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高考数学专题讲解:三角函数(一)

 高考150分 2017-11-05

高考数学专题讲解:三角函数(一)

第三部分:特殊角三角函数值的计算

【解题原理】

【两种特殊的直角三角形】

(1)直角三角形:如下图所示:

图片1

(2)、等腰直角三角形(直角三角形):如下图所示:

图片1

【特殊角三角函数值】

 

正弦

余弦

正切

 

【特殊角三角函数值相关例题】

【例题一】:【年高考理科数学新课标Ⅰ卷第题】学科网(www.zxxk.com)--教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯! =    

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【本题解析】:诱导公式的判断方法如下:

第一步

假设两角和差中除的倍数之外的角看做第一象限角;

第二步

根据第一步中假设的第一象限角,判断两角和差整体角的象限;

第三步

根据第二步判断的象限,判断三角函数的正负;

第四步

如果两角和差与的奇数倍有关,三角函数名称改变(正弦变为余弦,余弦变为正弦,正切变为余切);如果两角和差与的偶数倍有关,三角函数名称不改变。三角函数名称之后加上第一步假设的第一象限角,三角函数名称前加上第三步判断的正负。

 

第一步:为第一象限角;

第二步:为第二象限角;

第三步:余弦在第二象限为负的;

第四步:与的偶数倍有关,三角函数名称不变。

所以:

三角函数两角和差公式如下:

 

两角和公式

两角差公式

正弦

余弦

正切

 

【本题答案】

【例题二】:【年高考理科数学四川卷第题】         

本题解析】:根据三角函数的两角和差公式得到:

【本题答案】

【例题三】:【年高考理科数学山东卷第题】若点在函数的图像上,则的值为(    

(A)                    B                  C                   D

【本题解析】:因为:点在函数的图像上;所以:

【本题答案】

第四部分:三角函数的定义

【三角函数定义一:终边上任意点的定义】

【终边上任意点定义的内容】

如下图所示:在平面直角坐标系中:画出角的终边,在角的终边取任意点,由点轴作垂线,与轴相交于点

12

中:因为:角的对边角的邻边

所以:根据勾股定理得到:

(1)

(2)

(3)

【终边上任意点的定义与三角函数的正负关系】

1)、

正弦的正负与纵坐标的正负相同,第一象限和第二象限为正,第三象限和第四象限为负

2)、

余弦的正负与横坐标的正负相同,第一象限和第四象限为正,第二象限与第三象限为负

3)、

正切在横坐标和纵坐标同号时为正,异号时为负,第一象限和第三象限为正,第二象限与第四象限为负

三角函数

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

正弦

余弦

正切

 

【终边上任意点定义的题型】

【题型一】:已知:点角终边上一点。

           求解:的值。

【解法设计】:根据终边上任意点的定义得到:

(1)

(2)

(3)

【题型二】:已知:角的终边在直线上。

           求解:的值。

【解法设计】:因为:是过原点的一条直线,角的终边是过原点的一条射线;

所以:直线为两条终边。

分类讨论:

(1)、当时:在终边上取任意点

根据终边上任意点的定义得到:

(2)、当时:在终边上取任意点

根据终边上任意点的定义得到:

【终边上任意点的定义的相关例题】

【例题一】:【2017年高考文科数学北京卷】在平面直角坐标系中,角和角均以为始边,它们的终边关于轴对称。若,则                   

【本题解析】:假设:角终边上任意一点为

根据终边上任意一点的定义得到:

和角终边关于轴对称,角终边上任意一点为为角终边上一点;

根据终边上任意一点定义得到:

【本题答案】

【例题二】:已知:角的终边上有一点。求解:

【本题解析】:根据三角函数的终边上任意点的定义得到:

【本题答案】

【例题三】:已知:角的终边在直线上。求解:

【本题解析】:分类讨论:

(1)、当时:取终边上的任意点

根据三角函数的终边上任意点的定义得到:

(2)、当时:取终边上的任意点

根据三角函数的终边上任意点的定义得到:

【本题答案】:当时:

             时:

【跟踪训练】

【跟踪训练一】:【2017年高考理科数学北京卷】在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称。若=

【本题解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【跟踪训练二】:已知:角的终边上有一点。求解:

【本题解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【跟踪训练三】:已知:角的终边在直线上。求解:

【本题解析】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【跟踪训练参考答案】

【跟踪训练一】:【2017年高考理科数学北京卷】在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称。若=

【本题解析】:假设:角终边上任意一点为

根据终边上任意一点的定义得到:

和角终边关于轴对称,角终边上任意一点为为角终边上一点;

根据终边上任意一点定义得到:

根据余弦函数的两角差公式得到:

【本题答案】

【跟踪训练二】:已知:角的终边上有一点。求解:

【本题解析】:根据三角函数的终边上任意点的定义得到:

【本题答案】

【跟踪训练三】:已知:角的终边在直线上。求解:

【本题解析】:分类讨论:

1)、当时:取终边上的任意点

根据三角函数的终边上任意点的定义得到:

2)、当时:取终边上的任意点

根据三角函数的终边上任意点的定义得到:

【本题答案】:当时:

             时:

 

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