2014年普通高等学校统一考试（大纲）
理科
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则z的共轭复数为（）
A．B．C．D．
【答案】D．
2.设集合，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B.
3.设则（）
A．B．C．D．
【答案】C．
4.若向量满足：则（）
A．2B．C．1D．
【答案】B．
5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）
A．60种B．70种C．75种D．150种
【答案】C．
6.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】A．
7.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）
A．B．C．2D．1
【答案】C．
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A．B．C．D．
【答案】A．
9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（）
A．B．C．D．
【答案】A．
10.等比数列中，，则数列的前8项和等于（）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C．
11.已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【答案】B.
12.函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的反函数是（）
A．B．C．D．
【答案】D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的展开式中的系数为.（用数字作答）
【答案】70.
14.设满足约束条件，则的最大值为.
【答案】5.
15．直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与的夹角的正切值等于.
【答案】．
16.若函数在区间是减函数，则的取值范围是.
【答案】．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求B.
解：由题设和正弦定理得
又．
18.（本小题满分12分）
等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（I）求的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和.
解：（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是．
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
（I）证明：；
（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.
解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，
平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．
（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．
（II）设平面的法向量则即．
故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．
20.（本小题满分12分）
设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为各人是否需使用设备相互独立.
（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.
解：记表示事件：同一工作日乙、丙恰有人需使用设备，；表示事件：甲需使用设备；表示事件：丁需使用设备；表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
（I），又
（II）的可能取值为0，1，2，3，4．
，
∴数学期望
21.（本小题满分12分）
已知抛物线C：的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.
（I）求C的方程；
（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.
解：（I）设，代入，得．由题设得，解得（舍去）或，∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直，故可设的方程为，代入得．设则
．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入，并整理得．设则．故的中点为．
由于垂直平分线，故四点在同一圆上等价于，从而即，化简得，解得或．所求直线的方程为或．
22.（本小题满分12分）
函数.
（I）讨论的单调性；
（II）设，证明：.
解：（I）的定义域为．
（i）当时，若，则在上是增函数；若则在上是减函数；若则在上是增函数．
（ii）当时,成立当且仅当在上是增函数．
（iii）当时，若，则在是上是增函数；若，则在上是减函数；若，则在上是增函数．
（II）由（I）知，当时，在是增函数．当时，，即．又由（I）知，当时，在上是减函数；当时，，即．下面用数学归纳法证明．
（i）当时，由已知，故结论成立；
（ii）假设当时结论成立，即．当时，，即当时有，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何结论都成立．
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