2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷
文科数学试卷共，考试时长，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。结束后，本试卷答题卡一并交回。
题）
、选择题共，每小题，共在列出的选项中，选出符合题目要求的一项。
1.，，则
A.B.C.D.
2.下列函数中，定义域是为增函数的是（
A.B.C.D.
3.已知向量，则
A.B.C.D.
4.执行如图所示的程序框图，输出的（
A.B.C.D.
5.设、是实数则”是“”的（
A.充分而必要条件而不
C.充分必要条件充分不必要条件
6.函数在下列区间中，包含的区间是（
A.B.C.D.
7.已知圆两点，若圆存在点
使得则最大（
A.B.C.D.
8.加工爆米花，爆开且不糊的粒的百分比称为“可率”.特定条件下，可食用率
加工时间单位：分钟满足的函数关系、、是常数，下图
记录了实验的数据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A.分钟B.分钟C.分钟D.分钟
第2部分（非选择题）
、共，每小题，共。
9.，则.
10.双曲线焦点为，一个顶点式则方程
.
11.某三棱锥的如图所示，则该三棱锥的最长棱的为.
12.在中，，，则.
13.若、满足，则最小值为.
14.顾客请一位师、两件玉石各制一件工艺品，工艺师一位徒弟完成
项任务，颜料先由徒弟，再由工艺师进行精加工完成制作，工艺品都
完成后交付，两原料工序所需时间（单位：工作日）如下：工序
时间
原料 粗加工 精加工 原料 原料 则最短期为
三、解答题共，共解答写出文字说明，步骤或证明过程。
15.本小题满分）是等差数列，满足，数列，，且等比数列求和的通项公式；
求数列前和
16.（本小题满分）函数部分图象如图所示.
写出正周期图中的值；
求区间的最大值和最小值
17.（本小题满分）如图，三棱柱，棱底面，，、分别为的中点.
求证：平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥体积
18.（本小题满分）
（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；
（2）求频率分布直方图中的a，b的值；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）
19.（本小题满分）.
求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.
20.（本小题满分）.
（1）求在区间上的最大值；
（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；
（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）
数学（文）（北京卷）参考答案
选择题
（1）C（2）B（3）A（4）C（5）D（6）C（7）B（8）B
填空题
（9）2（10）（11）（12）2,（13）1（14）42
三、解答题
（15）解：
（I）设等差数列，由题意得：，
所以，
设等比数列，由题意得：，解得.
所以，从而.
（II）由（1）知，，
数列的前n项和为，数列的前n项和为，
所以数列的前n项和为.
（16）解：
（I）的最小正周期，，.
（II）因为，所以，于是
当，即时，取得最大值0；
当，即时，取得最小值.
（17）解：
（I）在三棱柱，AB，
又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，所以平面平面.
（II）取AB中点G，连结EG，FG，
因为E，F分别是、的中点AC，
因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，
所以四边形为平行四边形，所以EG，
又因为EG平面ABE，平面ABE，
所以平面.
（III）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，
所以三棱锥体积==.
（18）解：
（I）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有
6=2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是.
从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为.
（II）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以，
课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以.
（III）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
（19）解：
（I）由题意，椭圆C的标准方程为，
所以，从而，
因此，故椭圆C的离心率.
（II）设点A，B的坐标分别为，其中，
因为，所以，即，解得，又，
所以==
==，
因为，且当时间等号成立，所以，
故线段AB长度的最小值为.
（20）解：
（I）由得，令，得或，
因为，，，，
所以在区间上的最大值为.
（II）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则
，且切线斜率为，所以切线方程为，
因此，整理得：，
设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，=，
与的情况如下：
0 1 + 0 0 + t+3 所以，是的极大值，是的极小值，
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以
至多有2个零点，
当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以
至多有2个零点.
当且，即时，因为，，
所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.
（III）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.
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