第八章圆第29讲圆的有关概念及性质考点一圆的有关概念及性质1．圆的两种定义(1)定义1：在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径．(2)定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；劣弧；大于半圆的弧叫优弧．3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦；直径等于半径的2倍．
4．圆的对称性(1)圆是轴对称图形经过圆心的每一条直线都2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆绕圆心旋转任意角度都能和原来的图形重合这就是圆的旋转不变性．考点二垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．如图是⊙O的直径为弦垂足为E则AE＝EB＝，＝2．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对
温馨提示：
不重合的两条直径一定互相平分但不一定互相垂直只有被平分的弦不是直径时才互相垂直．考点三圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等．2．推在同圆或等圆中如果两条弧相等那么它们所对的圆心角相等所对的弦相等；在同圆或等圆中如果两条弦相等那么它们所对的圆心角相等所对的弧相等．
考点四圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半．如图，圆周角∠C和圆心角∠AOB都对着则∠C＝3．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角°的圆周角所对的弦是直径．温馨提示：
1．圆周角定理的意义在于把圆周角和圆心角这两类不同的角联系在一起．同一条弧所对的圆周角相等；同一条弦所对的圆周角相等或互补．当已知条件中有直径时常常作直径所对的圆
考点五圆内接四边形性质定理1．性质定理1：圆内接四边形的对角互补．2．性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内对角．如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠BCD＝∠B＋∠D＝180°，∠DCE＝∠A．
考点六圆的性质的应用1．垂径定理的应用用垂径定即弦心距)则垂足为弦的中点再解由半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到目的．
2．借助在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角或圆心角相等进行角的等量代换；也可在同圆或等圆中由相等的圆周角所对的弧(或弦)相等进行弧(或弦)的等量代换．考点一垂径定理及其推论例1(2016·黄石)如图所示的半径为13弦AB的长度是24垂足为N则ON＝()
A．5B．7C．9D．11
【点拨】因为ON⊥AB所以AN＝BN＝＝12.又在中＝13由勾股定理可得ON＝＝5.故A．【答案】考点二圆心角、弧、弦的关系
例2(2016·兰州)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，∠BOC＝()
A．40°B．45°C．50°D．60°
【点拨】在⊙O中，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－∠A－∠B＝80°.∵点C是的中点，∴＝，∴∠COB＝∠AOC＝∠AOB＝40°.故选A．
【答案】A
方法总结：
在圆中证明两条弧、两条弦、两个圆心角中的一组相等时可以考虑通过说明其他两组量中的一组相等来证明．考点三圆例3(2016·乐山)如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝()
【点拨】因为CA＝CD，∠ACD＝40°，所以∠ADC＝∠DAC＝70°.又因为∠ADC和∠ABC都是所对的圆周角，所以∠ADC＝∠ABC＝70°.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠CAB＝180°－90°－∠ABC＝180°－90°－70°＝20°.故选B．
【答案】B
考点四垂径定理的应用例4(2016·绍兴)如图1小敏利用课余时间制作了一个脸盆架图2是它的截面图A，B，AB＝40脸盆的最低点C到AB的距离为10则该脸盆的半径为
【点拨】如图，设脸盆的圆心为点O连接OA交AB于点D则OC⊥AB所以AD＝BD＝AB＝20＝10设圆O的半径为r则OD＝(r－)cm.在中由勾股定理可得＝＋即r＝20＋(r－10)解得r＝25.【答案】25
方法总结：
有关在半圆、优弧、劣弧中求相关数量的题目常通过连接半径、作出弦心距从而利用垂径定理构造直角三角形解答．1．如图在⊙O中半径OD⊥弦AB于点C则下列结论：＝BC；＝DB；③∠DAB＝；＝其中正确的结论是()B．②③④仅有①②2．(2016·海南)如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠ABC的度数为(B)
3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示已知水杯内径8cm，水的最大深度是2则杯底有水部分的面积是()A．cm2B．cm2
C．cm2D．cm2
【解析】如图，设水面与小圆的两个交点为点A和点B，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB交AB于点D．∵小圆的直径是8cm，∴OA＝OB＝OC＝4cm.∴OD＝4－2＝2(cm)．∴AD＝＝2(cm)，∴AB＝2AD＝4(cm)．
在Rt△AOD中，cos∠AOD＝＝＝，∴∠AOD＝60°.同理∠BOD＝60°.∴∠AOB＝120°.∴S＝S扇形AOB－SΔAOB＝－×4×2＝cm2.故选A．4.如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，∠A＝60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD＝10，则BC＝20．
5．(2016·呼和浩特)在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为．
【解析】如图设AB与⊙O的切点为E连接EO并延长交CD于点F连接CO.
∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB．又∵AB∥CD，∴OF⊥CD．∵⊙O的周长为26π，∴2π·OE＝26π，
∴OE＝13.∵AB和CD之间的距离为18，
∴OF＝18－13＝5.在Rt△COF中＋OF＝CO＝＝＝12.∵OF⊥CD＝2CF＝24.24
6．如图在⊙O中是直径是弦(1)P是上一点(不与C重合)求证：∠CPD＝；(2)点P′在上(不与C重合)时CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．(1)证明：如图连接OD是直径＝＝∠DOB＝∠COD．
又∵∠CPD＝＝∠COB．
(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180证明如下：如图易知∠CPD＋∠CP′D＝180又由(1)知∠CPD＝∠COB′D＋∠COB＝180一、选择题(每小题4分，共48分)
1．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB＝20°，则∠DBA为(D)
A．50°B．20°C．60°D．70°
2．如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B)
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
3．(2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为()
A．140°
B．70°C．60°D．40°
【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，∴∠DOE＝180°－40°＝140°，∴∠P＝∠DOE＝70°.故选B．
【答案】B
4．(2016·聊城)如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，F是弧CD上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为()
【导学号90280329】
A．45°B．50°C．55°D．60°
【解析】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－105°＝75°.∵＝，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCE＝75°－25°＝50°.故选B．
【答案】B
5．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D．要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是()
A．AD＝BDB．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB
【解析】由半径OC⊥AB及垂径定理可知AD＝BD，OACB中两条对角线互相垂直，且一条对角线被另一条平分.根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可知若添加条件OD＝CD，即可说明四边形OACB为菱形．故选B．
【答案】B
6．(2016·丽水)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是()【导学号90280330】
A．3B．2C．1D．1.2
【解析】∵等腰Rt△ABC，BC＝4,∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4，∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，∴BD＝.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE,∴△ADE∽△BCE.∵AD∶BC＝∶4＝1∶5，∴相似比为1∶5.
设AE＝x，∴BE＝5x，∴DE＝－5x,∴CE＝28－25x，∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得x＝1.故选C．
【答案】C
7．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点，若AB＝5，BC＝3，则AP的长不可能是()
A．3B．4C．D．5
【解析】如图，连接AC，∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C＝90°.∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4.∵点P是上任意一点，∴4AP≤5.故选A．
【答案】A
8．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为()
A．68°B．88°C．90°D．112°
【解析】如图，∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心、以AB的长为半径的圆上．∵∠CBD＝2∠BDC，∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∴∠CAD＝2∠BAC，而∠BAC＝44°，∴∠CAD＝88°.故选B．
【答案】B
9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为()
【导学号90280331】
A．45°B．30°C．75°D．60°
【解析】如图，作半径OC⊥AB于点D，连接OA，OB．∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD＝CD，∴OD＝OC＝OA，∴∠OAD＝30°.而OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴∠AOB＝120°，
∴∠APB＝∠AOB＝60°.故选D．
【答案】D
10．(2016·杭州)如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上(不与A，C重合)，点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E.若∠AOB＝3∠ADB，则()【导学号90280332】
A．DE＝EBB．DE＝EB
C．DE＝DOD．DE＝OB【解析】如图，连接OE.∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB．∵∠AOB＝∠B＋∠D，∠OEB＝∠EOD＋∠D，∠AOB＝3∠ADB，∴∠B＝∠OEB＝2∠D．∴∠DOE＝∠D．∴DE＝OE＝OB．故选D．
【答案】D
11．(2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是()
【导学号90280333】
A．120°B．135°C．150°D．165°
【解析】如图，连接OB，过点O作OE⊥AB于点E，分别交AB于点E，交⊙O于点F，则∠BEO＝90°，∠EOD＝90°.根据折叠的特征得OE＝OF，又半径OF＝OB，所以OE＝OB，
在Rt△BEO中，利用直角三角形的性质，得∠EBO＝30°，因此∠BOE＝90°－30°＝60°，从而∠BOC＝∠BOE＋∠EOC＝60°＋90°＝150°，结合“圆心角的度数与它所对弧的度数相等”可知的度数为150°.故选C．
【答案】C
12．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为()
【导学号90280334】
A．2cmB．4cm
C．2cm或4cmD．2cm或4cm【解析】如图，连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)，OD＝OC＝5cm.当点C的位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3(cm)，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝＝＝4(cm)；当点C的位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝＝＝2(cm)．故选C．
【答案】C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m.
【解析】如图，连接OD，OB，作OE⊥AB，垂足为E，与CD交于点F，则OB＝1m，EB＝0.6m．根据勾股定理，得OE＝0.8m．∵EF＝0.2m，∴OF＝0.6m．在Rt△ODF中，OF＝0.6m，OD＝1m，得FD＝0.8m，∴CD＝1.6m.
【答案】1.6
14．(2016·扬州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为．
【解析】如图所示，连接CD，∵∠B＝∠DAC，∴＝，∴AC＝CD．∵AD为直径，∴∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝4，∴AC＝CD＝AD＝×4＝2.
【答案】2
15．(2016·成都)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝．【导学号90280335】
【解析】如图，作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°.
∵AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，∴∠ACE＝∠AHB．∵∠B＝∠E，∴△ABH∽△AEC，∴＝，∴AB＝.∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，∴AB＝＝.
【答案】
16．(2016·海南)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧ABC上，AB＝8，BC＝3，则DP＝．
【导学号90280336】
【解析】∵AB和DE是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD＝4，∠C＝90°.又∵DE⊥AC，∴OP∥BC，∴△AOP∽△ABC，∴＝，即＝，∴OP＝1.5，∴DP＝OD＋OP＝5.5.
【答案】5.5
三、解答题(共36分)
17．(12分)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，且CF∥BD．【导学号90280337】
(1)求证：BE＝CE；分析：证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明
证明：∵AD是⊙O直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD．
∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；BED≌△CEF，得到CF＝BD，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD＝CD，可得出结论．
解：四边形BFCD是菱形．理由如下：
∵AD是⊙O的直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE.
∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
∴△BED≌△CEF，∴BD＝CF.∴四边形BFCD是平行四边形．∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD．∴四边形BFCD是菱形．
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．DE＝x，则根据CE2＝DE·AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD.
解：∵AD是⊙O直径，AD⊥BC，∴Rt△CED∽Rt△AEC．∴CE2＝DE·AE，设DE＝x，则AE＝10－x.∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)．在Rt△CED中，CD＝＝＝2.
点评：本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．
18．(12分)(2016·呼和浩特)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
【导学号90280338】
(1)求证：∠FBC＝∠FCB；
证明：∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠FBC＋∠FAC＝180°.
∵∠CAD＋∠FAC＝180°，
∴∠FBC＝∠CAD．
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD．
∵∠EAD＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠CAD，
又∵∠FAB＝∠FCB，
∴∠FBC＝∠FCB．
(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．
解：由(1)得，∠FBC＝∠FCB，
又∵∠FCB＝∠FAB，
∴∠FAB＝∠FBC．
∵∠BFA＝∠BFD，
∴△AFB∽△BFD，
∴＝，∴BF2＝FA·FD＝12，
∴BF＝2.
∵FA＝2，∴FD＝6，AD＝4.
∵AB为圆的直径，
∴∠BFA＝∠BCA＝90°，
∴tan∠FBA＝＝＝，
∴∠FBA＝30°.
又∵∠FDB＝∠FBA＝30°，
∴CD＝AD·cos30°＝4×＝2.
19．(12分)(2016·苏州)如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.【导学号90280339】
(1)证明：∠E＝∠C；
证明：如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C．
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠AFD＝180°－∠CFD，∴∠CFD＝∠E＝55°.
又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝，E是的中点，求EG·ED的值．
解：如图，连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，∴AB＝6.
∵E是的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°.
∵AO＝OE＝3，∴AE＝3.
∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，∴＝，
即EG·ED＝AE2＝18.
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