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| 2014年普通高等学校招生统一考试_天津市数学（理）卷文档版（有答案） |
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绝密★启用前
2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件，互斥，那么 如果事件，相互独立，那么
?圆柱的体积公式?圆锥的体积公式
其中表示柱的底面面积，其中
表示柱的高表示圆锥的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
（1）（）
（A）（B）（C）（D）（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）
（A）（B）（C）（D）（3）的值为（）
（A）（B）
（C）（D）（4）的单调递增区间是（）
（A）（B）（C）（D）
（）的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D）（）是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④（）
（A）②（B）③④（C）②③（D）②④
（7），则|“”是“”的（）
（A）（B）（C）（D）
（8）的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则（）
（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）4：5：5：6_______名学生.
（10）已知一个_______.
（11）是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.
（12）在所对的边分别是.已知，，则的值为_______.
（13）为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.
（14），.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
（16）（本小题满分13分）
7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望
（17）（本小题满分13分）
如图，在四中，底面，，，，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆（）的左焦点为，，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的；
（Ⅱ）设为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.
（19）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数设集合，集合
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（）设，，，其中（20）（本小题满分14分）
已知函数.已知函数有两个零点，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明随着的减小而增大；
（Ⅲ）随着的减小而增大.
参考答案及解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C C （1）（）
（A）（B）（C）（D）.
（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）
（A）（B）（C）（D）时，取得最小值3.
（3）的值为（）
（A）（B）
（C）（D）时，，；时，，；
时，，，输出.
（4）的单调递增区间是（）
（A）（B）（C）（D）
，解得或.由复合函数的单调性知的单调递增区间为.
（）的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）
（A）（B）（C）（D）解：A依题意得，所以，，双曲线的方程为.
（）是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的切线与的延长线交于点.在上述条件下，给出下列四个结论：①平分；②；③；④（）
（A）②（B）③④（C）②③（D）②④
解：D由弦切角定理得，又，所以∽，所以，即，排除A、C.
又，排除B.
（7），则|“”是“”的（）
（A）（B）（C）（D）
解：C设，则，所以是上的增函数，“”是“”的充要条件.
（8）的边长为2，，点分别在边上，，.若，，则（）
（A）（B）（C）（D），所以.
因为，所以，.
因为，所以，即①
同理可得②，①+②得.
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）
（9）4：5：5：6_______名学生.
解：60应从一年级抽取名.
（10）已知一个_______.
解：该几何体的体积为.
（11）是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.
解：依题意得，所以，解得.
（12）在所对的边分别是.已知，，则的值为_______.
解：因为，所以，解得，.
所以.
（13）为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.
解：3圆的方程为，直线为.
因为是等边三角形，所以其中一个交点坐标为，代入圆的方程可得.
（14），.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________.
解：或
显然.
（ⅰ）当与相切时，，此时恰有3个互异的实数根.
（ⅱ）当直线与函数相切时，，此时恰有2个互异的实数根.
结合图象可知或.
解2：显然，所以.
令，则.
因为，
所以.
结合图象可得或.
三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）
已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值
（15）本小题满分13分（Ⅰ）
.
所以，的最小正周期.
（Ⅱ）在区间上是减函数，在区间上是增函数.
，，.
所以，函数在闭区间上的最大值为，最小值为.
（16）（本小题满分13分）
7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望
（1）本小题满分13分（），则
.
所以，选出的3名同学来自互不相同学院的概率为.
所以，的最小正周期.
（）的所有可能值为0，1，2，3.
.
所以，随机变量的分布列是
0 1 2 3 随机变量的数学期望.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四中，底面，，，，点为棱的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）为棱上一点，满足，
求二面角的余弦值.
（1）本小题满分13分为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.
（），，故.所以，.
（），.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有
.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（），，，.
由点在棱上，设，.
故.
由，得，
因此，，解得.即.
设为平面的法向量，则即
不妨令，可得为平面的一个法向量.
取平面的法向量，则
.
易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.
（方法二）
（）中点，连接，.
由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.
因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.
（），由（）平面，得，而，故.
又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.
所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.
依题意，有，而为中点，可得，进而.
故在直角三角形中，，因此.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
（）中，过点作交于点.
因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.
在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.
由于，故，所以四点共面.
由，，得平面，故.
所以为二面角的平面角.
在中，，，，
由余弦定理可得，.
所以，二面角的斜率值为.
（18）（本小题满分13分）
设椭圆（）的左焦点为，，上顶点为.已知.
（Ⅰ）求椭圆的；
（Ⅱ）设为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.
（18）13分.
（Ⅰ）的坐标为.由，可得，又，则.
所以，椭圆的离心率.
，所以，解得，.
（Ⅱ）（Ⅰ），.故椭圆方程为.
设.由，，有，.
由已知，有，即.又，故有
.①
又因为点在椭圆上，故
.②
由①和②可得.而点不是椭圆的顶点，故，代入①得，即点的坐标为.
设圆的圆心为，则，，进而圆的半径.
设直线的斜率为，依题意，直线的方程为.学科网
由与圆相切，可得，即，
整理得，解得.
所以，直线的斜率为或.
（19）（本小题满分14分）
已知和均为给定的大于1的自然数设集合，集合
（Ⅰ）当，时，用列举法表示集合；
（Ⅱ）设，，，其中，证明：若，则
（19）项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：当，时，，
可得，.
（Ⅱ）证明：，，，，及，可得
.
所以，.
（20）（本小题满分14分）
已知函数.已知函数有两个零点，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明随着的减小而增大；
（Ⅲ）随着的减小而增大.
（20）14分.
（）解：，可得.
下面分两种情况讨论：
（1）时
在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意.
（2）时，
由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ 0 － ↗ ↘ 这时，的单调递增区间是；单调递减区间是.
于是，“函数有两个零点”等价于如下条件同时成立：
1°；2°存在，满足；
3°存在，满足.
由，即，解得，而此时，取，满足，且；取，满足，且.
所以，的取值范围是.
（Ⅱ）证明：，有.
设，由，知在上单调递增，在上单调递减.并且，当时，；当时，.
由已知，满足，.由，及的单调性，可得，.
对于任意的，设，，其中；，其中.
因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得.
又由，得.
所以，随着的减小而增大.
（）证明：，，可得，.
故.
设，则，且解得，.所以，
.①
令，，则.
令，得.
当时，.因此，在上单调递增，故对于任意的，，由此可得，故在上单调递增.
因此，由①可得随着的增大而增大.
而由（Ⅱ），随着的减小而增大，所以随着的减小而增大.学科网
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