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【课程】西南科大网教学院_数学分析10_3.2 连续函数的性质与初等函数的连续性

2017-11-06  百眼通

3.2  连续函数的性质与初等函数的连续性

3.2.1连续函数的性

     定理3.2.1  若函数连续,则函数+以及在点处也连续.

      只就+的情况加以证明,其余可以类似地证明.

    因为函数在点处连续,

所以,     

由极限运算法则即得:

+在点也连续.

         由定理3.2.1以及sinxcosx在定义域(-上连续可知:函数

,均在其定义域内连续.

    利用数学归纳法易得:

    推论  有限个在处连续的函数的代数和是一个在处连续的函数;有限个在处连续的函数的乘积是一个在连续的函数.

 

3.2.2 反函数与复合函数的连续性

    定理3.2.2   若函数在数集严格增加(减少),则函数必存在反函数,且反函数也是严格增加(减少)

     因严格单调函数是11对应的,故它的反函数一定存在.

  现证:若A严格增加,则严格增加.

       ,且,     ,即.

        如果,由的严格递增性知

这与矛盾.所以,

上严格增加.

     对于在严格减少的情形,同理可证.

     定理3.2.3  上严格增加的连续函数,且=,=,则的反函数上是连续函数.

        ,我们证:即可.

          ,令

因为,有

所以                   

于是 时,有

                          

                          

同理可证                   

从而                         .

                                                                                             

   定理3.2.2  上严格减少的连续函数,且

,则[]上的反函数[]上是连续的.

     例如:,        

都是严格单调连续函数,所以,它们的反函数 都是严格单调连续函数.

    定理3.2.4  若函数连续,而连续,则复合函数连续.

      因为,所以,对时,有                                          

       又因为所以,对于上述

时,有

所以(相应),当时,有

                                     

3.2.3初等函数的连续性

     由前面的讨论知,五种基本初等函数:

       1. 幂函数:其中.

       2. 指数函数:特别地,当时,有.

       3. 对数函数: 特别地,当时,记为.

       4. 三角函数:.

       5. 反三角函数:.

 

    从前面的讨论可知:上述五种基本初等函数在定义域是连续的

由定理3.2.1和定理3.2.3得到一个极其重要的结论:

 

  定理3.2.4 一切初等函数在其定义域区间上连续.

 

  这样,若为初等函数,定义域的一点,则

表明连续等价于“”和“lim”可以交换次序.

    于是,求连续函数的极限就转化为求函数在点的函数值,它提供

了求初等函数极限的方法.

     定理3.2.5  如果limlim,则lim[].即

lim[]=[lim]

       limlim,所以,

                             

                         

   

典型例题:

3.2.1  是任一正实数,证明:幂函数(0+)连续.

,  因为,即,且连续.所以,

上连续.

3.2.2  求下列各极限.

        (1)             (2)  

(3)                      (4)

       (1)  原式

       

    (2)  原式

       

       

 

    (3)  原式

    (4)  原式

       

3.2.3  求下列各极限.

     (1)           (2)

     (3)                   (4)  

       (1)   原式=

因为           

,所以,

原式

    (2)  原式

        

 

    (3)  原式=  

                 

  

     (4)  原式

  

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