2014年重庆高考数学试题（文）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）
第一象限第二象限
第三象限第四象限
2.在等差数列中,，则（）
3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（）
4.下列函数为偶函数的是（）
5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为
6.已知命题
对任意，总有；
是方程的根
则下列命题为真命题的是（）
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.12B.18C.24D.30
设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）
B.C.4D.
若的最小值是（）
B.C.D.
已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）
B.
C.D.
二、填空题
11.已知集合______.
12.已知向量_________.
将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的
一半，纵坐标不变，再向右平移的单位长度得到的图像，则______.
已知直线与圆心为的圆相交于两点，且
，则实数的值为_________.
某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在
该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____
（用数字作答）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）
已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.
（I）求及；
（II）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通
项公式及其前项和.
（本小题满分13分.（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）
20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：
（I）求频数直方图中的值；
（II）分别球出成绩落在与中的学生人数；
（III）从成绩在的学生中人选2人，求次2人的成绩都在中的概率.
18.（本小题满分12分）
在中，内角所对的边分别为，且
（1）若，求的值;
（2）若，且的面积，求
和的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数，其中，且曲线在点处的切
线垂直于
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值。
（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）
如题（20）图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.
证明：平面；
若，求四棱锥的体积.
21.
如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
求该椭圆的标准方程；
是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
数学（文）（重庆卷）参考答案
选择题
（1）B（2）B（3）A（4）D（5）C（6）A（7）C（8）D（9）D（10）A
二、填空题
（11）（12）10（13）（14）0或6（15）
简答题
（16）解：
（I）因为是首项，公差的等差数列，所以
故
（II）由（I）得，因为，即
所以，从而.
又因，是公比的等比数列，所以
从而的前项和
（17）解：
（I）据直方图知组距=10，由
，解得
（II）成绩落在中的学生人数为
成绩落在中的学生人数为
（III）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个：
其中2人的成绩都在中的基本事伯有3个：
故所求概率为
（18）解：
（Ⅰ）由题意可知：
由余弦定理得：
（Ⅱ）由可得：
化简得
因为，所以
由正弦定理可知：，又因，故
由于，所以，从而，解得
（19）解：
（Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.
当时，故在内为减函数；
当时，故在内为增函数；
由此知函数在时取得极小值.
（20）解：
（Ⅰ）如答（20）图，因为菱形，为菱形中心，连结，则，因，故
又因为，且，在中
所以，故
又底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，
设，由底面知，为直角三角形，故
由也是直角三角形，故
连结，在中,
由已知，故为直角三角形，则
即，得，（舍去），即
此时
所以四棱锥的体积
（21）解：
（Ⅰ）设，其中，
由得
从而故.
从而，由得，因此.
所以，故
因此，所求椭圆的标准方程为：
（Ⅱ）如答（21）图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知
由（Ⅰ）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.
当时，重合，此时题设要求的圆不存在.
当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设
由得而故
圆的半径
综上，存在满足条件的圆，其方程为：
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