专题14阅读理解问题
一、选择题
1.（2017山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（）
A．121B．362C．364D．729
【答案】C
【解析】
试题分析：图1，0×3+1=1；
图2,1×3+1=4；
图3,4×3+1=13；
图4,13×3+1=40；
图5,40×3+1=121；
图6,121×3+1=364；
故选C
考点:探索规律我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
考点：完全平方公式．
3.（2017四川泸州第10题）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）
A.B.C.D.
考点：二次根式的应用.
二、填空题
1.（2017四川宜宾第16题）规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）
当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；
当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；
方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；
当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．
【答案】．
【解析】
试题解析：当x=1.7时，
x]+（x）x）
=1.7]+（1.7）1.7）=12+2=5，故错误；
当x=﹣2.1时，
x]+（x）x）
=﹣2.1（﹣2.1）﹣2.1）
=（﹣3）（﹣2）（﹣2）=﹣7，故正确；
当1x＜1.5时，
4x]+3（x）x）
=41+3×2+1
=4+6+1
=11，故正确；
﹣1x＜1时，
当﹣1x＜﹣0.5时，y=x]+（x）x=﹣10+x=x﹣1，
当﹣0.5x＜0时，y=x]+（x）x=﹣10+x=x﹣1，
当x=0时，y=x]+（x）x=0+0+0=0，
当0x＜0.5时，y=x]+（x）x=0+1+x=x+1，
当0.5x＜1时，y=x]+（x）x=0+1+x=x+1，
y=4x，则x﹣1=4x时，得x=；x1=4x时，得x=；当x=0时，y=4x=0，
当﹣1x＜1时，函数y=x]+（x）x的图象与正比例函数y=4x的图象有三个交点，故错误，
故答案为：．
考点：与轴交于A，B，则称点P为抛物线的勾股点。
（1）直接写出抛物线的勾股点的坐标；
（2）如图2，已知抛物线C：与轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；
（3）的点Q（异于点P）的坐标
【答案】（1）（0，1）；（2）y=﹣x2+x；（3）（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）根据抛物线勾股点的定义即可求解；
（2）作PGx轴，由P点坐标求得AG=1、PG=、PA=2，由tanPAB=知PAG=60°,从而求得AB=4，即B（4，0），运用待定系数法即可求解；
（3）由SΔABQ=SΔABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为，据此可求解.
试题解析：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0），
如图，作PGx轴于点G，
点P的坐标为（1，），
AG=1、PG=，PA==2，
tan∠PAB=，
PAG=60°，
在Rt△PAB中，AB=，
点B坐标为（4，0），
设y=ax（x﹣4），
将点P（1，）代入得：a=﹣，
y=﹣x（x﹣4）=﹣x2+x；
（3）当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为，
则有﹣x2+x=，
解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去），
点Q的坐标为（3，）；
当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣
则有﹣x2+x=﹣，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
点Q的坐标为（2+，﹣）或（2﹣，﹣）；
综上，满足条件的点Q有3个：（3，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣）．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.待定系数法求二次函数表达式.
（1）（2），，，请探索，，满足的等量关系。
【答案】（1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2．
【解析】
试题解析：（1）△ABDBCE≌△CAF；理由如下：
ABC是正三角形，
CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
ABD=∠ABC﹣2，BCE=∠ACB﹣3，2=∠3，
ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
ABD≌△BCE≌△CAF，
ADB=∠BEC=∠CFA，
FDE=∠DEF=∠EFD，
DEF是正三角形；
（3）作AGBD于G，如图所示：
DEF是正三角形，
ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
c2=a2+ab+b2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当k>0时的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数与图像的交点为A,B.已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标为.
(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.
证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则解得
所以,直线PA的解析式为．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.
【答案】（1）（k，1）；（2）；ΔPAB为直角三角形或.
【解析】
试题解析：（1）B点的坐标为（k，1）
（2）证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则解得
所以,直线PA的解析式为．
令y=0，得x=m-k
M点的坐标为（m-k，0）
过点P作PHx轴于H
点H的坐标为（m，0）
MH=xH-xM=m-(m-k)=k.
同理可得：HN=k
PM=PN
②由知，在ΔPMN中，PM=PN
ΔPMN为等腰三角形，且MH=HN=k
当P点坐标为（1，k）时，PH=k
MH=HN=PH
∴∠PMH=∠MPH=45°，PNH=∠NPH=45°
∴∠MPN=90°，即APB=90°
∴ΔPAB为直角三角形.
当k>1时，如图1，
=
=
当0
=
=
考点：反比例函数的性质，一次函数的性质，平面直角坐标系中三角形及四边形面积问题，分类讨论思想对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【解析】
试题分析：(1)根据F(n)的定义式，分别将n=243和n=617代入F(n)中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32，t=150+y结合F（s）+F(t)=18,即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据相异数的定义结合F(n)的定义式，即可求出F(s)、F（t）的值，将其代入中，找出最大值即可.
试题解析：（1）F（243）=（423342+234）111=9；
F（617）=（167716+671）111=14．
（2）s，t都是“相异数”，s=100x32，t=150y，
F（s）=（30210x+230+x+100x+23）111=x+5，F（t）=（510y+100y+51+105+10y）111=y+6．
F（t）F（s）=18，
x+5+y+6=x+y+11=18，
x+y=7．
1≤x≤9，1y≤9，且x，y都是正整数，
或或或或或．
s是“相异数”，
x≠2，x3．
t是“相异数”，
y≠1，y5．
或或，
或或，
或或，
k的最大值为．
【探究函数y=x+的图象与性质】
（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；
（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：x＞0
y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+
（﹣）2≥0
y≥．
[拓展运用]
（4）若函数y=，则y的取值范围．
【答案】
【解析】
试题分析：
试题解析：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+的图象大致是C；
（3）解：x＞0
y=x+=（ ）2+（）2=（﹣）2+4
（﹣）2≥0
y≥4．
（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13
（﹣）2≥0，
y≥13．
考点：
6.（2017浙江嘉兴第18题）】小明解不等式的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【答案】x≥-5．错误的是①②⑤，正确解答过程如下：
去分母，得3（1+x）-2（2x+1）≤6，
去括号，得3+3x-4x-2≤6，
移项，得3x-4x≤6-3+2，
合并同类项，得-x≤5，
两边都除以-1，得x≥-5．有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形.
(1)如图在半对角四边形，，求的度数之和
(2)如图锐角接于若边存在一点使得的平分线交点结延长交点.求证：四边形半对角四边形；
(3)如图在(2)的条件下，过点于点交点当求的面积之比.
【答案】（1）120°；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）在半对角四边形，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°
∴3∠B+3∠C=360°
∴∠B+∠C=120°
即∠B与∠C的度数之和为120°
（2）在ΔBED和ΔBEO中
∴ΔBED≌ΔBEO
∴∠BDE=∠BOE
又∵∠BCF=∠BOE
∴∠BCF=∠BDE
如图，连接OC
设∠EAF=a，则∠AFE=2∠EAF=2a
∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2a
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=a
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2a
∴∠ABC=∠AOC=∠EFC
∴四边形DBCF是半对角四边形.
(3)如图，过点O作OM⊥BC于点M
∵四边形DBCF是半对角四边形
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠BAC=60°
∴∠BOC=2∠BAC=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴BC=2BM=BO=BD
∵DG⊥OB
∴∠HGB=∠BAC=60°
∵∠DBG=∠CBA
∴ΔDBG∽ΔCBA
∴
∵DH=BG，BG=2HG
∴DG=3HG
∴
∴
考点：1.四边形内角和；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质.
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