专题11圆
一、选择题
1.（2017浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（）
A.B.
C.D.
【答案】
【解析】
试题解析：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
CG是圆的直径，
CDG=90°，则DG==8，
又EF=8，DG=EF，
，
S扇形ODG=S扇形OEF，
AB∥CD∥EF，
S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π．
故选A．
考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.如图，在，，以中点圆心分别与相切于两点，则长为()
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题解析：如图，连接OD，OE
∵AC，AB是圆O的切线
∴OE⊥AC，OD⊥AB
∵O是BC的中点
∴点E，点D分别是AC，AB的中点
∴OE=AB，OD= AC
∵OE=OD
∴AC=AB
∵BC=2
由勾股定理得AB=2
∴OE=1
的弧长==.
故选B.
考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.
3.（2017重庆A卷第9题）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）
A． B． C． D．
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣SABE﹣S扇形EBF
=12﹣1×1﹣
=．
故选B．
，上的四个点是的中点是半径任意，若则度数可能是
A．B．C.D．
【答案】D
【解析】
试题解析：∵B是的中点，
AOB=2∠BDC=80°，
又M是OD上一点，
AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
5.（2017贵州如故经9题）如图，O的直径AB=4，BC切O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）
A． B． C． D．
B
【解析】
试题解析：连接BD．
∵AB是直径，ADB=90°．
OC∥AD，A=∠BOC，cos∠A=cos∠BOC．
BC切O于点B，OB⊥BC，
cos∠BOC=，
cos∠A=cos∠BOC=．
又cos∠A=，AB=4，
AD=．
故选B．
B．C．D．
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8
过A作AD⊥BC于D，
设BD=x，则CD＝5-x
由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）
设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：
（5r+7r+8r）=×5×4
解得：r=
故选C.
考点：三角形的内切圆.
7.（2017江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，BAD＜90°，O与边AB，AD都相切，AO=10，则O的半径长等于（）
A．5 B．6 C．2 D．3
【答案】C.
【解析】
试题解析：如图作DHAB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
AB?DH=32O，
DH=16，
在Rt△ADH中，AH==12，
HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD=，
设O与AB相切于F，连接AF．
AD=AB，OA平分DAB，
AE⊥BD，
OAF+∠ABE=90°，ABE+∠BDH=90°，
OAF=∠BDH，AFO=∠DHB=90°，
AOF∽△DBH，
，
，
OF=2．
故选C．
考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．如图，在中，，点在上，，则()
A. B. C. D.
考点：圆周角定理．
9.（2017甘肃兰州第2题）如图，正方形接于半径为，则图中阴影部分面积为()
A. B. C. D.
D．连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
AOD=90°，
AD=，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=4π﹣（2）2=（π﹣2）cm2．
故选D．
如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，A=15°，半径为2，则弦CD的长为（）
A．2 B．﹣1 C． D．4
O的直径AB垂直于弦CD，
CE=DE，CEO=90°，
A=15°，
COE=30°，
OC=2，
CE=OC=1，
CD=2OE=2，
故选A．
如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FEAB，AF=2AE，FC交BD于O，则DOC的度数为（）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
A．如图，连接DF、BF．
FE⊥AB，AE=EB，
FA=FB，
AF=2AE，
AF=AB=FB，
AFB是等边三角形，
AF=AD=AB，
点A是DBF的外接圆的圆心，
FDB=∠FAB=30°，
四边形ABCD是正方形，
AD=BC，DAB=∠ABC=90°，ADB=∠DBC=45°，
FAD=∠FBC，
FAD≌△FBC，
ADF=∠FCB=15°，
DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．正方形的性质．中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为（）
A．B．C.D．
【答案】B．
∴的长=
故选：B．
弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）
A.B.2C．6D．8
B．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
14.（2017四川自贡第10题）AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C；连接BC，若P=40°，则B等于（）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】
【解析】
试题解析：
考点：如图，O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）
A．12 B．15 C．16 D．18
考点：圆周角定理；垂径定理．
16.（2017江苏徐州第6题）如图，点，在⊙上，，则（）
A．B．C.D．
【答案】D．
【解析】
试题解析：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
考点：圆周角定理．
二、填空题
1.（2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________
【答案】．
【解析】
试题解析：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
当AP直线y=﹣x+3时，PQ最小，
A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
AP==3，
PQ=．
考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.
某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交(为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为，根据设计要求，若，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为．
【答案】
【解析】
试题解析：如图，过F作FGOF，连接OG,OM,ON
△OFH是等腰直角三角形，
FH=OFsin45°=，AB=，BC=2OF=2
矩形ABCD面积=
S空白=2S扇形FOM+2SΔAOG
=
=
窗户的透光率=
考点：扇形的面积及概率如图，BC是O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，AOB=64°，则ACB=．
32°．AO=OC，
ACB=∠OAC，
AOB=64°，
ACB+∠OAC=64°，
ACB=64°÷2=32°．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=°．
【答案】58°．
【解析】
试题解析：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OAB=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于．（结果保留π）
.
【解析】
考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．
6.（2017广西贵港第17题）如图，在扇形中，是的中点，与交于点，以为圆心，的长为半径作交于点，若，则图中阴影部分的面积为结果）
【答案】．连接O、AD，
点C为OA的中点，
CDO=30°，DOC=60°，
ADO为等边三角形，
S扇形AOD=，
S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣SCOD）
=
=
=．
，半径为点在上，则阴影部分的面积为
【答案】π﹣2．
考点：扇形面积的计算．如图，在菱形，，点这个菱形内部或边上的一点，若以顶点的三角形是等腰三角形，则(，两点不重合)两点间的最短距离为 cm.10﹣10（cm）连接BD，在菱形ABCD中，
ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，
A=∠C=60°，
ABD，BCD都是等边三角形，
若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；
若以边PB为底，PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；
若以边PC为底，PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）
考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于．
【答案】﹣．
【解析】
试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EGO1O2，过FO1O2，
四边形EGHF是矩形，
GH=EF=2，
O1G=，
O1E=1，
GE=，
；
O1EG=30°，
AO1E=30°，
同理BO2F=30°，
阴影部分的面积=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2×=（2+3）×=3﹣﹣．
考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．如图，将O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若ACB=70°，则ADB=°．
【答案】110°
【解析】
试题解析：∵点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=110°
考点：圆周角定理.
11.（2017山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形.已知，取的中点，过点作交弧于点，点是弧上一点，若将扇形沿翻折，点恰好与点重合.用剪刀沿着线段依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为.
【答案】36π﹣108如图，CD⊥OA，
DCO=∠AOB=90°，
OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，
ODC=∠BOD=30°，
作DEOB于点E，
则DE=OD=3，
S弓形BD=S扇形BOD﹣SBOD=﹣6×3=3π﹣9，
则剪下的纸片面积之和为12（3π﹣9）=36π﹣108扇形面积的计算如图，O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．
【答案】﹣1
【解析】
考点：正多边形和圆．如图，等腰△ABC内接于O，已知AB=AC，ABC=30°，BD是O的直径，如果CD=，则AD=．
【答案】
【解析】
试题解析：AB=AC，
ABC=∠ACB=∠ADB=30°，
BD是直径，
BAD=90°，ABD=60°，
CBD=∠ABD﹣ABC=30°，
ABC=∠CBD，
，
，
AD=CB，
BCD=90°，
BC=CD?tan60°=?=4，
AD=BC=4．
考点：120°.
【解析】
试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
正六边形的每个内角为：=120°与⊙相切于点，线段与弦垂直，垂足为，则．
【答案】60°．
考点：切线的性质.
16.（2017浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．
【答案】（32+48π）cm2连接OA、OB，
∵=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB=×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）==48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：
试题解析：（1）CD切半圆O于点D，
CD⊥OD，
CDO=90°，
BE⊥CD，
E=90°=∠CDO，
又C=∠C，
COD∽△CBE．
（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
BC==15，
COD∽△CBE．
，即，
解得：r=．
考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.如图，已知RtΔABC,C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.
（1）求证：DE是圆O的切线.
(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】：
试题分析：利用思路：知（连）半径，证垂直，证明DE是圆O的切线；利用射影定理或相似三角形证明：BE2=BE×BA,再列方程，求AE的长.
试题解析：(1)如图所示，连接OE，CE
AC是圆O的直径
AEC=∠BEC=90°
∵D是BC的中点
ED＝BC＝DC
1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即OED=∠ACD
∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OEDE
又E是圆O上的一点
DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
B（，2）．(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；
（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可
试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．
4.（2017广西贵港第24题）如图，在中，点上，且是的外接圆.
（1）求证：是的切线；
（2）若求的半径.
【答案】(1)证明见解析；（2）．（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OPAD，AE=DE，则1+∠OPA=90°，而OAP=∠OPA，所以1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得1=∠2，所以2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tanDAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．
（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
PA=PD，
弧AP=弧DP，
OP⊥AD，AE=DE，
1+∠OPA=90°，
OP=OA，
OAP=∠OPA，
1+∠OAP=90°，
四边形ABCD为菱形，
1=∠2，
2+∠OAP=90°，
OA⊥AB，
直线AB与O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，如图，
四边形ABCD为菱形，
DB与AC互相垂直平分，
AC=8，tanBAC=，
AF=4，tanDAC==，
DF=2，
AD==2，
AE=，
在RtPAE中，tan1==，
PE=，
设O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，
在RtOAE中，OA2=OE2+AE2，
R2=（R﹣）2（）2，
R=，
即O的半径为．
如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与O相切；
（2）设OE交O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．
4﹣π．（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明OCE≌△OBE得到OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2（）2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到BOD=60°，则BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2SOBE﹣S扇形BOC进行计算即可．（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
OC⊥CE，
OCE=90°，
OD⊥BC，
CD=BD，
即OD垂中平分BC，
EC=EB，
在OCE和OBE中
，
OCE≌△OBE，
OBE=∠OCE=90°，
OB⊥BE，
BE与O相切；
（2）解：设O的半径为r，则OD=r﹣1，
在RtOBD中，BD=CD=BC=，
（r﹣1）2（）2=r2，解得r=2，
tan∠BOD==，
BOD=60°，
BOC=2∠BOD=120°，
在RtOBE中，BE=OB=2，
阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2SOBE﹣S扇形BOC
=2×2×2﹣
=4﹣π．
内接于，的延长线交于点．
（1）求证平分；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；.
【解析】
试题分析：（1）连接OB，证明ΔAOB≌ΔAOC即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于E，由sin∠BAC=，设AC=5m，CE=3则可表示出AE=4m，BE=m，在RtΔCBE中，由勾股定理可求出m的值，即可得出AC的值；延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，过点O作OF⊥AH，可求OF的值，由OF∥BC可得结论.
（2）过点C作CE⊥AB于E
∵sin∠BAC=,设AC=5m，则CE=3m
∴AE=4m，BE=m
在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36
∴m=，
∴AC=
延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，
过点O作OF⊥AH交AB于点F，
∵∠HOC=∠BAC
∴OH=4，OC=5
∴AH=9
∴tan∠BAH=
∴OF=AO=
∵OF∥BC
∴，即
∴DC=.
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.
7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知的直径，点延长线上的一点，点圆上一点，且.
(1)求证：
(2)求证：的切线.
（1）AB=AD，
B=∠D，
AC=CD，
CAD=∠D，
CAD=∠B，
D=∠D，
ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
B=∠OAB，
OAB=∠CAD，
BC是O的直径，
BAC=90°，
OA⊥AD，
AD是O的切线．
如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）过D点作DIBC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EFAC交BC于F，过H点作HGAB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
【答案】(1)P（1，0）．(2)y=x2﹣x﹣．
【解析】
试题分析：（1）如图，作EFy轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先证明△ACPECH，推出，推出CH=2n，EH=2m=6，再证明△DPBDHE，推出，可得，求出m即可解决问题；
（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），求出E点坐标代入即可解决问题.
试题解析：（1）如图，作EFy轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．
EH∥AP，
ACP∽△ECH，
，
CH=2n，EH=2m=6，
CD⊥AB，
PC=PD=n，
PB∥HE，
DPB∽△DHE，
，
，
m=1，
P（1，0）．
（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，
连接OP，在Rt△OCP中，PC=，
CH=2PC=4，PH=6，
E（9，6），
抛物线的对称轴为CD，
（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，
抛物线的解析式为y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．
考点：圆的综合题．如图，△ABC是一块直角三角板，且C=90°，A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
【答案】（1）作图见解析；（2）15+．
【解析】
试题分析：（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求；
（2）如图，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，
过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C△ABC=9+9+18=27+9，
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，
∴D、G为切点，
∴BD=BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵，
∴△O1BD≌△O1BG（HL），
∴∠O1BG=∠O1BD=30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，
∴BD=，
∴OO1=9-2-2=7-2，
∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，且O1D=OE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED=90°，
∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，
∴∠GO1D=120°，
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，
∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC，
同理，∠O1OO2=90°，
∴△OO1O2∽△CBA，
∴，即，
∴C△OO1O2=15+，即圆心O运动的路径长为15+．
考点：切线的性质；作图—复杂作图．
11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
F的半径为；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.
试题解析：（1）连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠EAC，
∴FE∥AC，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；
（2）连接FD，
设⊙F的半径为r，
则r2=（r-1）2+22，
解得，r=，即⊙F的半径为；
（3）AG=AD+2CD．
证明：作FR⊥AD于R，
则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，
∴四边形RCEF是矩形，
∴EF=RC=RD+CD，
∵FR⊥AD，
∴AR=RD，
∴EF=RD+CD=AD+CD，
∴AG=2FE=AD+2CD．
考点：圆的综合题．
12.（2017甘肃兰州第22题）在数学课上，同们已经探究过“经过已直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
知：直线外一点
作：直线垂线，使它过点.
法：如图：(1)在直线任取、；
(2)分别以点为圆心，长为半径，两弧相交于点
(3)作直线.以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是 .
(3)知：直线外一点
求作：使它直线切。(规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
（2）如图．
如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接，，使得，.
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长.
．
（2）连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
ACE∽△DCA，
，
，
AC=AE=，
CAE=∠CBF，
ACE∽△BFE，
，
，
EF=．
如图，已知直线PT与O相切于点T，直线PO与O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PA?PB；
（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．
.
【解析】
试题分析：（1）连接OT，只要证明PTA∽△PBT，可得，由此即可解决问题；
（2）首先证明AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣SAOT计算即可；（1）证明：连接OT．
PT是O的切线，
PT⊥OT，
PTO=90°，
PTA+∠OTA=90°，
AB是直径，
ATB=90°，
TAB+∠B=90°，
OT=OA，
OAT=∠OTA，
PTA=∠B，P=∠P，
PTA∽△PBT，
，
PT2=PA?PB．
（2）TP=TB=，
P=∠B=∠PTA，
TAB=∠P+∠PTA，
TAB=2∠B，
TAB+∠B=90°，
TAB=60°，B=30°，
tanB=
∴AT=1，
OA=OT，TAO=60°，
AOT是等边三角形，
S阴=S扇形OAT﹣SAOT=.
考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．
15.（2017贵州黔东南州第24题）如图，菱形中，对角线相交于点，，动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为，以点为圆心，为半径的⊙与射线，线段分别交于点，连接.
（1）求的长（用含有的代数式表示），并求出的取值范围；
（2）当为何值时，线段与⊙相切？
（3）若⊙与线段只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）BF=t（0t≤8）．t=s时，线段EN与M相切．当0t≤或t＜8时，M与线段EN只有一个公共点．（1）连接MF．只要证明MFAD，可得，即，解方程即可；
（2）当线段EN与M相切时，易知BEN∽△BOA，可得，即，解方程即可；
（3）由题意可知：当0t≤时，M与线段EN只有一个公共点．当F与N重合时，则有t2t=16，解得t=，观察图象即可解决问题（1）连接MF．
∵四边形ABCD是菱形，
AB=AD，ACBD，OA=OC=6，OB=OD=8，
在RtAOB中，AB==10，
MB=MF，AB=AD，
ABD=∠ADB=∠MFB，
MF∥AD，
，
，
BF=t（0t≤8）．
（3）由题意可知：当0t≤时，M与线段EN只有一个公共点．
当F与N重合时，则有t2t=16，解得t=，
关系图象可知，t＜8时，M与线段EN只有一个公共点．
综上所述，当0t≤或t＜8时，M与线段EN只有一个公共点．
圆的综合题．如图，O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DFAO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）欲证明DFOA，只要证明OACD，DFCD即可；
（2）过点作EMOC于M，易知，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；（1）证明：连接OD．
∵AB与O相切与点D，又AC与O相切与点，
AC=AD，OC=OD，
OA⊥CD，
CD⊥OA，
CF是直径，
CDF=90°，
DF⊥CD，
DF∥AO．
（2）过点作EMOC于M，
AC=6，AB=10，
BC==8，
AD=AC=6，
BD=AB-AD=4，
BD2=BF?BC，
BF=2，
CF=BC-BF=6．OC=CF=3，
OA==3，
OC2=OE?OA，
OE=，
EM∥AC，
，
OM=，EM=，FM=OF+OM=，
，
CG=EM=2．如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分CAE交O于点D，且AECD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是O的切线．
（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
【答案】AD=．
【解析】试题解析：（1）证明：连结OC，如图，
∵AD平分EAC，
1=∠3，
OA=OD，
1=∠2，
3=∠2，
OD∥AE，
AE⊥DC，
OD⊥CE，
CE是O的切线；
（2）CDO=∠ADB=90°，
2=∠CDB=∠1，C=∠C，
CDB∽△CAD，
，
CD2=CB?CA，
（3）2=3CA，
CA=6，
AB=CA﹣BC=3，设BD=K，AD=2K，
在RtADB中，2k24k2=5，
k=，
AD=．
考点：
18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为O的直径，B为O上一点，ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DEAC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．
．（1）如图所示，连接BO，
∵∠ACB=30°，
OBC=∠OCB=30°，
DE⊥AC，CB=BD，
Rt△DCE中，BE=CD=BC，
BEC=∠BCE=30°，
BCE中，EBC=180°﹣BEC﹣BCE=120°，
EBO=∠EBC﹣OBC=120°﹣30°=90°，
BE是O的切线；
（2）当BE=3时，BC=3，
AC为O的直径，
ABC=90°，
又ACB=30°，
AB=tan30°×BC=，
AC=2AB=2，AO=，
阴影部分的面积=半圆的面积﹣RtABC的面积=πAO2﹣ABBC=π×3﹣×3=．切线的判定与性质；扇形面积的计算．，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）70°．（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
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