|
http://www.360doc.cn/article/2198695_348088620.html 形式系统 http://miaopai.com/show/7SErWz5lL3WkwTRLGJYxDuQSbK18vUvuFs1DhA__.htm 视频说命题逻辑具有一致的逻辑性？而是可证的命题需要逻辑的一致性，但不可证的不一定不是真，而真的就一定可证而且具有一致性。只是有些真的一致性形式逻辑具有不完备性无法证明。 视频说什么假命题可以推出任何结论？你不要大家，并不是这样的，因为假命题本身就不为真，罗素什么说的是当一个命题的正反命题都为真，实际上这当然违背一致性，但你如果说这个正反命题都为真那么就不管怎样你都可以通过各种置换得出任何结论为真。比如你说1 1=1和不等于1都是真的正确了的，那么既然不等于1也为真，那么等于什么你都可以说。罗素说的假命题可以推出任意命题的前提是如果你用假命题去推的话，既然你用假命题去推你就思想上认定了他为真可推的，不然你去推论，那俺还真能说你就不可能基本理解哥德尔不完备定理。实际上网友说<符号逻辑讲义》一书中提到了与此相关的一个故事，可能是个笑话。书中大致是有人对罗素“假命题可以推出任一命题”的观点表示质疑，质问罗素如何从“2 2=5”推出“罗素和教皇是同一个人”。套用传说中罗素的回应，这个问题可以这样回答： 1 1=3 1=2 (两边同减去1) 罗斯福和教皇是两个人。 (事实) 罗斯福和教皇是一个人。 (等值替换) 首先这些前面的过程要成立，才能做替换的。为啥假命题为真就能推出一切命题结论，真命题本就为真了假命题如果也真那就基本没啥不可为真了 还有视频里的错误后面论证过程都说错了的，下面有俺的个人分析。 其实对于一个完备的命题都可以证明它是真还是假，但对于一个到了足够强的公理系统后你会发现会出现不可证的情况，记住真和不可证还是有区别的，不可证不代表不为真，但真的就一定可证，正如如果要证明哥德尔不完全理论是定理你就需要用现有定理和公理去证明这个公式不可证为真，不然不会成为定理， 还有文中扯计算机了，人工智能可以通过其他来弥补的，至于人工智能可能会比人某些情况下更聪明，不代表一定会比人更智慧，智慧程度是无法描述的，而在于对经验实验等交流思考洞见还有各种想象空间和方向的产生。俺个人还是觉得这种自我不能验证自我完备性的问题本身也许由于生物或者任何本体就是有局限性导致，至于能不能通过外界突破个人这里瞎扯了哈，俺没说俺看懂了哥德尔那个定理哈，只是通过别人的解释大概有个了结，不过视频这肯定解释有误导，特别是最后他几乎是拿已知结论在做乱推导，然后再把哥德尔的结论定理说了一遍而已。 哥德尔证明了原始递归函数可以表达成PM里的公式。 哥德尔用Dem(x, z)，构造一个PM的公式G，它表达元数学的命题“公式G在PM内是不能被形式证明的。” 在构造新公式前，还需要介绍一个关于哥德尔数的函数表达式。假如在哥德尔数为k的公式中，有个自然数变量y（哥德尔数是17），将自然数k的PM表达（SSS…SSS0）代入这公式中所有y变量出现的地方，这个新公式的哥德尔数记为sub(k, 17, k)。 哥德尔努力显示这个置换操作是可计算的，sub(k,17, k)是原始递归函数，它对应的PM字符串的表达式，记为Sub(k, 17, k)。比如说k对应的公式是“x(x=Sy)”，代入后的新公式Sub(k, 17, k)是“x(x=SSSS…SSS0)”（这里SSSS…SSS0有k 1个S），它的哥德尔数是sub(k, 17, k)。 公式1 ~(x)Dem(x, Sub(y, 17, y))(为啥带入这个带否的公式对吧，记住不是代入带否的命题哈，更加不是代入假命题里，假命题就是假命题不可能为真，为啥说如果这个视频里你说你看懂了才怪，当然俺没说俺看懂了， 这PM公式直接的含义是数学命题：“不存在着一个哥德尔数x，它满足dem(x, sub(y, 17,y))的算术关系。”它对应着元数学里的命题：“哥德尔数为sub(y, 17,y)的公式是不可证的。” 设公式1所对应的哥德尔数是n，这是一个确定的自然数，将它代入公式1的变量y，便有 公式G ~(x)Dem(x, Sub(n,17, n)) 记哥德尔数g = sub(n, 17,n)，这也是一个确定的自然数。公式G对应着元数学里的命题：“哥德尔数为g的公式是不可证明。”^_^ 公式1 ~(x)Dem(x, Sub(y, 17, y)) 这PM公式直接的含义是数学命题：“不存在着一个哥德尔数x，它满足dem(x, sub(y, 17,y))的算术关系。”它对应着元数学里的命题：“哥德尔数为sub(y, 17,y)的公式是不可证的。” 设公式1所对应的哥德尔数是n，这是一个确定的自然数，将它代入公式1的变量y，便有 公式G ~(x)Dem(x, Sub(n,17, n)) 记哥德尔数g = sub(n, 17,n)，这也是一个确定的自然数。公式G对应着元数学里的命题：“哥德尔数为g的公式是不可证明。”(明白了前面的就知道为什么作者强调在这里叫你记住这个歌德尔数为什么是一个确定自然数，还有要区分好公式G和”命题G不可证”不要搞混了，不然就难看懂了，公式G一直是可以拿来置换和递归的，因为公式的函数对应关系提到了不可能有错，这是个定理表明至少经过了数学界的认可，俺们这点智商怀疑数学家在原始递归函数表达某个公式会不会出错，大多数数学家都认同了何况你怀疑你也没那个本事去验证也可以放心用了，这个如果你是数学家有时间有精力还可能再去做反复重复验证工作) 因此，公式G对应着元数学里的命题：“公式G是不可证明的。”公式～G即(x)Dem(x, Sub(n,17, n)) 则对应着元数学里的命题：“公式G是可证明的。”(理解了上面说的这个就好理解了，说明公式G在证明到底可不可以证明时产生了自相矛盾) 哥德尔用反证法证明在PM里，公式G是不可判定的。假如(他先假如公式可证，后面用相容性推出了矛盾而已，然后反正说明不可证)公式G可证,这件事的元数学陈述是：“公式G是可证明的”，(引号内的话为一个元数学陈述的命题)~G对应的正是这句话,(因为这时~G实际上对应的就是这句话的元数学陈述，就是不存在X满足Z不可证的条件，就是G可证，这里其实就出现了不相容，后面反过来也一样，就是G和~G可证，当且仅当二者都可证了)说明它是可证的。反过来，假如~G是定理，这公式对应的元数学命题“公式G是可证明的”为真，这元数学的判断是：PM里可以证明公式G，即公式G是定理。因此，公式G是定理，当且仅当公式~G是定理。(始终要记住G是公式，而G不可证这句话就对应了一个元陈述命题,人家不是用来证明公式G，而是用来证明G到底可证不可证，得到的答案确实G和~~都是可证的,根据相容性这就矛盾了,矛盾后恰恰说明本身也许有不是任何公式都能在这个系统内可证，因为命题和非命题如果都为真，那么你可以得出任何命题都为真，为啥命题和它的非命题都为真就可以置换任何命题得出真的结论) (而)PM是相容时，这种情况是不允许的，所以上述导致矛盾的假设都不成立。G和~G在PM里都不可证，也就是不可判定的。(所以你看视频最后完全扯错了地方，什么公式G的意思是公式G不可证？如果公式G可证，我们就证明G不可证，如果用这种推断方法得到的最后结论，请问视频作者，哥德尔是用什么方法推出的形式系统在一阶谓词逻辑下不可证的，是从定理结论胡乱返推的吧，而且也不是这么证明，他这个定理证明的只是有个公式在一阶谓词逻辑下不可证，你也是反推不出一个构造公式的，哥德尔利用的相容性证明的不完备性，你看看这就看出视频作者要是看这视频看懂了的俺觉得真是是够神了) 另外为什么用反证法不假设公式G不可证成了定理，这实际就成了哥德尔定理的结论，因为这就是正向证明了，对于一个定理明显你可得出相容性的结论因为因为这就直接符合元数学陈述说明G不可证，那么~G同样在这变成了不存在x使得z不可证满足条件，这从定理上直接可以判断是假命题了，这里G和非G本身就不矛盾了。因为你用定理本身去证明定理的正确性不是无意义的多此一举，因为这不要构建公式就能判断了，我们现在使用时就用的是这个定理直接拿着用了，用于突破也好用于研究也好。 G是不可证明的事实，说明元数学描写G的命题是真理，它对应着这公式G的含义为真。PM里一个表达真理的公式G，不能在PM里被证明，说明PM是不完备的。这（在元数学里）就证明了： 哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。” 说明一阶谓词逻辑肯定是相容的一致的，不然不就出天大的错误了么，只是我们不可证明它的完备性，就是至少在目前数学逻辑下在形式系统里，我们无法判定在无穷的强公理系统中去证明形式逻辑本身的可证性的完备性问题。 就像网友说的因为矛盾也好、危机也好，根源在于无穷，但是数学中毕竟少不了无穷。归根结蒂，数学终究是研究无穷的科学。 百度百科中的一些话 不完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义（使用形式符号描述原理）中的一些观点。我们可以将第一定理解释为“我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误” 以下对第二定理的另一种说法甚至更令人不安： 如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。于是，为了确立系统S的相容性，就要构建另一个系统T，但是T中的证明并不是完全可信的，除非不使用S就能确立T的相容性。举个例子，自然数上的皮亚诺公理的相容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫·希尔伯特的著名的未解决的23个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。 理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。（此处的算法为严格定义，要求对任何输入都能在有限时间内停机） 其实也许没有那么悲观，是我们总在追求对一个永恒未知的的一切的可确定性和完美性或者完备性证明，让我们觉得可怕就像对于死亡的可怕是我们的本能一样，但我们可以做到不断去追求而不必盲目求完美，因为正是我们知道了有不完美我们才能够孜孜不倦的追求动力，就像科学一样，严格讲数学并不是科学的定义，科学只求可靠性的可靠精度只要达到人们实际需求标准就行了，虽然都是在局限性下不断追求，但数学需要的是确切的确定性，而一旦放入到无穷时，你会发现很多简单的结果你也只能知道一个近似值。另外俺没说俺结合链接文章分析的一定对哈因为俺本身就不是数学专业的，而哥德尔努力显示这个置换操作是可计算的，为什么就算你看了作者原文，不是数学家没有一定功底俺们是看不懂的，当然也许有著作解释清楚了这个置换过程的可计算性。不然你还真要有数学家的功底才能看懂。
|
