A3 数理逻辑

​【学习百眼通】何岳山 编辑整理

  

        数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。

        数理逻辑最初由古希腊学者亚里士多德创建的，用数学的方法研究关于推理、证明等问题。

        利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨的思想可以说是数理逻辑的先驱。 1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。

        十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了<数论的基础>一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。

        数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科，所以它本身也存在许多问题有待于深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题，进行研究解决。总之，这门学科的重要性已经十分明显，他已经引起了更多人的关心和重视。

        数理逻辑两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。

        命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。如果人们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。利用这些定律，人们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。

        命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，在自动控制方面有重要的应用。

        谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。

        计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说自动定理证明和逻辑编程。当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑；另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即任意多状态的逻辑是完备的。当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。

        任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达，如加减法和比较大小。

        数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归论和公理化集合论。数理逻辑和计算机科学有许多重合之处，这是因为许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，如阿兰·图灵、邱奇等。 程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。 柯里——霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。

 

学习课程

【小学数学】
        1.小学数学中的数理逻辑知识（编号AA0201）       

【初中数学】

        在认识数学与现实世界的密切联系方面，“空间与图形”的作用是不可替代的。图形的直观不仅为学生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能，而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力，引导学生感受数学的思想方法，享受学习数学的乐趣，逐步积累数学活动经验，体验数学推理的力量和证明的意义，发展空间观念和自主创新的意识。
        第17章  勾股定理（9）　　
                17.2 勾股定理的逆定理（3）

【高中数学】
​        选修2-1

​        第一章　常用逻辑用语

​        ​        1.1 命题及其关系

​        ​        ​        1.1.1 命题

​        ​        ​        1.1.2四种命题

​        ​        ​        1.1.3四种命题间的相互关系

​        ​        1.2 充分条件与必要条件

​        ​        ​        1.2.1 充分条件与必要条件

​        ​        ​        1.2.2 充要条件

                1.3 简单的逻辑联结词

                        1.3.1 且（and）

                        1.3.2 或（or）

                        1.3.3 非（not）

                1.4 全称量词与存在量词

                        1.4.1 全称量词

                        1.4.2 存在量词

                        1.4.3 含有一个量词的命题的否定

        选修2-2

        第二章　推理与证明

                2.1 合情推理与演绎推理

                        2.1.1 合情推理

                        2.1.2 演绎推理

                2.2 直接证明与间接证明

                        2.2.1 综合法和分析法

                        2.2.2 反证法

                2.3 数学归纳法

【补充知识】