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原创 2017-04-22 高邮赞化 段广猛 广猛文摘 广猛文摘
不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！ 本文拟以这几天我校二轮复习中遇到的一道小题为引，反思出系列“构造法”之趣谈，带领大家体会数学探究之路的奇幻，感受数学的神奇构造之美！Let’s go！  原题重现：（来源：高邮市赞化学校九年级数学第二轮专题复习导学案） 将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，其中OB在x轴上，若OA=2，将该三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为 .  本题是来自课堂导学案上的一道小题，难度不大，大部分学生可以轻松搞定：   课堂上，笔者又追加了一问： 问题1：一个极其自然的想法，如何求点B的对应点B′的坐标？ 对于这个问题，少部分学生的第一想法是利用“倍半角模型”求出15°的三角函数值，我们试试看：  这里不再有原题那样的45°特殊角的存在，但有15°这个“特殊角”，于是我们可以尝试“另起炉灶”借助“倍半角模型”算出15°的三角函数值，进而知其所在的直角三角形三边之比值，再去求点B′的坐标； “想法是美满的，现实却是骨感的”！我们看看下面的计算会遇到什么麻烦： 如图1-3所示，联想到15°与30°之间的倍半关系，构造“倍半角模型”，具体可参见本人作品《用“倍半角模型”解题事半功倍》，注意图1-3中所标的边长不是绝对长度，而是相对长度，即体现的是各边之比例；  上面的变形过程，同学们可自行参悟，其实就紧紧围绕“完全平方公式”，往“首平方、尾平方、乘积2倍在中央”这个口诀的形式上取“靠”，就能“套”出公式，找到出路，这还是相对比较容易理解的；   上面的解法中，巧妙借助了“倍半角模型”，构造计算出15°角的三角函数值，从而利用比例口算目标点的坐标，但中间有一点小麻烦，就是会遇到“双重二次根式”的化简，若是同学们没有相关的化简经验，此法虽是正确的，但无奈你的计算能力有限，可能得不到最终的正确答案，悲哉悲哉！由此可以见得，计算能力多么重要啊，大家不要轻视计算，这是一个数学基本功，可以说计算好的学生一般数学学习都不会差，反过来，计算不到位的同学学习好不了几乎是必然的事实，而且本地区中考对于学生的计算能力要求也是越来越高，需引起同学及老师的关注！ 若是不通过构造“倍半角模型”，还有没有什么其他的通解通法，毕竟多数老师没有正统地教过学生所谓“倍半角模型”啊！下面笔者再提供课堂上部分学生提及的一个好思路、好想法，而且确实是很大范围内普适的通解通法： 注意到，课堂上的这个追问并非是“孤立”提出的，而是在原题求出点A′的基础上自然地一个问题，为什么不想想这两个问题之间的联系呢？也就是说，为什么不想想在点A′的基础上取想一想点B′的求法呢？这会有什么样的“神奇效应”呢？试试便知！   很明显上面的解法更加漂亮简洁，此法巧妙抓住了点B′与点A′之间紧密的联系，通过构造同学们耳熟能详的“一线三直角”相似基本图形，轻松搞定此题，值得大家用心品味，越品越有味！ 品着、品着，笔者突发奇想，提出了下面一个问题，越想越感叹数学构造之神奇！  这个问题表面看上去非常简单直接，用“确定性思想”来看，问题一目了然，但要用到75°角（即15°角）三角函数值，又不可避免地遇到前面问题1中第一种解法的“尴尬”，但是依然如同问题1中第一种解法操作，最终求出点B′的坐标，不失为一种好想法，只是计算上少麻烦了些而已，不再赘述； 若是拿着问题1中第二种解法来思考问题2，难道你就没有什么更有趣的构思！ 一切尽在图1-6及图1-7中，此时无声胜有声！同学们自己去体悟吧，遨游在神奇的数学构造之世界里，你一定会爱上数学的！ 其实再细想一想，图1-6中的三角形也没有存在的必要，如图1-8的构造更加简洁有趣、美观大气！关于此图如何构造，笔者简要解释一下：联想到“75°=30°+45°”，可以先依托确定的B′O向右上方构造一个以B′O为斜边，且∠B′OA′=30°的Rt△B′OA′，然后依托构造的Rt△B′OA′构造“一线三直角”基本相似型，剩下的又回到了问题1！ 更有趣的是，若是你构造出如图1-9所示的“矩形”出来，所谓“大法”接踵而至，即图1-9可提供中一种所谓“矩形大法”的方式，构造计算出一些“特殊角”的三角函数值，这里也是大有文章可作，后续有机会可以单独成文，不再展开！ 既然可以“先将75°拆成30°剩下45°”的方式，那应该也可以“先将75°拆成45°剩下30°”的方式来解决问题，试试看： 第一步：联想到“75°=30°+45°”，将75°角拆分为两个特殊角； 第二步：如图1-10，可以先依托确定的B′O向右上方构造一个以B′O为斜边的等腰Rt△B′OC，则由B′O的长可口算出B′C及OC的长； 第三步：如图1-11，再依托构造的等腰Rt△B′OC构造“一线三直角”基本全等型，剩下的就是口算的事了，不再赘述！ 上面我们通过一道简单小题的解题后反思，通过巧妙的构造，引进“拆分角”的策略，解决了75°角相关的问题，趣味与数学味都很浓！如果单单想上面的方法，未必多么简单，但其中体现的数学构造之神奇还是很有趣的，不禁让人感叹：数学神奇、数学好玩！而且想通了如何“拆分角”之后再去体悟，其实还是比较容易构造的，这就是我想表达的解题反思的神奇之效、几何构造的神奇之妙！ 下面再补充一种有趣的构造之法，来自qq好友南京倪俊老师： 第一步：如图1-12所示，依托确定的B′O向右上方构造等边三角形B′OC； 第二步：如图1-13所示，依托上面构造的等边三角形B′OC的顶点作“水平—竖直辅助线”，构造出正方形OMNG，其中易知Rt△B′OM≌Rt△COG； 第三步：如图1-14所示，连接正方形OMNG的对角线ON，计算出ON的长，进而写出点N的坐标； 第四步：由点N的坐标根据平移公式直接口算出目标点B′的坐标！ 神奇的倪老师，神奇的构造法！ 其实若是再继续深究下去，这儿还可以“挖出一些宝”，那就是任意两个角α和β，以及它们的和或差的三角函数值，可以“知二求一”，即已知任意两个，可以求出第三个来！而不仅仅局限于这里的“75°=30°+45°”这个特殊角了，当然更一般的情况的构思方法与后者是如出一辙的，这就是数学中重要的类比思想，由特殊到一般，体现了数学方法的“统一性”！我们下面举几个特殊的例子，以求达到抛砖引玉之效！ 有老师可能会说这是高中的知识，因而可能反感此方法以及题目，其实有的时候，在一些综合计算题中，大家用“确地性思想”去分析问题时，就很有可能会碰到这么一个简单但又不知如何下手的问题，即有两个确定的角，想要去求这两个角之和的三角函数值，进而用比例口算线段等，这时候就可以“另起炉灶”，采用上面的“矩形构造大法”，以备不时之需，而且我想说这个构造方法高中学生会吗？应该不会吧，这个方法还是初中的方法啊！只不过用初中的方法解决了高中的公式或问题而已，为什么要排斥呢！再说，我们数学探究的情怀哪去了，难道真的仅仅是为了那一张“中考卷”在学数学嘛？做数学、学数学得有接受美、审视美、欣赏美的情怀与态度！ 特别提醒同学们，这里需关注的边长都是“直边长”，即“水平—竖直”放置的边长，斜着放置的边长根本不需要其具体值，只需其比值，进而提供相似比即可，计算简单，容易操作，同学们可自己尝试构造下，用一次就成为你的解题利器了额！ 如果把情形二中已知的角（α+β）看成一个整体，其实这个问题就相当于已知两角的三角函数值，求这两个角之差的三角函数值，这就是下面的情形三. 第一步：如图1-21所示，构造符合题意两个“背靠背”的直角三角形； 其实这一步同学们可以类比情形一求两角和的构造法，首先都是构造出一个含角α的直角三角形，然后都是依靠这个直角三角形的斜边去构造另一个含角β的直角三角形，简称为“背靠背模型”，只不过处理两角和的三角函数值情形时，这两个确定的角α与β在同一个顶点处，而处理两角差的三角函数值情形时，这两个确定的角α与β在不同的顶点处！ 越类比，越有趣！通过这样的类比，大家就不必强记这里的构造法了，只要去尝试一下，就立马会意识到“同侧是两角和、异侧是两角差”的构造之法了！这就是这里构造法的精髓所在，同学们应该静下心来取画图尝试一下，争取早日变成自己的解题“伎俩”！ 第二步：如图1-22所示，引进“巧设”，将图1-21中的数据同比例放大4倍，利用“一线三直角”基本相似型比例口算得到图1-22中各“水平、竖直”边长； 其实上面的情形一（求任意两已知角之和的锐角三角函数值）与情形三（求任意两已知角之差的锐角三角函数值）是最基本的两种类型，其他的所有情形都可以经过简单而巧妙的处理转化为这两种情形，而且这两种最基本的情形的构造太“相似”了，只要你去类比学习，一定会相得益彰，把握精髓的！ 比如情形二的问题，可以经过如下巧妙的转化，即所求tanα=tan[（α+β）-β]，这样问题就相当于已知（α+β）这个整体的三角函数值以及β的三角函数值，求这两个确定的角之差的三角函数值，这可不就变为了情形三嘛！ 此外，我们还可能遇到这样的情境，已知一个锐角的三角函数值，求其半角或者二倍角的锐角三角函数值，前者可简称为“由倍到半”的过程，后者可简称为“由半到倍”的过程！这个专题在本人作品《用“倍半角”模型解题事半功倍》中已详细介绍过，有兴趣的同学可拿来再复习巩固下！ 在《用“倍半角”模型解题事半功倍》一文中，我们就知道“由倍到半”的过程极其简单，既然如此简单，也没必要去探究其他的处理通法了！这儿我想表达的是“目标决定方向”，既然已经有一个简单的不能再简单的通解通法能处理相关问题了，那去探究其他解法反而是多此一举，可能还会将问题搞得更复杂，没这个必要去耗时耗力不讨好！但是“由半到倍”相对而言麻烦些，还有设元，勾股计算，其实也不是太麻烦，详见上述作品！其实我们今天介绍的“矩形大法”也可以搞定这个稍显复杂的“由半到倍”的过程，而且计算简洁，直接口算，无需设元，且去瞅瞅： 本文通过一道简单小题的反思，竟然得出了如此一系列的思考出来，可见解题后反思多么难得、多么重要啊！同学们平时学习一定要有反思的习惯，“不以题小而不解、不以题易而不思”！ 本文中后面给的两种基本情形是重要的基本图形，掌握了就“一劳永逸”了，当你需要处理两个确定的角以及它们之间的和差倍分之间的关系时，往往可以套用模型，另行处理，进而解决问题，其应用极其广泛，而且与高中知识接轨，说不定哪天来道阅读信息题呢！ （本文完！） 敬请各位朋友关注本人公众号，若能帮忙宣传，则不胜感激，旨在服务于更多的学子还有更多喜欢钻研的同仁们！ 点赞是一种美德，打赏是一种认可
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