专题12探索性问题
一、选择题
1.（2017内蒙古通辽第10题）如图，点在直线上方，且，于，若线段，，，则与的函数关系图象大致是（）
A． B．C．D．y=AB?PC=3=3，
故选D．动点问题的函数图象直线与圆的位置关系；一次函数图象与系数的关系．
已知ABC的三边长分别为4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可．
如图所示：
当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选B．三角形的性质，在矩形，在上，在上，把这个矩形沿，点落在上的矩形面积为，则折的长为（）
B．C.D．
【答案】C.
∴BC=BG+GE+EC=4EC．
矩形ABCD的面积为4，
4EC?EC=4，
EC=1，EF=GE=2．
故选C．中，，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为（秒），则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是
A．B．C.D．
【答案】A
考点：动点问题的函数图象．按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．
【答案】.
考点：规律型：数字的变化类．
如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．
【答案】.
【解析】
试题分析：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：
则CE=DE，
∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=OM=，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=,
∴CD=2DE=；
故答案为：．
考点：垂径定理；勾股定理；等腰直角三角形．中，平分交边于，平分交边于.若，，则.
【答案】8或3平行四边形的性质如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（2，2），A2（4，0）组成的折线依次平移4，8，12，…个单位得到的，直线y=kx2与此折线恰有2n（n1，且为整数）个交点，则k的值为．
【答案】．
考点：中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是．
【答案】10cm或2cm或4cm．如图：，
过点A作ADBC于点D，
ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=DC=6cm，AD=8cm，
如图所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，
如图所示：AD=8cm，
连接BC，过点C作CEBD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4cm，
如图所示：BD=6cm，
由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，
故AC==2cm，
故答案为：10cm或2cm或4cm．图形的剪拼．
的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为．
【答案】（0，（）2016）或（0，21008）．规律型：点的坐标．中，交直线于点，若，则的顶角的度数为．
【答案】30°或150°或90°．BC为腰，
AD⊥BC于点D，AD=BC，ACD=30°，
如图1，AD在ABC内部时，顶角C=30°，
如图2，AD在ABC外部时，顶角ACB=180°﹣30°=150°，
BC为底，如图3，
AD⊥BC于点D，AD=BC，AD=BD=CD，B=∠BAD，C=∠CAD，BAD+∠CAD=×180°=90°，
顶角BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．中，，，是两条对角线的交点，过点作的垂线分别交边，于点，，点是边的一个三等分点，则与的面积比为．
【答案】3：4．OE=AE=m，S△AOE=OA?OE=×m×m=m2，
作ANBC于N，
AB=AC，BN=CN=BC，BN=AB=m，BC=m，BF=BC﹣FC=m﹣m=m，
作MHBC于H，
B=30°，MH=BM=m，S△BMF=BF?MH=×m×m=m2，．
相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．
【答案】．
考点：如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
【答案】（1）（2）菱形ACBP的面积=．（2）连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD=OA=，
∴PD=，∴PC=3，AB=，
∴菱形ACBP的面积=AB?PC=．
考点：切线的性质；菱形的判定与性质．
边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．
（1）连接CQ，证明：CQ=AP；
（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=BC；（3）.结论：PF=EQ，理由见解析.
（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，
∵DC=AD=2，
由勾股定理得：AC=，
∵AP=x，∴PC=4﹣x，
∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，
∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴，
∴，∴y=x（4﹣x）=﹣（0＜x＜4），
由CE=BC=，∴y=﹣，
x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，
∴当x=3或1时，CE=BC；
考点：四边形综合题．如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．
（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．
【答案】（1）抛物线的函数关系式为：y=﹣x2﹣x+，C（1，0）；（2）当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；(3).存在，理由见解析；（NA+NB）的最小值为.
（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，
∴D（m，m+），当DE为底时，
作BG⊥DE于G，则EG=GD=ED，GM=OB=，
∴m++（﹣m2﹣++m+）=，
解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），
∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；
（3）i：存在，
∵ON=OM′=4，OB=，∠NOP=∠BON，
∴当△NOP∽△BON时，=，
∴不变，即OP==3，∴P（0，3）
ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知，=，
∴NP=NB，∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，
∴（NA+NB）的最小值=,
考点：二次函数综合题．
如图所示，RtPAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x0，0t＜k）的图象上，PAx轴，连接OP，OA，记OPA的面积为SOPA，PAB的面积为SPAB，设w=SOPA﹣SPAB．
求k的值以及w关于t的表达式；
若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmaxa2﹣a，其中a为实数，求Tmin．
求k的值以及w关于t的表达式；Tmin=．
（2）w=﹣t2t=﹣（t﹣6）2，wmax=，
则T=wmaxa2﹣a=a2﹣a=（a﹣）2，
当a=时，Tmin=．
反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特
5.（2017内蒙古通辽第25题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图1，□为1阶准菱形.
（1）猜想与计算
邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知□的邻边长分别为（），满足，，请写出□是阶准菱形.
（2）操作与推理
小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□沿折叠（点在上），使点落在边上的点处，得到四边形.请证明四边形是菱形.
【答案】（1）3，12（2）由折叠知：ABE=∠FBE，AB=BF，
四边形ABCD是平行四边形，
AE∥BF，
AEB=∠FBE，
AEB=∠ABE，
AE=AB，
AE=BF，
四边形ABFE是平行四边形，
四边形ABFE是菱形四边形综合题中，抛物线过点，，与轴交于点.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=﹣x2x+2（2）△ACD的周长的最小值是22（3）存在，点P的坐标为（1，1）或（1，﹣3）
（2）y=﹣x2x+2=﹣（x﹣1）2；
对称轴是：直线x=1，
如图1，过B作BEx轴于E，
C（0，2），B（2，2），对称轴是：x=1，
C与B关于x=1对称，
CD=BD，
连接AB交对称轴于点D，此时ACD的周长最小，
BE=2，AE=22=4，OC=2，OA=2，
AB==2，
AC==2，
ACD的周长=ACCD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；
答：ACD的周长的最小值是22，
考点：二次函数综合题与轴交于两点，与轴交于点，且，直线与轴交于点，点是抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交直线于点.
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点在第三象限，四边形是平行四边形，求点的坐标；
（3）如图（2），过点作轴，垂足为，连接，
①求证：是直角三角形；
②试问当点横坐标为何值时，使得以点为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）y=x2+x﹣4点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4），点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似．（2）设P（m，m2m﹣4），则F（m，﹣m﹣4）．
PF=（﹣m﹣4）﹣（m2m﹣4）=﹣m2﹣m．
PE⊥x轴，
PF∥OC．
PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形．
﹣m2﹣m=4，解得：m=﹣或m=﹣8．
当m=﹣时，m2m﹣4=﹣，
当m=﹣8时，m2m﹣4=﹣4．
点P的坐标为（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．
（3）证明：把y=0代入y=﹣x﹣4得：﹣x﹣4=0，解得：x=﹣8．
是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；
若不存在，请说明理由.
（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在，24；当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
③当6t＜10s时，由DBE=120°＞90°，
此时不存在；
当t10s时，由旋转的性质可知，DBE=60°，
又由（1）知CDE=60°，
BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，
而BDC＞0°，
BDE＞60°，
只能BDE=90°，
从而BCD=30°，
BD=BC=4，
OD=14cm，
t=14÷1=14s，
综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；
⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；
运用：
⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（﹣，），（，）．
（3）如图3所示：
由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形，
根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，
由垂线段最短可得斜边最短为3，
由勾股定理可得PQ=，
PM=12÷3=，
由勾股定理可求得OM=，
故点P的坐标（﹣，），（，）．与轴交于两点，与轴交于点，其对称轴交抛物线于点，交轴于点，已知.
⑴求抛物线的解析式及点的坐标；
⑵连接为抛物线上一动点，当时，求点的坐标；
⑶平行于轴的直线交抛物线于两点，以线段为对角线作菱形，当点在轴上，且时，求菱形对角线的长.
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣6D（2，﹣8）；F点的坐标为（7，）或（5，﹣）；菱形对角线MN的长为1或﹣1．设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=x2﹣2x﹣6，
在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，
A（﹣2，0），
OA=2，则AG=x2，
B（6，0），D（2，﹣8），
BE=6﹣2=4，DE=8，
当FAB=∠EDB时，且FGA=∠BED，
FAG∽△BDE，
，即=，
当点F在x轴上方时，则有，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；
当点F在x轴上方时，则有得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣）；
n=（22n）2﹣2（22n）﹣6，解得n=或n=，
MN=2MT=4n=+1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（22n，﹣n），
﹣n=（22n）2﹣2（22n）﹣6，解得n=或n=（舍去），
MN=2MT=4n=﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为1或﹣1．如图，直角ABC中，BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F．
（1）如图1，若BD=BA，求证：ABE≌△DBE；
（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AF?AC．
【答案】．
（2）过G作GHAD交BC于H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设DC=1，BD=4，BH=DH=2，GH∥AD，，GM=2MC；
过C作CNAC交AD的延长线于N，则CNAG，AGM∽△NCM，，由知GM=2MC，2NC=AG，BAC=∠AEB=90°，ABF=∠CAN=90°﹣BAE，ACN∽△BAF，，AB=AG，，2CN?AG=AF?AC，AG2=AF?AC．
考点：
【答案】（1）ABC为等腰三角形，证明见解析；（2）AM=．AE==4，AM=4×=．三角形的内切圆与内心．
以菱形
【答案】（1）直线BC的解析式为y=x﹣2；
（2）当点P在边BC上时，y=10a224a+48；
当点P在边CD上时，y=10a2﹣40a48；
（3）点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．（3）当点P在边BC上时，即：0a≤2，
由（2）知，P（2a4，a），
M（0，4），OP2=（2a4）2a2=5a2+16a+16，PM2=（2a4）2（a﹣4）2=5a2﹣8a32，OM2=16，
POM是直角三角形，易知，PM最大，
OP2+OM2=PM2，
5a2+16a+16+16=5a2﹣8a32，
a=0（舍）
当点P在边CD上时，即：0a≤2时，
由（2）知，P（4﹣2a，a），
M（0，4），
OP2=（4﹣2a）2a2=5a2﹣16a16，PM2=（4﹣2a）2（a﹣4）2=5a2﹣24a32，OM2=16，
POM是直角三角形，
Ⅰ、当POM=90°时，
OP2+OM2=PM2，
5a2﹣16a16+16=5a2﹣24a32，
a=0，
P（4，0），
Ⅱ、当MPO=90°时，OP2PM2=5a2﹣16a16+5a2﹣24a32=10a2﹣40a48=OM2=16，
a=2+（舍）或a=2﹣，
P（，2﹣），
即：当OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．四边形综合题．
（2017哈尔滨第题）知：的弦，点的中点，连接，交于点.
(1)如图求证：
(2)如图2，过点的切线交延长线于点点上一点，连接，求证：.
(3)如图在(2)的条件下，、，延长于点若，求值.
【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）（3）如图3，连接MA，
MO垂直平分AB，MA=MB，MAB=∠MBA，作PMG=∠AMB，在射线MG上截取MN=MP，连接PN，BN，
则AMP=∠BMN，APM≌△BNM，AP=BN，MAP=∠MBN，
延长PD至点K，使DK=DP，连接AK、BK，四边形APBK是平行四边形；APBK，
PAB=∠ABK，APB+∠PBK=180°，
由（2）得APB﹣（90°﹣MBA）=90°，APB+∠MBA=180°，PBK=∠MBA，
MBP=∠ABK=∠PAB，MAP=∠PBA=∠MBN，NBP=∠KBP，
PB=PB，PBN≌△PBK，PN=PK=2PD，
过点M作MHPN于点H，PN=2PH，PH=DP，PMH=∠ABO，
sin∠PMH=，sinABO=，=，=，设DP=3a，则PM=5a，MQ=6DP=18a，
．
考点：圆的综合题．
（2017哈尔滨第题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标原点，抛物线轴于两点，交于点直线过两点.
(1)求抛物线的解析式；
2)过点直线交抛物线于另一点点直线方抛物线上的一个动点，在抛物线对称轴的右侧，过点轴于点交于点交点连接点于点设点横坐标为线段长为求之间的函数关系式(不要求写出自变量取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接过点于点(点线段)，于点连接于点当求线段长.
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）d=t；（3）MN=．
（2）如图1，y=x2﹣2x﹣3，
y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，A（﹣1，0），OA=1，OB=OC=3，
ABC=45°，AC=，AB=4，
PE⊥x轴，EMB=∠EBM=45°，点P的横坐标为1，EM=EB=3﹣t，
连结AM，S△ABC=S△AMC+S△AMB，AB?OC=AC?MN+AB?EM，
×4×3=×d+×4（3﹣t），d=t；
（3）如图2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，对称轴为x=1，由抛物线对称性可得D（2，﹣3），CD=2，
过点B作BKCD交直线CD于点K，四边形OCKB为正方形，OBK=90°，CK=OB=BK=3，DK=1，
BQ⊥CP，CQB=90°，
过点O作OHPC交PC延长线于点H，ORBQ交BQ于点I交BK于点R，OHC=∠OIQ=∠OIB=90°，
四边形OHQI为矩形，
OCQ+∠OBQ=180°，OBQ=∠OCH，OBQ≌△OCH，QG=OS，GOB=∠SOC，SOG=90°，
ROG=45°，
OR=OR，OSR≌△OGR，SR=GR，SR=CS+BR，
BOR+∠OBI=90°，IBO+∠TBK=90°，BOR=∠TBK，tan∠BOR=tan∠TBK，=，
二次函数综合题．
沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
（1）求线段，的长；
（2）求证：，并求出线段的长；
（3）直接写出点的坐标；
（4）若是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，P2（4，5）；
当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，EP4=5，EP4AC，
如图2，过P4作P4Gx轴于G，过P4作P4NOE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4AC，=，
设P4N=x，EN=2x，P4E=CP4=x，P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，（3﹣2x）2（4﹣x）2=（x）2，
x=，3﹣2x=，P4（，），
综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，23），（，3﹣2），（4，5），（，）．
四边形综合题．
中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4.
考点：1.相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；
（3）将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=﹣x2x+1；
（2）DEM的周长=；
（3）点A1（，）或（﹣，）．（1）直线y=﹣x1交y轴于点B，B（0，1），
抛物线y=﹣x2bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．，解得：，
抛物线的解析式为：y=﹣x2x+1；
（2）如图1，直线y=﹣x1交x轴于点A，
当y=0时，﹣x1=0，x=，A（，0），OA=，
在RtAOB中，OB=1，AB=，sin∠ABO=，cosABO=，
ME∥x轴，
DEM=∠ABO，
以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
EDM=90°，
如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，
点O1，B1的纵坐标相等，
﹣x2x+1=﹣（x1）2（x1）1，
解得：x=，
此时点A1的坐标为（，），
如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，
点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，
﹣x2x+1+=﹣（x1）2（x1）1，
解得：x=﹣，
此时A1（﹣，），
综上所述，点A1（，）或（﹣，）．
二次函数综合题．中，规定的伴随直线为.例如：抛物线，即抛物线与其伴随直线的交点坐标为和；
（2）如图，顶点与其伴随直线相交于点(点在点的右侧)与轴交于点
①若求的值；
②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当取得最大值时，求
【答案】（1）（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；（2）m=﹣；m=﹣2．∴AC2+AB2=BC2，即416m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，
当CAB=90°时，m的值为﹣；
设直线BC的解析式为y=kxb，B（2，﹣3m），C（﹣1，0），，解得，
直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，
考点：二次函数的综合应用，，，是直径为的上的四个点，是劣弧的中点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求证：是正三角形；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，求的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）△ACH的面积（1）由圆周角定理得出DAC=∠CDB，证明ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）求出DC=，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=，由圆周角定理得出ACB=90°，由勾股定理得出AB==2，得出OB=OC=OD=DC=BC=，证出OCD、OBC是正三角形，得出COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出AOD=60°，即可得出结论；
（3）由切线的性质得出OCCH，求出H=30°，证出H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案．（1）C是劣弧的中点，DAC=∠CDB，
圆的综合题．
中，抛物线与轴交于点，其顶点记为，自变量和对应的函数值相等．若点在直线：上，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设对称轴右侧轴上方的图象上任一点为，在轴上有一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出相应的点横坐标的取值范围；
（3）直线与抛物线另一点记为，为线段上一动点（点不与重合）．设点坐标为，过作轴于点，将以点，，，为顶点的四边形的面积表示为的函数，标出自变量的取值范围，并求出可能取得的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=4x2﹣16x8；（2）当x=时，PCO=∠ACO，当2＜x＜时，PCO＜∠ACO，当x＜4时，PCO＞∠ACO；（3）（3）解方程组得到D（﹣1，28得到Q（t，﹣12t16）（﹣1t＜2），当﹣1t＜0时，当0t＜时，当t＜2时，求得二次函数的解析式即可得到结论．（1）自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等，抛物线的对称轴为x=2．
点M在直线l：y=﹣12x16上，yM=﹣8．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得：a﹣8=﹣4，解得：a=4．
抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，整理得：y=4x2﹣16x8．
（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），
如图，当PCO=∠ACO时，过P作PHy轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则ACD是等腰三角形，
OD=OA=，P点的横坐标是x，P点的纵坐标为4x2﹣16x8，
PH∥OD，CHP∽△COD，，x=，
过C作CEx轴交抛物线与E，则CE=4，
设抛物线与x轴交于F，B，则B（2，0），y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，
当x=时，PCO=∠ACO，
当2＜x＜时，PCO＜∠ACO，
当x＜4时，PCO＞∠ACO；
二次函数综合题．的顶点分别在轴，.若抛物线经过两点，且顶点在边上，对称轴交于点，点的坐标分别为
（1）求抛物线的解析式；
（2）猜想的形状并加以证明；在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，请问是否存在以点的坐标；若不存在，请说明理由x2+3x；（2）△EDB为等腰直角三角形，证明见解析；（3）存在．点M坐标为（，2）或（，﹣2）．
①当AF为平行四边形的一边时，则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等，即M到x轴的距离为2，
∴点M的纵坐标为2或﹣2，
在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，2）；
在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=，
∵点M在抛物线对称轴右侧，
∴x＞2，
∴x=，
∴M点坐标为（，﹣2）；
②当AF为平行四边形的对角线时，
考点：二次函数综合题．
23.（2017上海第题）如图，已知O的半径长为1，AB、AC是O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：OAD∽△ABD；
（2）当OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；
（3）记AOB、AOD、COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．
BC=．（3）OD=．OA=OC，OAC=∠C=∠B，ADO=∠ADB，OAD∽△ABD．
（2）如图2中，
BD⊥AC，OA=OC，AD=DC，BA=BC=AC，ABC是等边三角形，
在RtOAD中，OA=1，OAD=30°，OD=OA=，AD==，BC=AC=2AD=．
（3）如图3中，作OHAC于H，设OD=x．
如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．
（1）求证：AGE≌△BGF；
（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
【答案】四边形AFBE是菱形．
【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质得出ADBC，得出AEG=∠BFG，由AAS证明AGE≌△BGF即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由ADBC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EFAB，即可得出结论．
试题解析：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，AEG=∠BFG，EF垂直平分AB，AG=BG，在AGEH和BGF中，，AGE≌△BGF（AAS）；
（2）解：四边形AFBE是菱形，理由如下：
AGE≌△BGF，AE=BF，AD∥BC，四边形AFBE是平行四边形，又EF⊥AB，四边形AFBE是菱形．
考点：已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=xm与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使PAB为等腰三角形．
【答案】；（2）；（3）①4；②3；③3＜n＜4或n3；（4）（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3，0）或（﹣1，0）．
（3）抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），抛物线c2的解析式为：，当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；
当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；
当3n＜4或n3时，l2与c1和c2共有四个交点；
（4）如图，若c2与x轴正半轴交于B，B（3，0），OB=3，AB==：
①当AP=AB=时，PB=8，P1（﹣5，0）当AB=BP=时，P2（3﹣，0）或P3（3，0）当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，PA=PB=4，P4（﹣1，0）综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣，0）或（3，0）或（﹣1，0）时，PAB为等腰三角形．
考点：的对角线相交于点，，，，.
（1）填空：与的数量关系为；
（2）求的值；
（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.
【答案】（1）BAD+∠ACB=180°；（）（）
在ABD中，BAD+∠ABD+∠ADB=180°，ABD+∠ADB=∠ACB，
BAD+∠ACB=180°，故答案为BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DEAB交AC于E．
DEA=∠BAE，OBA=∠ODE，
OB=OD，OAB≌△OED，
AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，
EDA+∠DAB=180°，BAD+∠ACB=180°，
EDA=∠ACB，DEA=∠CAB，EAD∽△ABC，
，∴，
4y2+2xy﹣x2=0，，
（负根已经舍弃），．
，
，即
PC=1．三角形的判定和性质一元二次方程三角形的内角和定理中，抛物线的开口向上，且经过点.
（1）若此抛物线经过点，且与轴相交于点.
①填空：（用含的代数式表示）；
②当的值最小时，求抛物线的解析式；
（2）若，当，抛物线上的点到轴距离的最大值为3时，求的值.
【答案】（1）﹣2a﹣1，②抛物线解析式为y=x2﹣3x；（）1或﹣5
考点：二次函数综合题一元二次方程根的判别式如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合，连结CE，过点C作CFCE交AB的延长线于点F，EF交BC于点G．
（1）求证：CDE≌△CBF；
（2）当DE=时，求CG的长；
（3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．
）解析；（）（）能
【解析】
试题分析：（1）先判断出CBF=90°，进而判断出1=∠3，即可得出结论；
（2）先求出AF，AE，再判断出GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出结论；
（2）在正方形ABCD中，ADBC，
GBF∽△EAF，，
由（1）知，CDE≌△CBF，
BF=DE=，
正方形的边长为1，AF=AB+BF=，AE=AD﹣DE=，
，BG=，CG=BC﹣BG=；
（3）不能，
理由：若四边形CEAG是平行四边形，则必须满足AECG，AE=CG，
AD﹣AE=BC﹣CG，
DE=BG，
由（1）知，CDE≌△ECF，
DE=BF，CE=CF，
GBF和ECF是等腰直角三角形，
GFB=45°，CFE=45°，
CFA=∠GFB+∠CFE=90°，
此时点F与点B重合，点D与点E重合，与题目条件不符，
点E在运动过程中，四边形CEAG不能是平行四边形．
正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定抛物线y=ax2bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PMy轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．
连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
连结PB，过点C作CQPM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得CNQ与PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
）（）①；②存在，（2，）或（，）
则CE=t，DF=7﹣t，
S△PCD=S△PCN+S△PDN=PN·CE+PNDF=PN=，
当t=时，PCD的面积有最大值，最大值为；
存在．
二次函数的综合应用，待定系数法函数图象的交点二次函数的性质相似三角形的判定和性质方程思想分类讨论思想．，在正方形中，点分别在上，于点，求证；
⑵如图，将⑴中的正方形改为矩形，于点，探究与的数量关系，并证明你的结论.
【答案】(1)见解析；（）AB=BC见解析
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质为⊙的直径，分别切⊙于点交的延长线于点，的延长线交⊙于点于点.
⑴求证；
⑵若，求的长.
【答案】(1)；(2).
（2）解：连接OD，如图，
CB，CD分别切O于点B，D，CD=CB=6，ODCE，CE=CD+DE=6+4=10，
在RtBCE中，BE==8，
设O的半径为r，则OD=OB=r，OE=8﹣r，
在RtODE中，r242=（8﹣r）2，解得r=3，
OE=8﹣3=5，
在RtOBC中，OC==3，
COB=∠FOE，OEF∽△OCB，
，即，EF=2．
切线的性质；勾股定理；垂径定理相似三角形的判定与性质与轴交于点（在的左侧），与轴交于点.
⑴求直线的解析式；
⑵抛物线的对称轴上存在点，使，利用图求点的坐标；
⑶点在轴右侧的抛物线上，利用图比较与的大小，并说明理由.
【答案】（1）y=﹣x3；（）（1，22）或（1，﹣2﹣2）（）当Q点横坐标为5时，OCA=∠OCQ；当Q点横坐标大于5时，则OCQ逐渐变小，故OCA＞∠OCQ；当Q点横坐标小于5且大于0时，则OCQ逐渐变大，故OCA＜∠OCQ．
（3）设Q（x，﹣x22x+3），当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QFy轴于点F，
当OCA=∠OCQ时，则QEC∽△AOC，
，即，解得x=0（舍去）或x=5，
当Q点横坐标为5时，OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则OCQ逐渐变小，故OCA＞∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则OCQ逐渐变大，故OCA＜∠OCQ．二次函数综合题解一元二次方程三角形的判定与性质；勾股定理如图，的直径，点上，为的中点，直径一动点.
(1)利用尺规作图，确定当时的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求最小值.
【答案】（1）详见解析；(2)2.
考点：圆，最短路线问题．知函数，k、b为整数且.
(1)讨论取值.
(2)分别出两种函数的所有图象.(需列表)
(3)求的交点个数.
【答案】(1);(2)详见解析；（3）4.
考点：一次函数，反比例函数，分类讨论思想，图形结合思想．，与直线于.
（1）求抛物线解析式；是抛物线上的一个动点与、点合），过点直线于点交直线点.
时，点坐标；存在使为等腰三角形，若存在请直接写出的坐标，若不存在，请说明y=﹣x24x+5；P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；（，）或（4，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．（2）设P（x，﹣x24x+5），则E（x，x1），D（x，0），
则PE=﹣x24x+5﹣（x1）=|﹣x23x+4|，DE=x+1|，
PE=2ED，
﹣x23x+4|=2|x+1|，
当﹣x23x+4=2（x1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
P（2，9）；
当﹣x23x+4=﹣2（x1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，
P（6，﹣7）；
综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；
设P（x，﹣x24x+5），则E（x，x1），且B（4，5），C（5，0），
BE=|x﹣4，CE=，BC=，
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