2014年陕西高考数学试题（文）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（）
2.函数的最小正周期是（）
3.已知复数，则的值为（）
4.根据右边框图，对大于2的整数，输出的数列的通项公式是（）
5.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）
下了函数中，满足“”的单调递增函数是（）
（B）（C）1/2（D）
原命题为“若，，则为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆
否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）
（A）真，真，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假
9.某公司位员工的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（）
，（B），
（C），（D），
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲
路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）
（A）（B）
（C）（D）
填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共
25分）.
11.抛物线的准线方程为________.
12.已知，，则________.
13.设，向量，若，则______.
14.已知，若，则的
表达式为________.
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）设，且，则的最
小值为______.
B.（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交
于点，若，则=_______.
C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线的距
离是_______.
三、解答题.
16.（本小题满分12分）
的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：；
（2）若成等比数列，且，求的值.
17.（本小题满分12分）
四面体及其三视图如图所示，平行于棱的平面分别交四面体的棱
于点.
（1）求四面体的体积；
（2）证明：四边形是矩形.
18.（本小题满分12分）
在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.
若，求；
（2）用表示，并求的最大值.
（本小题满分12分）
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元） 0 1000 2000 3000 4000 车辆数（辆） 500 130 100 150 120
若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.
（本小题满分13分）
已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.
21.（本小题满分13分）
设函数.
当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.
11.12.13.14.15.31
16.（1）成等差数列
由正弦定理得
（2）由题设有b2=ac，c=2a，b=，
由余弦定理得
17.（1）由该四面体的三视图可知：
，
平面
四面体体积
（2）因为∥平面，
平面平面，平面平面
∥，∥，∥.
同理∥，∥，∥.
四边形是平行四边形
又因为平面
∥,∥
四边形是矩形
18.（1）因为，，
=
（2）
即
两式相减得：
令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.
19.（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得：
，，
由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，所以其概率为：
设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有辆
所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
由频率估计概率得
20.（1）由题意可得
解得
椭圆的方程为
由题意可得以为直径的圆的方程为
圆心到直线的距离为
由，即，可得
设
联立
整理得
由求根公式可得：，
解方程得，且满足
直线的方程为或
21.（1）由题设，当时，
易得函数的定义域为
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
当时，取得极小值
的极小值为2
(2)函数
令，得
设
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为
又，结合y=的图像（如图），可知
当时，函数无零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
对任意恒成立
等价于恒成立
设
在上单调递减
在恒成立
恒成立
（对，仅在时成立），
的取值范围是
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