答案：B[答案][2，＋∞)第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第2课时函数的单调性与最值f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)上升的下降的增函数减函数f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M答案：A答案：(－∞，0)解析：选B.因为定义域是R，排除C，又是增函数，排除A、D，所以选B.[易错警示]
定义域的请求——求函数单调区间先求我
1．函数的单调区间是定义域的子集，求函数的单调区间必须做到“定义域优先”的原则．
[典例]函数f(x)＝的单调增区间为________．
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
考点一求函数的单调性(区间)命题点 1.求具体解析式的函数的单调性(区间)
2.求解析式含参数的函数的单调性(区间) 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述
自左向右看图象是
自左向右看图象是
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是或，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意xI，都有；(2)存在x0I，使得(1)对于任意xI，都有；(2)存在x0I，使得 结论 M为最大值 M为最小值 3.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)(0，＋∞)．(×)
(2)相同单调性函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(×)
(3)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)
(6)所有的单调函数都有最值．(×)
(7)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)
(8)函数y＝|x|是R上的增函数．(×)
(9)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(×)
(10)函数y＝的最大值为1.(√)[例1](1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()
A．y＝B．y＝(x－1)2
C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)
解析：利用函数的单调性或函数的图象逐项验证．A项，函数y＝在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故A正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故B错误；C项，函数y＝2－x＝x在R上为减函数，故C错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故D错误．
(2)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．
解析：函数f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，且f(x)＝lgx2＝函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．(3)判断并证明函数f(x)＝(其中a＞0)在x(－1,1)上的单调性．
解：法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，
x2－x1＞0，x1x2＋1＞0，(x－1)(x－1)＞0.
因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
法二：(导数法)
f′(x)＝＝.
又a＞0，所以f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．
[方法引航]判断函数单调性的方法?1?定义法：取值，作差，变形，定号，下结论.?2?利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”.?3?图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调增；图象逐渐下降，单调减.?4?导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是()
A．y＝e－xB．y＝x
C．y＝lnxD．y＝|x|
2．(2016·安徽合肥检测)函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()
A．(－∞，0)B.
C．[0，＋∞)D.
解析：选B.(数形结合法)y＝|x|(1－x)
＝＝
＝
画出函数的图象，如图所示．
由图象可知原函数在上单调递增，故选B.
3．已知a＞0，函数f(x)＝x＋(x＞0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是任意两个正数，且0＜x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．
当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a，又x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，]上是减函数；
当≤x1＜x2时，x1x2＞a，又x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．考点二利用函数的单调性求最值命题点 1.求单调函数的最值
2.求函数的值域 [例2](1)函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．
解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.
(2)已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________.
解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上单调递增，
所以即解得a＝.
[方法引航]求函数最值的常用方法?1?单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；?2?图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；?3?基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；?4?导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
?5?m＞f?x?恒成立m＞f?x?max；?6?m＜f?x?恒成立m＜f?x?min.1．(2016·湖南株洲一模)定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x[－2,2]的最大值等于()
A．－1B．1
C．6D．12
解析：选C.由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
2．下列四个函数：
y＝3－x；y＝；
y＝x2＋2x－10；y＝
其中值域为R的函数有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选B.依题意，注意到y＝3－x与函数y＝的值域均是R，函数y＝的值域是(0,1]，函数y＝x2＋2x－10＝(x＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.
考点三函数单调性的应用命题点 1.比较函数值的大小
2.求字母参数3.解不等式 [例3](1)已知f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是()
A．f(0.6)＜f(0)＜f(－0.5)
B．f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)
C．f(0.6)＜f(－0.5)＜f(0)
D．f(－0.5)＜f(0)＜f(0.6)
解析：f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，f(x)是偶函数．
f(－0.5)＝f(0.5)．
又f′(x)＝2x＋sinx，当x(0,1)时，f′(x)＞0.
f(x)在(0,1)上是增函数，
f(0)＜f(0.5)＜f(0.6)，
即f(0)＜f(－0.5)＜f(0.6)．故选B.
(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是________．
解析：由已知条件得f(x)为增函数，
，解得≤a＜2，a的取值范围是.
[方法引航]?1?利用单调性比较大小，首先把不在同一个单调区间上的变量转化为同一个单调区间，再结合单调性进行比较.?2?已知函数的单调性确定参数的值域范围要注意以下两点：若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.1．若本例(1)中函数变为f(x)＝x－sinx，比较f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小．
解：f(x)＝x－sinx，f′(x)＝－cosx，当－＜x＜，f′(x)＜0.
f(x)在上，为减函数，故有f(－0.5)＞f(0)＞f(0.6)．
2．在本例(2)中，若f(x)不变且a.解不等式f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)．
解：由题意可知，当a时，f(x)在R上为增函数．
4a2－2a－5＜a＋2，即4a2－3a－7＜0，
(4a－7)(a＋1)＜0， －1＜a＜.
故≤a＜.
f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)的解集为.
[正解]设u＝x2＋x－6＝2－.
令u＝x2＋x－6≥0，得f(x)的定义域为(－∞，－3][2，＋∞)，u＝x2＋x－6＝2－是对称轴为x＝－，开口向上的抛物线，故u在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．
[易误]解题时不先求f(x)的定义域，误认为u＝x2＋x－6的增区间就是f(x)的增区间．
[警示]求函数的单调区间，应该先求定义域，在定义域内寻找减区间、增区间；若增区间或减区间是间断的，要分开写，不能用“并集符号”合并联结．
2．利用函数单调性解不等式时也要先求定义域．
[典例]已知，定义在[－2,3]上的函数f(x)是减函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．
[正解]由题意得即
≤x＜3.
[易误]此类不等式，只考虑单调性直接去掉“f”符号得到一个不等式，如本题只得到“x＞2x－3”是错误的没注意定义域x[－2,3]．
[警示]这类不等式应等价于：单调性和定义域构成的不等式组．
[高考真题体验]
1．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是()
A．y＝B．y＝cosx
C．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x
解析：选D.选项A中，y＝＝－的图象是将y＝－的图象向右平移1个单位得到的，故y＝在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项B中，y＝cosx在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；选项C中，y＝ln(x＋1)的图象是将y＝lnx的图象向左平移1个单位得到的，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项D符合题意．
2．(2015·高考湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：选A.函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，y＝f(x)为奇函数，且函数f(x)在(0,1)上是增函数．故选A.
3．(2014·高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()
A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x
解析：选A.f(x)＝是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，A正确；f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，B错；f(x)＝x3是奇函数，C错；f(x)＝2－x是非奇非偶函数，D错．故选A.
4．(2016·高考北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
解析：法一：f′(x)＝，x≥2时，f′(x)＜0恒成立，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.
法二：f(x)＝＝＝1＋，
f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．
y＝在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.
法三：由题意可得f(x)＝1＋.
x≥2，x－1≥1，0＜≤1，
1＜1＋≤2，即1＜≤2.
故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.
5．(2016·高考北京卷)设函数f(x)＝
若a＝0，则f(x)的最大值为________；
若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．解析：代入a值直接求分段函数的最值；结合图象分类讨论求解．
由当x≤a时，f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.
如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．
若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.
②当a≥－1时，f(x)有最大值；
当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞(x3－3x)max，所以a＜－1.
6．(2016·高考天津卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
f(2|a－1|)＞f(－)＝f()，2|a－1|＜＝2，
|a－1|＜，－＜a－1＜，＜a＜.
答案：，1
答案：
答案：
[答案]
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