第31讲与圆有关的计算
考点一弧长与扇形的面积1．如果弧长为l圆心角为n°圆的半径为R那么弧长的计算公式为l＝．
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°所在圆的半径为R弧长为l面积为S则S扇形＝或S扇形＝．
温馨提示：
扇形面积公式S扇形＝与三角形面积公式十分类似可把扇形想象为曲边三角形l看作底看作底边上的高．考点二圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽是圆柱的母线长(或高)l，如果圆柱的底面圆的半径是r，则S圆柱侧＝Cl＝2πrl．
2．如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．
考点三阴影部分的面积1．规则图形：按规则图形的面积公式求．2．不规则图形：采用“转化”考点一弧长与扇形的面积例1(2016·成都)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则弧BC的长为()
A．πB．πC．πD．π
【点拨】∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝50°，∴∠BOC＝∠A＋∠OCA＝100°.又∵AB为⊙O的直径，且AB＝4，∴OB＝AB＝2，∴l＝＝＝π.故选B．
【答案】考点二与圆柱和圆锥有关的计算例2(2016·广东)如图把一个圆锥沿母线OA剪开展开后得到扇形AOC已知圆锥的高h为12＝13则扇形AOC中的长是(计算结果保留π)．
【点拨】因为圆锥的高h＝12cm，OA＝13cm，所以圆锥的底面半径r＝＝5(cm)，所以的长为2πr＝2π×5＝10π(cm)．
【答案】10π
考点三不规则图形的面积例3(2016·苏州)如图是⊙O的直径是⊙O的弦过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠AD，CD＝3则图中阴影部分的面积为．
【点拨】如图，连接OC，因为CD是切线，所以∠OCD＝90°.因为OA＝OC，所以∠A＝∠ACO，所以∠COD＝2∠A．又因为∠A＝∠D，∠COD＋∠D＝90°，所以3∠D＝90°，所以∠D＝30°，∠COD＝60°.又因为CD＝3，所以OC＝，所以阴影部分的面积＝S△COD－S扇形BOC＝××3－＝.【答案】
方法总结：
在计算不规则转化时常用的方法：(1)割补法；(2)拼凑法；(3)等积变形法；(4)构造方程法等．1．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是(C)
A．πB．2πC．3πD．4π
2．一个扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是(A)
A．20πcmB．10πcmC．10cmD．20cm
3．(2016·荆门)如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是(C)
A．12cmB．6cmC．3cmD．2cm
4．(2016·潍坊)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是()
A．－πB．－π
C．－D．－
【解析】如图，连接OD，过点O作OE⊥AB，垂足为点E，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝＝＝6，
∴OA＝OC＝OD＝AC＝3.
由圆周角定理得∠COD＝2∠A＝60°，
∴∠DOE＝∠AOD＝(180°－60°)＝60°.
在Rt△DOE中，OE＝OD·cos∠DOE＝3×cos60°＝，DE＝OD·sin∠DOE＝3×sin60°＝，
∴S阴影＝S△ABC－S△AOD－S扇形COD＝×6×2－2×××－＝－.故选A．
5．一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆的半径是(C)
A．B．C．或D．或
6．如图是等腰直角三角形＝90°分别交⊙O于E与⊙O切于点CAB＝cm，则的长等于πcm．
7．(2016·新疆)如图在⊙O中半径OA⊥OB过OA的中点C作交⊙O于D两点且CD＝以点O为圆心为半径作交OB于E点．(1)求⊙O的半径OA的长；(2)计算阴影部分的面积．解：(1)如图，连接OD∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°.
∵C是AO的中点，CD＝，∴OC＝OA．
∴OD＝OA＝2OC．
在Rt△OCD中，设OC＝x，则OD＝2x.
由勾股定理，得OC2＋CD2＝OD2，
∴x2＋()2＝(2x)2.
解得x＝1，∴OD＝2x＝2.
∴⊙O的半径OA的长为2.
(2)∵sin∠CDO＝＝，∴∠CDO＝30°.
∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠CDO＝30°.
S阴影＝S△COD＋S扇形BOD－S扇形COE
＝×1×＋－＝＋.
一、选择题(每小题4分，共48分)
1．(2016·兰州)如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．5πcm
【解析】由弧长公式l＝＝＝3π(cm)．故选C．
【答案】C
2．(2016·青岛)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()
A．175πcm2B．350πcm2
C．πcm2D．150πcm2
【解析】∵AB＝25cm，BD＝15cm，∴AD＝10cm，∴S贴纸＝2×＝350π(cm2)．故选B．【答案】B
3．(2016·临沂)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C．若∠ACB＝30°，AB＝，则阴影部分的面积是()
【导学号90280352】
A．B．C．－D．－
【解析】如图，连接OB．∵AB是⊙O切线，∴OB⊥AB．∵OC＝OB，∠C＝30°，∴∠C＝∠OBC＝30°，∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB＝，∠A＝30°，∴OB＝1，∴S阴＝S△ABO－S扇形OBD＝×1×－＝－.故选C．【答案】C
4．(2016·自贡)圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为()
A．12πcm2B．26πcm2
C．πcm2D．(4＋16)πcm2【解析】底面半径为4cm，则底面周长＝8πcm，底面面积＝16πcm2.由勾股定理得母线长＝＝(cm)，圆锥的侧面面积＝×8π×＝4π(cm2)，∴它的表面积＝16π＋4π＝(4＋16)π(cm2).故选D．【答案】D5．(2016·重庆)如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是()【导学号90280353】
A．B．＋C．D．＋
【解析】∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∵AC＝BC＝，∴△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，∴S△AOC＝S△BOC，OA＝AC＝1，∴S阴影部分＝S扇形AOC＝＝.故选A．
【答案】A
6．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，则阴影部分的面积为(结果保留π)()
A．24－4πB．32－4πC．32－8πD．16
【解析】如图，连接AD，OD．∵AB＝AC＝8，∴AO＝DO＝4，AD＝4.∴阴影部分的面积＝S梯形AODC－S扇形OAD＝－＝24－4π.故选A．【答案】A
7．如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为()A．288°B．144°C．216°D．120°
【解析】∵底面圆的半径与母线长的比是4∶5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长为5x，设圆心角为n°，则2π×4x＝，解得n＝288.故选A．
【答案】A
8．(2016·山西)如图，在ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为()
A．B．C．πD．2π
【解析】如图，连接OE，OF,∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°.∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴l＝＝π.故选C．
【答案】C
9．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮(⊙O)上剪出一个圆心角为60°的扇形(点A，B，C在⊙O上)，将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是()
【导学号90280354】
A．mB．mC．mD．1m
【解析】如图，连接OA，作OD⊥AB于点D．在Rt△OAD中，OA＝1m，∠OAD＝∠BAC＝30°，则AD＝OA·cos30°＝.则AB＝2AD＝，则扇形的弧长是＝π(m)．设圆锥底面圆的半径是r，则2πr＝π，解得r＝.故选A．
【答案】A
10．(2016·台湾)如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B＝75°，∠C＝60°，且弧BC的长度为4π，则BC的长度为()
A．8B．8C．16D．16
【解析】如图，连接OB，OC,
∵∠B＝75°，∠C＝60°，∴∠A＝45°，∴∠BOC＝90°.∵的长度为4π，∴＝4π，∴OB＝8,
∴BC＝＝8.故选B．
【答案】B
11．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为()
【导学号90280355】
A．πB．πC．πD．π
【解析】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形．由题意，得S△AED＝S△ABC，由图形可知，S阴影＝S△AED＋S扇形ADB－S△ABC，∴S阴影＝S扇形ADB＝＝π.故选A．
【答案】A
12．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD，DC相切，与AB，CB的延长线分别相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为()
【导学号90280356】
A．＋B．＋πC．－D．2＋
【解析】如图，取AD与⊙B的切点为G，连接BG，则∠AGB＝90°.∵∠BAG＝60°，AB＝2，∴BG＝，AG＝1，S△ABG＝·AG·BG＝，S扇形HBG＝＝.∴S1＝S△ABG－S扇形HBG＝－.由对称关系可知，S2＝S1.∵S扇形FBE＝＝π，∴S阴影＝S1＋S2＋S扇形FBE＝2×＋π＝＋.故选A．
【答案】A
二、填空题(每小题4分，共20分)
13．(2016·广州)如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝12，OP＝6，则劣弧AB的长为．
【解析】如图，连接OA，OB,∵AB为小⊙O的切线，∴OP⊥AB，
∴AP＝BP＝AB＝6.∵tan∠AOP＝＝，∴∠AOP＝60°，∴∠AOB＝120°，∠OAP＝30°，∴OA＝2OP＝12，∴劣弧AB的长为＝＝8π.
【答案】8π
14．(2016·聊城)如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为．
【解析】在Rt△ABO中，∠BAO＝30°，AO＝.∵tan∠BAO＝，∴BO＝tan30°＝1，1，∴AB＝＝2，即圆锥的母线长为2，∴圆锥的侧面积＝×2π×1×2＝2π.
【答案】2π
15．(2016·莆田)如图，CD为⊙O的弦，直径AB为4，AB⊥CD于E，∠A＝30°，则弧BC的长为(结果保留π)．
【解析】如图，连接AC,∵CD为⊙O的弦，AB是⊙O的直径，∴CE＝DE.∵AB⊥CD，∴AC＝AD，∴∠CAB＝∠DAB＝30°，∴∠COB＝60°，∴l＝＝π.
【答案】π
16．(2016·滨州)如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径长作弧，则图中阴影部分的面积是．【导学号90280357】
【解析】∵正△ABC的边长为2，∴△ABC的面积为×2×＝，扇形ABC的面积为＝π，＝3×＝2π－3.
【答案】2π－317．(2016·连云港)如图，⊙P的半径为5，A，B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD(点D，P在直线AB两侧)．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为．
【导学号90280358】
【解析】如图，连接PA，PD，过点P作PE垂直AB于点E，延长PE交CD于点F.∵AB是⊙P上一条弦，且PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝3.在Rt△AEP中，AE＝3，PA＝5，∠AEP＝90°，∴PE＝＝4.∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝6.又∵PE⊥AB，∴PF⊥CD，∴EF＝BC＝6，DF＝AE＝3，PF＝PE＋EF＝4＋6＝10.
在Rt△PFD中，PF＝10，DF＝3，∠PFD＝90°，∴PD＝＝.∵若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的图形为以PF为内圆半径、以PD为外圆半径的圆环．∴S＝π·PD2－πPF2＝109π－100π＝9π.
【答案】9π
三、解答题(共32分)
18．(8分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tanB＝.半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到.
(1)求证：AB为⊙C的切线；
证明：如图，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ABC中，tanB＝＝，
∴BC＝2AC＝2，
∴AB＝＝＝5.
∴CF＝＝＝2.∴AB为⊙C的切线．
(2)求图中阴影部分的面积．
解：S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π.
19．(12分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝2∠D，连接OA，OB，OC，AC，OB与AC相交于点E.【导学号90280359】
(1)求∠OCA的度数；
分析：根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC＋∠D＝180°，根据∠ABC＝2∠D得到∠D＋2∠D＝180°，从而求得∠D＝60°，最后根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA＝30°；
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠D＝180°.∵∠ABC＝2∠D，∴∠D＋2∠D＝180°，∴∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.
(2)若∠COB＝3∠AOB，OC＝2，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．COB＝3∠AOB得到∠AOB＝30°，从而得到∠COB为直角，然后利用S阴影＝S扇形OBC－S△OEC求解．
解：∵∠COB＝3∠AOB，∴∠AOC＝∠AOB＋3∠AOB＝120°，∴∠AOB＝30°.∴∠COB＝∠AOC－∠AOB＝90°.在Rt△OCE中，OC＝2，∴OE＝OC·tan∠OCE＝2×tan30°＝2×＝2.∴S△OEC＝OE·OC＝×2×2＝2.∵S扇形OBC＝＝3π.
∴S阴影＝S扇形OBC－S△OEC＝3π－2.点评：本题考查了扇形面积的计算、圆内接四边形的性质、解直角三角形的知识；在求不规则图形的面积时常常转化为规则图形面积的和或差．
20．(12分)(2016·河北)如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．【导学号90280360】
发现的长与的长之和为定值l，求l；
解：发现连接OP，OQ，则OP＝OQ＝PQ＝2.
∴∠POQ＝60°.∴l＝＝.
∴l＝π·4－＝.
思考点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为2；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为－.解：思考2－
探究当半圆M与AB相切时，求的长．
(注：结果保留π，cos35°＝，cos55°＝)
解：探究半圆M与AB相切，分两种情况讨论：
①如图1，半圆M与AO切于点T时，连接PO，MO，TM.
则MT⊥AO，OM⊥PQ.
在Rt△POM中，sin∠POM＝，
∴∠POM＝30°.
在Rt△TOM中，MT＝1，MO＝，
∴TO＝＝，
∴cos∠AOM＝，即∠AOM＝35°.
∴∠POA＝35°－30°＝5°.
∴的长＝＝.
②如图2，半圆M与BO切于点S时，连接QO，MO，SM.
由对称性，同理得的长＝.
由l＝，得的长＝－＝.
综上，当半圆M与AB相切时，的长为或.
|
|
