爱因斯坦的质能方程怎么推导出来的？

首先我来说说，如何不用推导就能得到质能关系的大致形式。按照量纲分析，动能的量纲等于质量量纲乘以速度量纲平方。所以动能关系式只能是下面这种形式(注意，下面这个形式是从牛顿力学出发得到的，后面的分析可以看出相对论和牛顿力学的关系很密切)：

在牛顿力学里，k=1/2，而且这里v就是质点的速度。

但是狭义相对论要求有光速出现，所以k与v中必须出现光速。那么一个自然的想法，就是把这里的v写成c（c是真空光速）。但是这样的话，质点的速度u只在k里出现。因而有

很明显，当速度u趋于0的时候，上式必须近似为牛顿力学的结果。那么，该如何求出这里的k呢？这里需要用点小技巧，那就是dE/du=p，且u<<c时，p=mu。那么，有

两边积分有

注意这里不能认为k的表达式就是上式，否则就退回到经典力学了。剩下的，只能通过具体计算给出形式。

我在之前的一次回答中，推导了这个公式。方法其实有很多种，具体的做法也各不尽相同。但是都离不开微积分。我在高中的时候，自己推这个公式的时候，发现了三种方法。第一种方法从质速关系出发，平方该式子，然后用能量动量的微分关系，就可以推出质能关系。第二种方法是从能量动量积分关系出发，把质速关系直接带入积分，也可以推导出来。这两种方法其实是一样的。第三种方法，是考察协变性，得到四动量平方是相对论不变量，进而给出它在数值上等于质点的质量平方，然后代入能量动量微分关系式，也能给出质能关系。这是我高中时候无聊证着玩的时候发现的一些小技巧，雕虫小技。下面我展示一种推导方法。考虑一维运动的能量有

代入质速关系有

第二个等号后面的可以直接积出来，有

化简就得到了质能关系。注意这里积出来的是一个不定积分式如果要获得粒子的动能，还要让这个式子减去速度为0的能量，那么就可以得到动能关系式了。

当年爱因斯坦根据电磁理论推导出了电子的质能关系。稍后他又将之推广到一切粒子，当然在无引力的前提下。

可以验证，质能关系给出的动能关系式的系数的确满足我们之前的分析。

这里要说一句很遗憾，据我说知，目前质能关系只能借助微积分才能推导出来。或者说我还不知道，有没有人不用微积分就能推出这个关系式的。

现在很清楚了，质能关系里面的光速平方是物理量纲和动力学方程双重要求的结果。