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原创 2017-05-21 高邮赞化 段广猛 广猛文摘 广猛文摘
不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！ 本 文将围绕一道压轴题，谈谈解题后反思之变题策略，抛砖引玉，盼学生解题后养成反思琢磨变通之习惯，以便达到一题多用之效，形成学生自编自导之风，则幸哉幸哉！     本题其实是2014年浙江金华中考压轴题改编而来，而对于这道中考真题，本人作品《广猛说题系列之2016年四川南充中考压轴题（巧用绝对值策略）》中有详细解说，学生可自行查阅．本文主要简析下此改编题后，重在变式分析，浅谈综合题变式策略．一道好题就是一个取之不尽用之不竭的好素材，只要你开动脑筋，其价值不知几何． 下面笔者将从几个重要的解题意识入手，分析解决此改编题，同学们要重视这里提及的各种解题思维以及解题策略，形成自己的解题意识以及解题风格．  (1)“用确定性思想分析问题”的解题意识： 审题时紧扣“确定性”分析问题，形成“确定的必然可解”潜意识，养成战略上“藐视”确定性问题而思想上却高度重视的大局观，这里由点E的坐标为（4,0）知图中所有的点都是确定的，所有的几何元素都是确定的，既然是确定的，必然是可解的，So easy！ “特殊性与特事特办”的解题意识： 审题过程中，还要有一双慧眼，善于识别图中的特殊性，用特殊的眼光去审视问题，这是一种重要的解题意识，笔者称之为“特殊性与特事特办”解题意识，算是“大势感知”的一种能力，即几何直观感知力；  如图1-1所示，易知点A（5,0），C（0,5），故△OAC为等腰直角三角形，∠OAC=45°，发现了本题的这个特殊性，下面就狠抓这个特殊性“特事特办”，充分用好45°这个“好角”；   “抓不变量”的解题意识： 审题过程中，除了要有主动探寻“特殊性”的审题策略，还要有“抓不变量”的审题策略，动中有静，变中有不变，这些不变量往往就是解决问题的关键之所在，抓住了不变量就是逮住了“牛尾巴”，抓住了不变量，就是抓到了题眼，抓不变量也是一种重要的审题策略，本题中就有一个在运动过程中始终不变的量，那就是该矩形的宽总为1，即EF=1；   “解题后反思”意识： 此题若是对“12345模型”了解的话，直接口算秒杀，作为教师要有这种探究“新大陆”的情怀与精神，当然学生未必就要去掌握并应用了，这要看个人的领悟力及自觉性，具体可查阅于头相关讲座，不再赘述，学生可跳过！  (2)分析问题的推理能力及转化本领： 在矩形平移的过程中，要使以点P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形，注意到始终有PM∥QN，即PM及QN一定是该平行四边形的一组对边，且已经确定其互相平行，只要保证PM=QN即可； “巧施绝对值”的解题策略： “咬文嚼字”式审题会发现(1)中有一个限制条件使问题得以简化，即“点M和N都在线段AC上”，但到了第(2)问中却发现此条件木有了，这其实也在一定程度上提醒了我们，此问情形可能不唯一，需要分类画图分析喽； 但是如果真的去画图分析，情形较多，很难把各种情形考虑全面，你可以去试试看； 这时候我们不妨试试，绝对值策略可否“大展拳脚”？答案是肯定的，而且非常适合； 解题后反思： 最后一问，若是画图分析，分类解决，情形较多，很难考虑全面，而且每种情形下都需要进行冗长的计算，很容易出现计算失误导致丢分，但我们这里巧施绝对值策略，将每种情形都融入了一个含有绝对值的方程里，最后解这个含有绝对值的方程即可轻松获解，孰优孰劣，比比便知. 一道好题求解之后，其实同学们还可以再琢磨琢磨，它还有哪些变式问题，可以自问自答，当同学们自己都能编出一道好题出来，再将之解决，那种成就感是爽歪歪的. 下面笔者变出几个常见问题出来再简要分析思路，而且我们这里的变式问题，都是重思维轻计算的，原因在于有些常规变式问题，可能会因数据不好而导致计算量偏大而失去了简洁之美！没关系，这跟本文想表达的思想并不矛盾，我们这里主要是要搞明白每道变式问题的通解通法！ 一道好题就是一座宝藏，充分挖掘，其价值不知几何！下面笔者将按同学们从七年级到九年级几何学习的顺序入手，提出一些变式问题，权当抛砖引玉之用！你还可以想一想有没有其他更有趣的变式，“您的变式，我的期待”，则本文的意义就能真正体现出来了，最终能达到一题多变，一题多用之效，则不胜荣幸！ 对于变式1，我们先来谈谈一个有趣的结论； 同学们都知道，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”是一个假命题，但我想问，你知道为什么它是假命题吗？这时候你肯定会不假思索地给我一个反例，那就是等腰梯形！好，非常好！确实，等腰梯形是此假命题的致命反例！那么，问题来了，除了等腰梯形这个反例外，还有其他的反例存在吗？答案是木有，只有这两种可能，即要么是平行四边形，要么是等腰梯形！所以，同学们，你能把上述的假命题改成一个真命题吗？相信同学们一定行，即“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形”，除此之外，再无其他！ 再回到我们的变式1上来，由PM∥QN及PQ=MN结合图形分析易知：四边形PQMN只能为平行四边形或者等腰梯形，除此之外，再无其他，即此变式问题要分两种情形解决： 情形一：当四边形PQMN为平行四边形时，这其实是原题中绝对值处理解决后的一种情形，此时由题目的简化条件“点M和N都在线段AC上”可以确定，点P与点M、点Q与点N“孰高孰低”，因而不必采取绝对值处理策略，直接列常规方程求解即可，建议同学们不要滥用绝对值，即不用绝对值也能轻松解决的问题坚决不用； 由原题的求解过程易知，此时符合条件的点N坐标为（2,3），不再赘述； 情形二：当四边形PQMN为等腰梯形时（这是教材已删除的梯形内容，但其实学生也很容易理解），结合图形分析，这种情形若存在，只可能是如图2-1所示的情形，这里将需要的元素保留，删去了其他干扰的元素，值得学生领悟并应用； 值得一提的是，这里是新教材已删除的部分，但学生若是对此处辅助线稍作了解的话，在某些与四边形有关计算中还是有大用的；另外，结合图2的分析，笔者感觉上面列出的方程可能无解，即这种情形未必存在，但这必须通过计算说理来解决.我们这里主要重思维、轻计算，所以不再详述，有兴趣的同学可自行探究！ 更有趣的是，若是去掉“点M和N都在线段AC上”这个简化条件，情形二就变得复杂了，但别忘了我们的“绝策”，即巧施绝对值策略，也可以解决这个复杂的等腰梯形的存在性问题，哈哈，越往下琢磨，真的是越有趣！ 作为此处的题外话，我想再谈谈被世人误解千年的“SSA”，因为这个话题的探讨与上面假命题“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”如出一辙，只要稍加修改，其实它依然可以作为全等的重要判断手段，尤其是在一些计算问题的确定性分析中，经常会碰到，所以有必要稍微提及下，盼学生养成这种探究之情怀、质疑之精神！ 世人都说“SSA”不能作为两个三角形全等的判定条件，但符合“SSA”条件的两个三角形果真不全等嘛？！其实不然，很多情况下，两个符合“SSA”条件的三角形真的是全等的啊！ 我们再来详谈一下所谓的“SSA”； 同学们都知道，“SSA”不能用来证明三角形全等，这也是我们学三角形全等的判定方法中最容易出错之处，但我想问，符合“SSA”条件的三角形一定不能判断出全等吗？这时候你肯定会不假思索地给我一个如图2-2所示的反例！好，非常好！确实，下图是“SSA”的致命反例，即△ABC与△ABD符合“SSA”条件，但不全等！这个反例的构造需要引起同学们的重视，换言之，同学们自己要理解这里的构造方法，把握实质，自己会单独构造，有很多考题就是专门在这个图形上大作文章的！其实，这里主要借助了等腰三角形的对称性，巧妙利用了辅助圆的方式精确画图！ 那么，问题来了，符合指定“SSA”（即两边确定及其中一边的对角确定）的三角形可能不唯一，但是不是有无数个呢？答案是木有，最多只要上述图2-2的两种可能，即要么是△ABC，要么是△ABD，除此之外，再无其他，甚至很多时候，这样的三角形并非有两个，而是有且只有一个，即这时候是可以通过适当的方式说明符合这种条件的三角形是全等的！ 其实我们可以在图2-2的基础上进一步往下思考：为什么符合这里“SSA”的三角形不唯一呢？就是因为有一个对称的思想在其中，利用对称性可以寻找到第二个符合条件的三角形，那可不是不唯一嘛！但是，这样的对称，是不是一定存在呢？我们可以连续变换的思想将⊙B慢慢放大，观察⊙B与∠A的另一条边的交点个数，图2-3及图2-4给了其演变过程，一切自在图中，请同学们好好体悟！ 图2-5给出了上面的动态演示过程，请欣赏： 若∠A确定，且边AB确定，通过图2-3至图2-4的探究，我们可以得到以下结论： 当0<> 当BC=ABsinA或者BC≥AB时 ，这样的△ABC有且只有一个； 当ABsinA<> 看来，对于两边确定及其中一边的对角确定（即SSA）的三角形的个数只可能是0个、1个或2个，即最多有两个而已，并不是大家想象的可能有好多个！可不，被世人误解的“SSA”多么冤枉啊，她比窦娥还要冤，很多时候它是可以用于证明三角形全等的，只不过不能直接使用而已，不信我们来看南京一道经典的中考真题，看它是怎么考察“SSA”的，从一定程度上而言，“南京人”在尝试为“SSA”洗刷“千古之冤”啊，哈哈！现将原题及网上的解析摘录如下： （2014年江苏南京） 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF． 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等． （3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 简析：（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明； （2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，如下图所示，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等，也就是说这里可通过“三步全等”证明出来； （3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等； （4）根据（3）中的作图细致分析，若再添加条件：∠B≥∠A，则有△ABC≌△DEF． 其实第（4）小问就是笔者前文中探究得出的结论，笔者是从边的角度总结结论的，这里是从角的角度去分析结论的，两者本质一样，请自行辨析！ 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细． 自己写东西就是如此任性，想到哪写到哪，无拘无束，这里扯得还是比较远的，哈哈！虽然扯远了，偏离主题了，但希望同学们对于“SSA”有更深刻的体会，甚至于有的时候用确定性思想分析问题时，碰到了符合“SSA”的三角形，也不要感觉疑惑，因为很多时候这样的三角形就是确定的，既然是确定的，当然也是可解的！ 比如本人作品《思想决定高度——论初中生几种常见的数学解题策略与方法（第一集 确定性与构造法）》中的引子里的题1其实就是这种情况，现摘录如下，供大家琢磨： 如图1，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△处，此时线段与BO的交点E恰为BO的中点，求线段的长度. 于特布道：考虑图形的确定性，这是在很大范围里的思考方法；只要教师坚持训练，往往也是学生最容易想到的思考方法. 对于这个图形，聚焦思考△A'OE，如图1-1所示，你就会发现，OA'长已知，∠A'大小确定，OE也已知，因此△A'EO可解，从而解出A'E长，由此即可求出B'E. （上集完！） 敬请各位朋友关注本人公众号，若能帮忙宣传，则不胜感激，旨在服务于更多的学子还有更多喜欢钻研的同仁们！ 点赞是一种美德，打赏是一种认可
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