专题13操作性问题
一、选择题
1.(2017浙江衢州第7题)下列四种基本尺规作图分别表示:作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;过直线外一点P作已知直线的垂线,则对应选项中作法错误的是()
A. B. C. D.
【答案】C.
考点:基本作图.中,,以的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【解析】
试题解析:①以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,△BCD就是等腰三角形;②以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,△ACE就是等腰三角形;③以C为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点F,△BCF就是等腰三角形;④作AC的垂直平分线交AB于点H,△ACH就是等腰三角形;⑤作AB的垂直平分线交AC于G,则△AGB是等腰三角形;⑥作BC的垂直平分线交AB于I,则△BCI是等腰三角形.
故选C.
考点:画等腰三角形.
3.(2017甘肃兰州第13题)如图,小明为了测量一凉亭的高度(顶端水平地面距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶高的台阶(三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点,测得,然后沿直线到点,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶,测得,小明身高,则凉亭的高度为()
A. B.米 C.米 D.10米
【答案】A.
【解析】
试题解析:由题意AGC=∠FGE,ACG=∠FEG=90°,
ACG∽△FEG,
∴
∴AC=8,
AB=AC+BC=8+0.5=8.5米.
故选A.
,已知,,小明按所给图步骤折叠纸片,则线段长为()
A. B. C. D.
【答案】A.
考点:矩形的性质.
二、填空题
1.(2017浙江衢州第14题)如图,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠无缝隙),则拼成的长方形的另一边长是.
【答案】a+6.
考点:图形的拼接.轴上,B在第二象限。△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚,经第一次翻滚后得△A1B1O,则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________;翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________
【答案】(5,);.
【解析】
试题解析:如图,作B3Ex轴于E,
易知OE=5,B3E=,
B3(5,),
观察图象可知三次一个循环,一个循环点M的运动路径为:
,
2017÷3=672…1,
翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为:
672?(.
考点:点的坐标.把多块大小不同的30°直角三角板如图所示,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为(0,1),ABO=30°;第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1;第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2;第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3;…按此规律继续下去,则点B2017的坐标为.
(0,﹣)由题意可得,
OB=OA?tan60°=1=,
OB1=OB?tan60°=,
OB2=OB1?tan60°=()3,
…
2017÷4=506…1,
点B2017的坐标为(0,﹣),”到“结果是否”为一次程序操作,
若输入后程序操作仅进行了一次就停止,则的取值范围是.
【答案】x<8.
【解析】
试题解析:依题意得:3x﹣6<18,
解得x<8.
考点:一元一次不等式的应用.
5.(2017山东烟台第18题)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形.已知,取的中点,过点作交弧于点,点是弧上一点,若将扇形沿翻折,点恰好与点重合.用剪刀沿着线段依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为.
【答案】36π﹣108如图,CD⊥OA,
DCO=∠AOB=90°,
OA=OD=OB=6,OC=OA=OD,
ODC=∠BOD=30°,
作DEOB于点E,
则DE=OD=3,
S弓形BD=S扇形BOD﹣SBOD=﹣6×3=3π﹣9,
则剪下的纸片面积之和为12(3π﹣9)=36π﹣108扇形面积的计算,以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形,如此下去,则线段的长度为.
【答案】.OBA1为等腰直角三角形,OB=1,
AA1=OA=1,OA1=OB=;
OA1A2为等腰直角三角形,
A1A2=OA1=,OA2=OA1=2;
OA2A3为等腰直角三角形,
A2A3=OA2=2,OA3=OA2=2;
OA3A4为等腰直角三角形,
A3A4=OA3=2,OA4=OA3=4.
OA4A5为等腰直角三角形,
A4A5=OA4=4,OA5=OA4=4,
OA5A6为等腰直角三角形,
A5A6=OA5=4,OA6=OA5=8.
OAn的长度为.个边长为1的正方形拼接成一排,求得,,,计算,……按此规律,写出(用含的代数式表示).
【答案】,作CH⊥BA4于H,
由勾股定理得,BA4=,A4C=,
△BA4C的面积=4-2-=,
∴××CH=,
解得,CH=,
则A4H==,
∴tan∠BA4C==,
1=12-1+1,
3=22-2+1,
7=32-3+1,
∴tan∠BAnC=(1)(2),,,请探索,,满足的等量关系。
【答案】(1)全等;证明见解析;(2)是,理由见解析;(3)c2=a2+ab+b2.
【解析】
试题分析:(1)由正三角形的性质得CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,证出ABD=∠BCE,由ASA证明△ABDBCE即可;、
(2)由全等三角形的性质得出ADB=∠BEC=∠CFA,证出FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论;
(3)作AGBD于G,由正三角形的性质得出ADG=60°,在RtΔADG中,DG=b,AG=b,在RtΔABG中,由勾股定理即可得出结论.
试题解析:(1)△ABDBCE≌△CAF;理由如下:
ABC是正三角形,
CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC,
ABD=∠ABC﹣2,BCE=∠ACB﹣3,2=∠3,
ABD=∠BCE,
在△ABD和△BCE中,
,
ABD≌△BCE(ASA);
(2)△DEF是正三角形;理由如下:
ABD≌△BCE≌△CAF,
ADB=∠BEC=∠CFA,
FDE=∠DEF=∠EFD,
DEF是正三角形;
(3)作AGBD于G,如图所示:
DEF是正三角形,
ADG=60°,
在Rt△ADG中,DG=b,AG=b,
在Rt△ABG中,c2=(a+b)2+(b)2,
c2=a2+ab+b2.
考点:1.全等三角形的判定与性质;2.勾股定理.的方格纸,三个顶点都在格点上.
(1)在图画出与轴对称且与公共边的格点三角形(画出一个即可);
2)将图的着点顺时针方向旋转画出经旋转后的三角形.
【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析.
【解析】
试题分析:根据题意画出图形即可.
试题解析:(1)如图所示:
或
(2)如图所示:
考点:1.轴对称图形;2.旋转.
3.(2017甘肃庆阳第21题)如图,已知△ABC,请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF(不写作法,保留作图痕迹).
考点:作图—复杂作图;三角形中位线定理.
4.(2017广西贵港第20题)尺规作图(不写作法,作图痕迹)
已知线段,点上(如图所示)
(1)在边上作点,使;
(2)作的平分线
(3)过点的垂试题解析:(1)点P为所求作;
(2)OC为所求作;
(3)MD为所求作;
如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
(1)作△ABC的外心O;
(2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F,点H分别在边BC和AC上.
【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析.
试题解析:(1)如图所示:点O即为所求.
(2)如图所示:六边形DEFGHI即为所求正六边形.
考点:1.作图—复杂作图;2.等边三角形的性质;3.三角形的外接圆与外心.
操作:“如图1,P是平面直角坐标系中一点(x轴上的点除外),过点P作PCx轴于点C,点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q.”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换.
(1)点P(a,b)经过T变换后得到的点Q的坐标为;若点M经过T变换后得到点N(6,﹣),则点M的坐标为.
(2)A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点,经过T变换后得到点B.
求经过点O,点B的直线的函数表达式;
如图2,直线AB交y轴于点D,求△OAB的面积与△OAD的面积之比.
【答案】(1)Q(a+b,b);M(9,﹣2);(2)y=x;
【解析】
试题解析:(1)如图1,连接CQ,过Q作QDPC于点D,
由旋转的性质可得PC=PQ,且CPQ=60°,
PCQ为等边三角形,
P(a,b),
OC=a,PC=b,
CD=PC=b,DQ=PQ=b,
Q(a+b,b);
设M(x,y),则N点坐标为(x+y,y),
N(6,﹣),
,解得,
M(9,﹣2);
(2)A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点,
可取A(2,),
2+×=,×=,
B(,),
设直线OB的函数表达式为y=kx,则k=,解得k=,
直线OB的函数表达式为y=x;
设直线AB解析式为y=k′x+b,
把A、B坐标代入可得,解得,
直线AB解析式为y=﹣x+,
D(0,),且A(2,),B(,),
AB=,AD=,
.
考点:一次函数综合题.如图,△ABC是一块直角三角板,且C=90°,A=30°,现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部.
(1)如图,当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时,试用直尺与圆规作出射线CO;(不写作法与证明,保留作图痕迹)
(2)如图,将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周,回到起点位置时停止,若BC=9,圆形纸片的半径为2,求圆心O运动的路径长.
【答案】(1)作图见解析;(2)15+.
【解析】
试题分析:(1)作∠ACB的平分线得出圆的一条弦,再作此弦的中垂线可得圆心O,作射线CO即可;
(2)添加如图所示辅助线,圆心O的运动路径长为C△OO1O2,先求出△ABC的三边长度,得出其周长,证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形,得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°,从而知△OO1O2∽△CBA,利用相似三角形的性质即可得出答案.
试题解析:(1)如图①所示,射线OC即为所求;
(2)如图,圆心O的运动路径长为C△OO1O2,
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB,垂足分别为点D、F、G,
过点O作OE⊥BC,垂足为点E,连接O2B,
过点O2作O2H⊥AB,O2I⊥AC,垂足分别为点H、I,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°、∠A=30°,
∴AC=,AB=2BC=18,∠ABC=60°,
∴C△ABC=9+9+18=27+9,
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB,
∴D、G为切点,
∴BD=BG,
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中,
∵,
∴△O1BD≌△O1BG(HL),
∴∠O1BG=∠O1BD=30°,
在Rt△O1BD中,∠O1DB=90°,∠O1BD=30°,
∴BD=,
∴OO1=9-2-2=7-2,
∵O1D=OE=2,O1D⊥BC,OE⊥BC,
∴O1D∥OE,且O1D=OE,
∴四边形OEDO1为平行四边形,
∵∠OED=90°,
∴四边形OEDO1为矩形,
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形,
又OE=OF,
∴四边形OECF为正方形,
∵∠O1GH=∠CDO1=90°,∠ABC=60°,
∴∠GO1D=120°,
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°,
∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC,
同理,∠O1OO2=90°,
∴△OO1O2∽△CBA,
∴,即,
∴C△OO1O2=15+,即圆心O运动的路径长为15+.
考点:切线的性质;作图—复杂作图.
8.(2017江苏盐城第26题)【探索发现】
如图,是一张直角三角形纸片,B=60°,小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.
【拓展应用】
如图,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.(用含a,h的代数式表示)
【灵活应用】
如图,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】
如图,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.
【答案】【探索发现】;【拓展应用】;【灵活应用】720;【实际应用】1944cm2.
【解析】
试题分析:【探索发现】:由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得;
【拓展应用】:由△APN∽△ABC知,可得PN=a-PQ,设PQ=x,由S矩形PQMN=PQ?PN═-(x-)2+,据此可得;
【灵活应用】:添加如图1辅助线,取BF中点I,FG的中点K,由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16,分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上,利用【探索发现】结论解答即可;
【实际应用】:延长BA、CD交于点E,过点E作EH⊥BC于点H,由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54,EH=BH=72,继而求得BE=CE=90,可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上,利用【拓展应用】结论解答可得.
试题解析:【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线,
∴ED∥AB,EF∥BC,EF=BC,ED=AB,
又∠B=90°,
∴四边形FEDB是矩形,
则
【拓展应用】
∵PN∥BC,
∴△APN∽△ABC,
∴,即,
∴PN=a-PQ,
设PQ=x,
则S矩形PQMN=PQ?PN=x(a-x)=-x2+ax=-(x-)2+,
∴当PQ=时,S矩形PQMN最大值为,
【灵活应用】
如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,
由题意知四边形ABCH是矩形,
∵AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,
∴EH=20、DH=16,
∴AE=EH、CD=DH,
在△AEF和△HED中,
∵,
∴△AEF≌△HED(ASA),
∴AF=DH=16,
同理△CDG≌△HDE,
∴CG=HE=20,
∴BI==24,
∵BI=24<32,
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上,
过点K作KL⊥BC于点L,
由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG?BF=×(40+20)×(32+16)=720,
答:该矩形的面积为720;
【实际应用】
如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EH⊥BC于点H,
∵tanB=tanC=,
∴∠B=∠C,
∴EB=EC,
∵BC=108cm,且EH⊥BC,
∴BH=CH=BC=54cm,
∵tanB=,
∴EH=BH=×54=72cm,
在Rt△BHE中,BE==90cm,
∵AB=50cm,
∴AE=40cm,
∴BE的中点Q在线段AB上,
∵CD=60cm,
∴ED=30cm,
∴CE的中点P在线段CD上,
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上,
由【拓展应用】知,矩形PQMN的最大面积为BC?EH=1944cm2,
答:该矩形的面积为1944cm2.
考点:四边形综合题.
9.(2017甘肃兰州第22题)在数学课上,同们已经探究过“经过已直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
知:直线外一点
作:直线垂线,使它过点.
法:如图:(1)在直线任取、;
(2)分别以点为圆心,长为半径,两弧相交于点
(3)作直线.以上材料作图的方法,解决以下问题:
(1)以上材料作图的依据是 .
(3)知:直线外一点
求作:使它直线切。(规作图,不写做法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;(1)以上材料作图的依据是:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,
(2)如图.
为等边三角形,先将三角板中的角与重合,再将三角板绕点按顺时针方向旋转(旋转角大于且小于).旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点,使,线段上取点,使,连接,.
①求的度数;
②与相等吗?请说明理由;
【类比探究】
(2)如图2,为等腰直角三角形,,先将三角板的角与重合,再将三角板绕点按顺时针方向旋转(旋转角大于且小于).旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上取一点,使,线段上取点,使,连接,.请直接写出探究结果:
①的度数;
②线段之间的数量关系.
【答案】(1)①120°;DE=EF;理由90°;AE2+DB2=DE2.试题解析:(1)ABC是等边三角形,
AC=BC,BAC=∠B=60°,
DCF=60°,
ACF=∠BCD,
在ACF和BCD中,,
ACF≌△BCD(SAS),
CAF=∠B=60°,
EAF=∠BAC+∠CAF=120°;
DE=EF;理由如下:
DCF=60°,DCE=30°,
FCE=60°﹣30°=30°,
DCE=∠FCE,
在DCE和FCE中,,
DCE≌△FCE(SAS),
DE=EF;
(2)ABC是等腰直角三角形,ACB=90°,
AC=BC,BAC=∠B=45°,
DCF=90°,
ACF=∠BCD,
在ACF和BCD中,,
ACF≌△BCD(SAS),
CAF=∠B=45°,AF=DB,
EAF=∠BAC+∠CAF=90°;
AE2+DB2=DE2,理由如下:
DCF=90°,DCE=45°,
FCE=90°﹣45°=45°,
DCE=∠FCE,
在DCE和FCE中,,
DCE≌△FCE(SAS),
DE=EF,
在RtAEF中,AE2AF2=EF2,
又AF=DB,
AE2+DB2=DE2.如图,13个边长为1的小正方形,排列形式如图,把它们分割,使分割后能拼成一个大正方形.请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中,用直尺作出这个大正方形.
【答案】
【解析】
试题解析:如图所示:所画正方形即为所求.
考点:—应用与设计.
12.(2017四川自贡第22题)两个城镇A,B与一条公路CD,一条河流CE的位置如图所示,某人要修建一避暑山庄,要求该山庄到A,B的距离必须相等,到CD和CE的距离也必须相等,且在DCE的内部,请画出该山庄的位置P.(不要求写作法,保留作图痕迹.)
【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析:根据角平分线的性质可知:到CD和CE的距离相等的点在DCE的角平分线上,所以第一步作:ECD的平分线CF;
试题解析:作法:作ECD的平分线CF,
作线段AB的中垂线MN,
MN与CF交于点P,则P就是山庄的位置.
考点:作图设计.的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠,展开后,得折痕(如图①),点为其交点.
(1)探求与的数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时,求的长度;
②如图③,若点在线段上,,则的最小值=.
【答案】(1)AO=2OD,;.
【解析】
试题解析:(1)AO=2OD,
理由:ABC是等边三角形,
BAO=∠ABO=∠OBD=30°,
AO=OB,
BD=CD,
AD⊥BC,
BDO=90°,
OB=2OD,
OA=2OD;
(2)如图,作点D关于BE的对称点D′,过D′作D′NBC于N交BE于P,
则此时PN+PD的长度取得最小值,
BE垂直平分DD′,
BD=BD′,
ABC=60°,
BDD′是等边三角形,
BN=BD=,
PBN=30°,
,
PB=;
(3)如图,作Q关于BC的对称点Q′,作D关于BE的对称点D′,
连接Q′D′,即为QN+NP+PD的最小值.
根据轴对称的定义可知:Q′BN=∠QBN=30°,QBQ′=60°,
BQQ′为等边三角形,△BDD′为等边三角形,
D′BQ′=90°,
在Rt△D′BQ′中,
D′Q′=.
QN+NP+PD的最小值=,.
(1)在图中,用尺规作出的内切圆,并标出与边,,的切点,,(保留痕迹,不必写作法);
(2)连接,,求的度数.
【答案】(1)作图见解析;(2)70°.(1)如图1,
⊙O即为所求.
(2)如图2,
连接OD,OE,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,
∴∠ODB=∠OEB=90°,
∵∠B=40°,
∴∠DOE=140°,
∴∠EFD=70°.
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