答案：{x|－1＜x＜4}[答案]－2[答案]1第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第5课时指数与指数函数xn＝a0无意义ar＋sarsarbr(0,1)增函数减函数答案：D答案：[－1,1]答案：D[方法探究]
整体换元法，巧化指数式
指数式的运算化简除了定义和法则外，根据不同的题目结构，可采用整体换元等方法．
1．根式
(1)根式的概念
若，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且nN，式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
考点一指数幂的运算命题点 1.具体实数的根式与指数幂的运算
2.含字母的根式与指数幂的运算 (2)a的n次方根的表示
xn＝a
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
正分数指数幂：a＝(a＞0，m，nN，且n＞1)；
负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，nN，且n＞1)；
0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．
(2)有理数指数幂的性质
aras＝(a＞0，r，sQ)；
(ar)s＝(a＞0，r，sQ)；
(ab)r＝(a＞0，b＞0，rQ)．
3．指数函数的图象与性质y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 当x＞0时，y＞1x＜0时，0＜y＜1； 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是在R上是
5.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与()n都等于a(nN)．(×)
(2)当nN时，()n都有意义．(×)
(3)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(×)
(4)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)
(5)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(×)
(6)＝.(×)
(7)函数y＝a－x是R上的增函数．(×)
(8)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×)
(9)当x＞0时，y＝ax＞1.(×)
(10)函数y＝2x－1＋1，过定点(0,1)．(×)
[例1](1)化简：＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
解：原式＝＋－＋1
＝－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
解：原式＝
=－·＝－.
[方法引航]指数幂的化简方法?1?有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算.?2?先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.?3?底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数.?4?若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()
A．－9B．7
C．－10D．9
2．化简(x＜0，y＜0)的正确结果是()
A．2x2yB．2xy
C．4x2yD．－2x2y
考点二指数函数图象及应用命题点 1.指数函数图象的变换
2.指数函数图象的应用 [例2](1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
解析：由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.
(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＜0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0＜k＜1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．
[方法引航]?1?与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.
?2?一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.
1．(2017·河南三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图象是()
解析：选B.f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，故选B.2．(2017·河北衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b[－1,1]．考点三指数函数的性质命题点 1.比较指数式的大小
2.解指数方程或指数不等式
3.与指数函数复合的函数性质 [例3](1)(2017·天津模拟)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则()
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝－1.5＝21.5，
y＝2x是增函数，21.44＜21.5＜21.8，
即y2＜y3＜y1.
(2)(2017·安徽合肥八中测试)不等式2－x2＋2x＞x＋4的解集为________．
解析：原不等式可化为2－x2＋2x＞2－x－4，
即－x2＋2x＞－x－4，x2－3x－4＜0，
(x－4)(x＋1)＜0，－1＜x＜4.
(3)已知函数f(x)＝ax2－4x＋3
若f(x)有最大值3，求a的值；
若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
解：令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
②由指数函数的性质知，
要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．
故a的值为0.
[方法引航]?1?比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小.?2?解决简单的指数方程或不等式问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.?3?与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域?最值?、单调性、奇偶性的求解方法，与前面所讲一般函数的求解方法一致，只需根据条件灵活选择即可.1．若本例(1)中的三个数变为y1＝，y2＝，y3＝，则大小关系如何．
解：选D.构造指数函数y＝x(xR)，由该函数在定义域内单调递减可得y2＜y3，又y＝x(xR)与y＝x(xR)之间有如下结论：当x＞0时，有x＞x，故＞，即y1＞y3，y1＞y3＞y2.
2．在本例(3)中，若a＝－1，求f(x)的单调区间．
解：当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
3．在本例(3)中，若a＝1，求使f(x)＝1的x的解．
一、根据整体化为同指数
[典例1]计算(－)2018·(＋)2019的值为________．
[解析]原式＝(－)2018·(＋)2018·(＋)＝[(－)·(＋)]2018·(＋)＝＋.
二、根据整体化为同底数
[典例2]若67x＝27,603y＝81，则－＝________.
[解析]67x＝27,603y＝81，
－＝－2.
三、根据整体构造代数式
[典例3]已知a2－3a＋1＝0，则＝________.
[解析]a2－3a＋1＝0，a≠0，a＋＝3.
而＝a－1＋a＋2＝3＋2＝5，
四、根据整体构造常数ax·a－x＝1
[典例4]化简＋＝________.
[解析]法一：原式＝＋
＝＋＝＋＝＝1.
法二：原式＝＋
＝＋＝1.
五、根据整体换元
[典例5]函数y＝x－x＋1在区间[－3,2]上的值域是________．
[解析]因为x[－3,2]，
所以若令t＝x，则t，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数值域为.
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国丙卷)已知，则()
A．b＜a＜cB．a＜b＜c
C．b＜c＜aD．c＜a＜b
解析：选A.因为，且幂函数y＝在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b＜a＜c.
2．(2016·高考浙江卷)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，xR.()
A．若f(a)≤|b|，则a≤bB．若f(a)≤2b，则a≤b
C．若f(a)≥|b|，则a≥bD．若f(a)≥2b，则a≥b
解析：选B.依题意得f(a)≥2a，
若f(a)≤2b，则2a≤f(a)≤2b，2a≤2b，
又y＝2x是R上的增函数，a≤b.故选B.
3．(2015·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()
A．a＜b＜cB．c＜a＜b
C．a＜c＜bD．c＜b＜a
解析：选B.因为f(x)是偶函数，所以m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由题意得a＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，因为log25＞log23＞0，所以f(log25)＞f(log23)＞f(0)，即b＞a＞c，故选B.
4．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A．f(x)＝x3B．f(x)＝3x
C．f(x)＝D．f(x)＝x
解析：选B.对于选项A，f(x＋y)＝(x＋y)3≠f(x)f(y)＝x3y3，排除A；对于选项B，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x在其定义域内是单调增函数，B正确；对于选项C，f(x＋y)＝≠f(x)f(y)＝＝，排除C；对于选项D，f(x＋y)＝x＋y＝xy＝f(x)f(y)，但f(x)＝x在其定义域内是减函数，排除D.故选B.
5．(2015·高考山东卷)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
解析：当0＜a＜1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递减，由题意可得，即，解得，此时a＋b＝－.
当a＞1时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得，即，显然无解．所以a＋b＝－.
6．(2015·高考福建卷)若函数f(x)＝2|x－a|(aR)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，做出函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，故实数m的最小值为1.
解析：选B.[(－2)6]－(－1)0＝－1＝8－1＝7.
解析：选D.＝＝2·x2·|y|＝－2x2y.
解：当a＝1时，f(x)＝x2－4x＋3＝1
x2－4x＋3＝0，x＝1或x＝3.
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