第三部分:特殊角三角函数值的计算 【解题原理】 【两种特殊的直角三角形】 (1)、,,直角三角形:如下图所示:
;;。 ;;。 (2)、等腰直角三角形(,,直角三角形):如下图所示:
;;。 【特殊角三角函数值】
【特殊角三角函数值相关例题】 【例题一】:【年高考理科数学新课标Ⅰ卷第题】 =( ) (A) (B) (C) (D) 【本题解析】:诱导公式的判断方法如下:
第一步:为第一象限角; 第二步:为第二象限角; 第三步:余弦在第二象限为负的; 第四步:与的偶数倍有关,三角函数名称不变。 所以:。 三角函数两角和差公式如下:
【本题答案】: 【例题二】:【年高考理科数学四川卷第题】 。 【本题解析】:根据三角函数的两角和差公式得到:
;
; 。 【本题答案】: 【例题三】:【年高考理科数学山东卷第题】若点在函数的图像上,则的值为( ) (A) (B) (C) (D) 【本题解析】:因为:点在函数的图像上;所以:。 。 【本题答案】: 第四部分:三角函数的定义 【三角函数定义一:终边上任意点的定义】 【终边上任意点定义的内容】 如下图所示:在平面直角坐标系中:画出角的终边,在角的终边取任意点,由点向轴作垂线,与轴相交于点。
在中:因为:角的对边,角的邻边; 所以:根据勾股定理得到:。 (1)、; (2)、; (3)、。 【终边上任意点的定义与三角函数的正负关系】 (1)、; 正弦的正负与纵坐标的正负相同,第一象限和第二象限为正,第三象限和第四象限为负。 (2)、; 余弦的正负与横坐标的正负相同,第一象限和第四象限为正,第二象限与第三象限为负。 (3)、。 正切在横坐标和纵坐标同号时为正,异号时为负,第一象限和第三象限为正,第二象限与第四象限为负。
【终边上任意点定义的题型】 【题型一】:已知:点为角终边上一点。 求解:,,的值。 【解法设计】:根据终边上任意点的定义得到: (1)、; (2)、; (3)、。 【题型二】:已知:角的终边在直线上。 求解:,,的值。 【解法设计】:因为:是过原点的一条直线,角的终边是过原点的一条射线; 所以:直线为两条终边。 分类讨论: (1)、当时:在终边上取任意点 根据终边上任意点的定义得到: ; ; 。 (2)、当时:在终边上取任意点 根据终边上任意点的定义得到: ; ; 。 【终边上任意点的定义的相关例题】 【例题一】:【2017年高考文科数学北京卷】在平面直角坐标系中,角和角均以为始边,它们的终边关于轴对称。若,则 。 【本题解析】:假设:角终边上任意一点为 根据终边上任意一点的定义得到:; 角和角终边关于轴对称,角终边上任意一点为为角终边上一点; 根据终边上任意一点定义得到:。 【本题答案】: 【例题二】:已知:角的终边上有一点。求解:,,。 【本题解析】:根据三角函数的终边上任意点的定义得到: ; ; 。 【本题答案】:,, 【例题三】:已知:角的终边在直线上。求解:,,。 【本题解析】:分类讨论: (1)、当时:取终边上的任意点。 根据三角函数的终边上任意点的定义得到: ; ; 。 (2)、当时:取终边上的任意点。 根据三角函数的终边上任意点的定义得到: ; ; 。 【本题答案】:当时:,,; 当时:,,。 【跟踪训练】 【跟踪训练一】:【2017年高考理科数学北京卷】在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称。若,=。 【本题解析】:
【跟踪训练二】:已知:角的终边上有一点。求解:,,。 【本题解析】:
【跟踪训练三】:已知:角的终边在直线上。求解:,,。 【本题解析】:
【跟踪训练参考答案】 【跟踪训练一】:【2017年高考理科数学北京卷】在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称。若,=。 【本题解析】:假设:角终边上任意一点为 根据终边上任意一点的定义得到:;。 角和角终边关于轴对称,角终边上任意一点为为角终边上一点; 根据终边上任意一点定义得到:。 根据余弦函数的两角差公式得到:
。 【本题答案】: 【跟踪训练二】:已知:角的终边上有一点。求解:,,。 【本题解析】:根据三角函数的终边上任意点的定义得到: ; ; 。 【本题答案】:,, 【跟踪训练三】:已知:角的终边在直线上。求解:,,。 【本题解析】:分类讨论: (1)、当时:取终边上的任意点。 根据三角函数的终边上任意点的定义得到: ; ; 。 (2)、当时:取终边上的任意点。 根据三角函数的终边上任意点的定义得到: ; ; 。 【本题答案】:当时:,,; 当时:,,。
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