答案：C答案：B第页返回导航数学基础知识导航考点典例领航智能提升返航课时规范训练第6课时对数与对数函数logaNaNNN(0，＋∞)R(1,0)10增函数减函数y＝logaxy＝x答案：D答案：B答案：C答案：C答案：(－1,0)∪(1，＋∞)[易错警示]
忽视对数底数的分类讨论
[典例](2017·甘肃兰州模拟)已知函数y＝logax(2≤x≤4)的最大值比最小值大1，则a的值为________．
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．
考点一对数式的运算命题点 1.指数式与对数式的互化
2.计算对数值 2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则：
如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么
loga(MN)＝logaM＋logaN；
loga＝logaM－logaN；
logaMn＝nlogaM(nR)；
logMn＝logaM.
(2)对数的性质：
alogaN＝；logaaN＝(a＞0且a≠1)．
(3)对数的重要公式：
换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；
logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.
3．对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1 图象
性质 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点，即x＝时，y＝ (4)当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是(7)在(0，＋∞)上是
4．反函数
指数函数y＝ax与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称．
5．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(×)
(2)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)
(3)logax·logay＝loga(x＋y)．(×)
(4)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(×)
(5)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)
(6)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(√)
(7)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)．(√)
(8)log2x2＝2log2x.(×)
(9)当x＞1时，logax＞0.(×)
(10)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.(×)
[例1](1)若x＝log43，则(2x－2－x)2等于()
A.B.
C. D.
解析：由x＝log43，得4x＝3，即2x＝，
2－x＝，所以(2x－2－x)2＝2＝.
(2)(2016·山东日照质检)2lg2－lg的值为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：2lg2－lg＝lg4＋lg25＝lg100＝2.
[方法引航]?1?首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.?2?将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1．已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.
解析：4a＝2，a＝log42＝log44＝.
又lgx＝a，lgx＝，
x＝＝.
2．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是()
A．5B．3
C．－1D.
解析：选A.因为f(1)＝log21＝0，所以
f(f(1))＝f(0)＝2.
因为log3＜0，所以f(log3)＝＋1
＝3log32＋1＝2＋1＝3.
所以f(f(1))＋f(log3)＝2＋3＝5.
考点二对数函数的图象及应用命题点 1.对数函数的图象变换与识别
2.应用对数函数的图象求参数
3.应用对数函数图象解不等式 [例2](1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是()
解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A、B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.选C.
(2)已知0＜m1＜2＜m2，a＞0，且a≠1，若logam1＝m1－1，logam2＝m2－1，则实数a的取值范围是()
A．2＜a＜3B．0＜a＜1
C．1＜a＜2D．3＜a＜4
解析：依题意，知方程式logax＝x－1有两个不等实根m1，m2，在同一直角坐标系下，作出函数y＝logax与y＝x－1的图象，显然a＞1，由图可知m1＝1，要使m2＞2，需满足loga2＞2－1，即a＜2.综上知：实数a的取值范围是1＜a＜2，选C.
(3)已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________．
解析：由题意知y＝f(x)的图象如图所示：由图象可知，满足f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)(1，＋∞)．
[方法引航]?1?对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性?单调区间?、值域?最值?、零点时，常利用数形结合思想.
?2?一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
1．(2017·福建福州模拟)函数y＝lg|x－1|的图象是()
解析：选A.因为y＝lg|x－1|＝
当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.
又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．
2．当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是()
A.B.
C．(1，)D．(，2)
解析：选B.法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图象，可知，f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.
法二：0＜x≤，1＜4x≤2，logax＞4x＞1，
0＜a＜1，排除选项C，D；取a＝，x＝，
则有4＝2，log＝1，显然4x＜logax不成立，排除选项A.3．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
解析：选C.在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的图象如图所示．
所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1＜x≤1}，所以选C.考点三对数函数性质及应用命题点 1.对数函数的定义域
2.利用单调性比较对数值的大小
3.与对数函数复合的函数的性质 [例3](1)函数f(x)＝的定义域为()
A．(0,2)B．(0,2]
C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)
解析：要使函数f(x)＝有意义，需使，解得x＞2，即函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
(2)(2017·天津一模)已知a＝log25，b＝log5(log25)，c＝－0.52，则a，b，c的大小关系为()
A．a＜b＜cB．b＜c＜a
C．c＜b＜aD．b＜a＜c
解析：a＝log25＞2，b＝log5(log25)(0,1)，c＝－0.52(1,2)，可得b＜c＜a.故选B.
(3)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
求f(x)的定义域；
判断f(x)的奇偶性并予以证明；
当a＞1时，求使f(x)＞0的x的解集．
解：(1)要使函数f(x)有意义，
则解得－1＜x＜1.
故所求函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，
且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
(3)因为当a＞1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f(x)＞0＞1，解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的解集是(0,1)．
[方法引航]?1?对于多个对数值大小比较，首先利用对数性质分开正、负数?与0比较?再分开?0，1?与?1，＋∞??与1比较??2?解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解.?3?对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论.1．在本例(3)中，将函数变为f(x)＝loga(x＋1)＋loga(1－x)，a＞0且a≠1.判断函数的单调性．
解：f(x)的定义域为即x(－1,1)
f(x)＝loga(1－x2)，设g(x)＝1－x2
当a＞1时，x(－1,0)，g(x)为增函数，
f(x)＝loga(1－x2)为增函数，
x(0,1)，g(x)为减函数，f(x)＝loga(1－x2)为减函数
当0＜a＜1时，x(－1,0)，g(x)为增函数，f(x)＝loga(1－x2)为减函数，
x(0,1)，g(x)为减，f(x)＝loga(1－x2)为增函数．
2．在本例(3)中，当0＜a＜1时，求解f(x)＞0的解集．
解：f(x)＞0，loga(1＋x)＞loga(1－x)．
，－1＜x＜0.
f(x)的解集为(－1,0)．
[正解]当a＞1时，y＝logax(2≤x≤4)为增函数，
ymax＝loga4，ymin＝loga2.
loga4－loga2＝1，即loga2＝1，a＝2.
当0＜a＜1时，y＝logax(2≤x≤4)为减函数，
ymax＝loga2，ymin＝loga4.
loga2－loga4＝1，即－loga2＝1，a＝.
[易误]对数函数的底数含有参数a，易忽视讨论a与1的大小关系而直接按a＞1解题，只得一解2.
[警示]当应用对数函数y＝logax的单调性，而底数a不确定时，要分a＞1或0＜a＜1进行讨论．
[高考真题体验]
1．(2016·高考全国乙卷)若a＞b＞0,0＜c＜1，则()
A．logac＜logbcB．logca＜logcb
C．ac＜bcD．ca＞cb
解析：选B.0＜c＜1，当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；0＜c＜1，y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a＞b＞0，logca＜logcb，B项正确；
0＜c＜1，函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增，
又a＞b＞0，ac＞bc，C项错误；
0＜c＜1，y＝cx在(0，＋∞)上单调递减，
又a＞b＞0，ca＜cb，D项错误．故选B.
2．(2016·高考全国乙卷)若a＞b＞1,0＜c＜1，则()
A．ac＜bcB．3abc＜bac
C．alogbc＜blogacD．logac＜logbc
解析：选C.对于选项A，考虑幂函数y＝xc，因为c＞0，所以y＝xc为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，A错．对于选项B，abc＜bacc＜，又y＝x是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C.
3．(2015·高考课标全国卷)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()
A．－B．－
C．－D．－
解析：选A.当a≤1时，2a－1－2＝－3，无解；当a＞1时，－log2(a＋1)＝－3，得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.
4．(2015·高考课标全国卷)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是()
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
解析：选A.函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，又当x(0，＋∞)时，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是单调递增的，故f(x)＞f(2x－1)f(|x|)＞f(|2x－1|)，
|x|＞|2x－1|，解得＜x＜1，故选A.
5．(2013·高考课标卷)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()
A．a＞c＞bB．b＞c＞a
C．c＞b＞aD．c＞a＞b
解析：选D.＜2＜3,1＜2＜，3＞2，log3＜log32＜log33，log51＜log52＜log5，log23＞log22，
＜a＜1,0＜b＜，c＞1，
c＞a＞b.故选D.
6．(2016·高考浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1.若logab＞1，则()
A．(a－1)(b－1)＜0B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D.法一：logab＞1＝logaa，
当a＞1时，b＞a＞1；
当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．
法二：取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D.答案：
[答案]2或
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