《圆》这个单元学完后,我们常碰到一个基本图形:已知AB为定线段,C为动点,且∠ACB=90°,根据“直径所对的圆周角为直角”,我们能推出则动点C则为以AB为直径的圆上的任意一点。如下图示: 【应用】 如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,求线段CP的长的最小值 首先要找到点P的运动轨迹,是以AB为直径的圆在Rt△ABC内部的弧上,如图所示: 那么CP长的最小值即转化为圆外一点到圆上所有的中的距离最短问题了。当点P运动到线段CO与圆的交点处时,PC最短。如下图示: 【拓展】 线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆。也称为定弦定角问题。 即:若AB为一定线段,点C为动点,且∠ACB大小为一固定值,则A、B、C三点必共圆,或称为点C一定在以AB为弦的某一个圆上,且这个圆是固定的,圆心在线段AB的垂直平分线上。那么我们只要根据具体角度的条件去寻找这个圆即可。如下图示: 【应用】 如图,已知E、F为等边△ABC边AB、AC上的两动点,且AF=BE,连接CE、BF交于点T,若等边△ABC的边长为6,求点T运动的路径长。 【图文解析】 本题中点E或点F是主动点,由E、F的运动带动点T的运动,因AF=BE,故易证△ABF≌△BCE(SAS),因此∠1=∠2,推出∠2 ∠3=∠1 ∠3=60°,那么,由三角形内角180°,可以得出∠BTC=120°,并且随着点的运动,这个角度大小不变。由此找到,定弦为BC,定角为∠BTC=120°。如下图示: 那么此题中点T的路径为某一段弧,且弧所在圆的圆心在线段BC的垂直平分线上, 由∠BTC=120°,这是弦CB所对的圆周角,那么圆心与点T处于BC的异侧,计算可知,弦BC所对的圆心角为120°,从而很容易找到圆心O,并且得到点T的运动路径圆心角120°的弧BC,由BC=6,可得半径为2×根号3,那么这个问题得到解决。 可通过动图观察一下: 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”,问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段,及这条线段关于某一动点的张角为定值。由张角的变化,去寻找这三点所构成的定圆。如下图示: 那么找到动点的运动路径,最值问题就迎刃而解了。 【练习】 如图,△ABC中,AC=3,BC=,∠ACB=45°,D为△ABC内一动点,⊙O为△ACD的外接圆,直线BD交⊙O于P点,交BC于E点,弧AE=CP,求AD的最小值. |
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