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从一个坐标系到另一个坐标系的转换前面谈到有多种转换方法：欧拉角法、方向余弦矩阵法、四元数法等。
其中欧拉角法的核心思想是：一个坐标系可以用另一个参考坐标系的三次空间旋转来表达。旋转坐标系的方法又有两种：一种是依次旋转三个不同的坐标轴；另一种是相邻两次旋转不同的坐标轴。
第一种旋转方法称之为Tait–Bryanangles（可选顺序有x-y-z,y-z-x,
z-x-y,x-z-y, z-y-x, y-x-z）；
第二种旋转方法称之为Euler angles（可选顺序有z-x-z,x-y-x,
y-z-y,z-y-z, x-z-x, y-x-y）。
另外还有两个概念，外在旋转（extrinsic rotations）和内在旋转（intrinsic
rotations）。我们固定不动的参考坐标系为xyz，需要被旋转的坐标系为abc。初始状态两个坐标值完全重合，现在的目标是旋转坐标abc到达指定位置。所谓的外在旋转指的是三次旋转中每次旋转的旋转轴都是固定参考系中的xyz轴中的一个轴。例如：Tait–Bryanangles的xyz顺序，那么在旋转abc的时候，每次旋转把abc坐标系围绕固定参考系xyz中的某个轴旋转；而内在旋转指的是在旋转abc的时候，每次旋转围绕的的轴是上一次abc旋转后的某个轴。打个比方，就好比数学中的数列问题，题目一般给出的是n项和n-1项的关系表达式，n项的值是根据前一项推导出来的，建立在前一次的值之上，而通项公式则是可以直接通过n的表达式计算任意第n项的值，比如计算第10项的值直接通过n的表达式就可以计算出来，而不需要通过计算第9项、第8项…直到第一项后再反推。外在旋转好比通项公式，每次旋转都是通过固定的参考系xyz旋转而来，与旋转过程中的abc状态无关。而内在旋转则需要根据上次旋转后转轴，在这个转轴的基础上再旋转，所以旋转轴是变动的，好比数列中的n项和n-1项的递推关系。关于内在旋转和外在旋转的关系，如果将其中一种旋转的第一次旋转和第三次旋转互换位置，那么他们就是等价的。
内旋转
外旋转
证明关于内在旋转和外在旋转的关系，如果将其中一种旋转的第一次旋转和第三次旋转互换位置，那么他们就是等价的
为了方便证明我先定义一些记号，
记：
绕坐标系E下的x轴旋转α的旋转矩阵为Rx,
绕坐标系E下的y轴旋转β的旋转矩阵为Ry,
绕坐标系E下的z轴旋转r的旋转矩阵为Rz,
绕坐标系E下的z轴旋转r的旋转矩阵为Rr（Rr=Rz），
绕 坐标系E在绕z轴旋转r后的新系E'下的y轴旋转β的旋转矩阵为Rb，
绕 坐标系E'在绕y轴旋转β后的新系E''下的x轴旋转α的旋转矩阵为Ra，
另外，将矩阵R的逆记作R~
求证：Rx*Ry*Rz = Rr*Rb*Ra
证明：
Rr = Rz 定义就是一样的，显然相等
Rb = Rr~*Ry*Rr 要得到绕 坐标系E在绕z轴旋转r后的新系E'下的y轴旋转β的旋转矩阵为Rb，可以先应用Rr~这时可以视作在E下，然后使用E下的旋转Ry绕旧的y轴旋转，在应用Rr转回到E'
Ra = (Rr*Rb)~*Rx*(Rr*Rb) 理由同上
所以 右边=Rr*Rb * Ra
=Rr*Rb * (Rr*Rb)~*Rx*(Rr*Rb)
=(Rr*Rb)* (Rr*Rb)~*Rx*(Rr*Rb)
=Rx*(Rr*Rb)
=Rx*(Rr*Rr~*Ry*Rr)
=Rx*Ry*Rz =左边
#证毕
可见以Z-Y-X旋转的内部旋转的矩阵=以X-Y-Z旋转的外部旋转矩阵
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