的边AB的垂直平分线的平分线所在的直线的边BC上的中线所在的直线的边AC上的高所在的直线3．如图，若?ABCD与?BCFE关于BC所在的直线对称，∠ABE＝86°，则∠E等于(A)
．．4．若∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是(D)
A．OP1⊥OP2，OP1≠OP2
B．OP1＝OP与OP不垂直与OP不垂直＝OP5．如图四边形ABCD是菱形是两条对角线的交点过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时阴影部分的面积为．
6．在如图所示的直角坐标系中每个小方格都是边长为1的正方形的顶点均在格点上点A的坐标是(－3－1)．
(1)将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A画出△A并写出点B的坐标；(2)画出△Ay轴对称的△A并写出点C的坐标．解：(1)△A如图所示点B(－2－1)．(2)△A2B2C2如图所示(1，1)．
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2016·北京)甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是(D)
2．(2016·成都)平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴对称的点的坐标为(A)
A．(－2，－3)B．(2，－3)
C．(－3，－2)D．(3，－2)
3．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是(A)
4．如图，在四个“米”字格的正方形内涂上阴影，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(B)
5．(2016·南充)如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是()【导学号90280294】
A．AM＝BMB．AP＝BN
C．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，点A与点B对应，∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM.∵点P是直线MN上的点，∴∠MAP＝∠MBP，∴A，C，D正确，∵根据已知条件无法确定AP＝BN，∴B错误．故选B．
【答案】B
6．(2016·呼和浩特)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，得到的数字是(B)
A．96B．69C．66D．99
【解析】将数字“69”旋转180°，得到的数字仍是69.故选B．
7．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()
【导学号90280295】
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【解析】由中心对称图形的性质可知，标号为①的两个长方形是完全重合的，标号为②的两个正方形是完全重合的．设正方形③的边长为a,正方形②的边长为b，则整个长方形的长为b＋a＋b＝2b＋a，宽为b＋(b－a)＝2b－a,∴原住房平面图长方形的周长＝2(2b＋a＋2b－a)＝8b，长方形①的周长为2(a＋b＋b－a)＝4b，正方形②的周长为4b，正方形③的周长为4a.故选A．
【答案】A
8．(2016·台州)小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()
A．1次B．2次C．3次D．4次
【解析】如图，四边形ABCD，点E，F分别为AD，BC的中点．若沿EF对折，完全重合，则AB＝CD，∠A＝∠D，∠B＝∠C；
若沿对角线BD对折，也完全垂合，则∠A＝∠C，AD＝CD，AB＝BC．综上AB＝CD＝AD＝BC，∠A＝∠C＝∠D＝∠B＝90°.∴四边形ABCD是正方形．故最少对折2次可验证四边形丝巾的形状是正方形．故选B．
【答案】B
9．一张菱形纸片按图①、图②依次对折后，再按图③打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()
【导学号90280296】
【解析】观察上面的折叠方法，展开图中的圆形小孔关于菱形的对角线对称，故可排除D；又由图③可知，圆形小孔在折叠图中的较大锐角处，则展开后应在菱形的较大的内角处，不在中间的直角或较小锐角处，故排除A，B．故选C．
【答案】C
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为()【导学号90280297】
A．10B．8C．5D．6【解析】如图，由题意可得，作点B关于AC的对称点B′，连接BB′交AC于点E，连接AB′，过点B′作B′N⊥AB于点N，交AC于点M，连接MB，此时BM＋NM＝B′N最小．
∵AB＝10，BC＝5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝5.∵S△ABC＝·AB·BC＝AC·BE，∴BE＝＝＝2.∵BB′＝2BE，∴BB′＝4.设AN＝x，则BN＝10－x，∵AB′＝AB＝10，由勾股定理，可得102－x2＝(4)2－(10－x)2，解得x＝6，∴B′N＝＝8.故选B．
【答案】B
11．(2016·宿迁)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为()【导学号90280298】
A．2B．C．D．1【解析】∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，∴FB＝AB＝2.又∵M，N分别为BC，AD的中点，∴BM＝1，∴在Rt△BMF中，FM＝＝＝.故选B．
【答案】B
12．(2016·湖州)如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，BC＝7.如图2，在底边BC上取一点D，连接AD，使得∠DAC＝∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连接BE，得到四边形ABED．则BE的长是()
【导学号90280299】
A．4B．C．3D．2
【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC．∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC－CD＝.设AE与BD相交于点M，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA＝∠C，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，AD＝CD，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD－DM＝.∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A，B，E，D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，
∴＝，∴BE＝＝＝.故选B．
【答案】B
二、填空题(每小题4分，共20分)
13．(2016·赤峰)下列图形是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是①②③(填序号)．
14．(2016·娄底)如图，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD的周长为．
【解析】∵将△ABC沿直线DE折叠后，点A与点C重合，∴AD＝CD．∵AB＝7，BC＝6，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝BC＋BD＋AD＝BC＋AB＝7＋6＝13.
【答案】13
15．(2016·内江)如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．【导学号90280300】
【解析】如图，点C关于OA的对称点C′(－1，0)，点C关于直线AB的对称点C″(7，6),连接C′C″与AO交于点E，与AB交于点D，此时△DEC的周长最小，
△DEC的周长＝EC＋DE＋CD＝EC′＋DE＋DC″＝C′C″＝＝10.
【答案】10
16．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝．【导学号90280301】
【解析】分两种情况讨论：①如图1，若过B点裁剪得
BEDF，由∠FBD＝∠BDE＝∠BDF，得BF＝DF，即BEDF是菱形．过点E作EG⊥CD，由∠EDG＝30°，
设EG＝a(a＞0)，则DE＝FD＝2a.由a·2a＝2，得a＝1.∴DF＝BF＝DE＝2.又∵∠C＝90°，∠BFC＝60°，∴CF＝.从而CD＝CF＋DF＝2＋；
②如图2，若过B点裁剪得ABCE，类似①可得ABCE是菱形，且BC＝2.作BF∥AD交CD于点F，则∠BFC＝∠ADC＝30°，得BF＝2BC＝4，CF＝BC·tan60°＝2.
又∵∠DBF＝∠BDF＝15°，∴BF＝DF＝4，∴CD＝CF＋DF＝4＋2.故答案为2＋或4＋2.
【答案】2＋或4＋2
17．(2016·金华)如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是.【导学号90280302】
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10.由折叠的性质可得AB′＝AB＝10，B′D＝BD．若△DEB′为直角三角形，而∠B′＝∠B≠90°，故可分∠B′DE＝90°与∠B′ED＝90°两种情况讨论：①如图1，当∠B′DE＝90°时，作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，由题意可得四边形CFB′D是矩形，∴CF＝B′D＝BD，B′F＝CD，设BD＝x，则B′F＝8－x，AF＝6＋x，在Rt△AFB′中，(6＋x)2＋(8－x)2＝102，解得x1＝2，x2＝0(舍去)．②如图2，当∠B′ED＝90°时，AB′与AC重合，∴B′C＝AB′－AC＝4.设BD＝x，则CD＝8－x，在Rt△B′CD中，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.综上所述，BD的长为2或5.
【答案】2或5
三、解答题(共32分)
18．(8分)(2016·宁波)下列3×3网格都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
(1)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
(3)选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．
(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形)
解：如图所示．
19．(12分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；(2)将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2＝C2B2.
分析：(1)分别作出△ABC各顶点A，B，C关于直线l的对称点，然后连接各点即可；(2)先根据平移作出线段A2C2，再根据线段垂直平分线的性质作出等腰三角形A2B2C2.
解：(1)△A1B1C1如图所示．
(2)线段A2C2和△A2B2C2如图所示．(符合条件的△A2B2C2不唯一)
点评：轴对称作图与平移作图是中考作图题中常见的题型，作图的关键是作出原图中关键点的对应点．
20．(12分)(2016·徐州)如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N.
【导学号90280303】
(1)若CM＝x，则CH＝－x2＋3(用含x的代数式表示);
解：∵CM＝x，BC＝6,
设CH＝y，则BH＝HM＝6－y，
∴y2＋x2＝(6－y)2，
整理得y＝－x2＋3.
(2)求折痕GH的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
设CM＝x，由题意可得ED＝3，DM＝6－x，∠EMH＝∠B＝90°，故∠HMC＋∠EMD＝90°.
∵∠HMC＋∠MHC＝90°，
∴∠EMD＝∠MHC,∴△EDM∽△MCH,
∴＝，即＝，
解得x1＝2，x2＝6(不合题意舍去)，
∴CM＝2，∴DM＝4，
∴在Rt△DEM中，由勾股定理得EM＝5，
∴NE＝MN－EM＝6－5＝1.
∵∠NEG＝∠DEM，∠N＝∠D，∴△NEG∽△DEM，
∴＝，∴＝，解得NG＝.
由翻折变换的性质，得AG＝NG＝.
如图，过点G作GP⊥BC于点P,则BP＝AG＝，GP＝AB＝6.
∵x＝2，∴CH＝－x2＋3＝，
∴PH＝BC－HC－BP＝6－－＝2，
在Rt△GPH中，GH＝＝＝2.
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