2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集，则集合（）
A．B．C．D．
2.设复数z满足，则（）
A．B．C．D．
3.已知，，则（）
A．B．C．D．
4.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）
A．若则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5.设是非零向量，学科网已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）
A．B．C．D．
6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）
A．144B．120C．72D．24
7.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
8.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）
A．B．C．D．
9.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
10.已知点在抛物线C：的准线上，学科网过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）
A．B．C．D．
11.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．ZXXK
12.已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有.
若对所有，，则k的最小值为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.执行右侧的程序框图，若输入，则输出.ZXXK
14.正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，学科网则质点落在阴影区域的概率是.
15.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.ZXXK
16.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：
（1）a和c的值；
（2）的值.
18.（本小题满分12分）
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望及方差.
19.（本小题满分12分）
如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
证明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且对（1）中的x0有.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲学科网
如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（1）求证：AB为圆的直径；
（2）若AC=BD，求证：AB=ED.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，，记的解集为M，的解集为N.
（1）求M；
（2）当时，证明：.
2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
理科数学答案
1.D2.A3.C4.B5.A6.D7.B8.C9.B10.D11.C12.B
13.C14.15.1216.
17.（Ⅰ）由得，，又，所以ac=6.
由余弦定理，得.
又b=3，所以.
解，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴a=3，c=2.
（Ⅱ）在中，
由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.
于是=.
18.（Ⅰ）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
.
.
.
（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
,
,
,
,
分布列为
X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72
19.（Ⅰ）证明：
（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，
由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，
又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，
又EF面EFO，所以EF⊥BC.
（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.
（Ⅱ）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF.
因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；
在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.
（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因sin==，即二面角E-BF-C的正弦值为.
20.（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，
由题意知
解得，故方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.
由在上，得，
解得b12=3，因此C2方程为
显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点
由得，又是方程的根，因此，由得
因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.
21.（Ⅰ）当时，，函数在上为减函数，又，所以存在唯一，使.
（Ⅱ）考虑函数，
令，则时，，
记，则，
由（Ⅰ）得，当时，，当时，.
在上是增函数，又，从而当时，，所以在上无零点.
在上是减函数，由，存在唯一的，使.
所以存在唯一的使.
因此存在唯一的，使.
因为当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使.
因，所以
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22.（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.
由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.
(Ⅱ)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.
由于
于是ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.
23.（Ⅰ）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得由得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为?（t为参数）.
(Ⅱ)由解得：，或.
不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，
化极坐标方程，并整理得
，即.
24.（Ⅰ）
当时，由得，故；
当时，由得，故；
所以的解集为.
(Ⅱ)由得解得，因此，故.
当时，，于是
.
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