【课程】西南科大网教学院_数学分析11_3.3 闭区间上连续函数的性质

3.3  闭区间上连续函数的性质

3.3.1 有界性

定理3.3.1  若函数在闭区间连续，则在闭区间有界，即使得恒有

图3-3-1是上述定理的直观描述，一般说来，在开区间（或半开区间）的连续函数不一定有界. 例如：在半开区间，连续函数无界（如图3-3-2）.

3.3.2最大值和最小值定理

    定理3.3.2  若在闭区间上连续，则在至少存在两点、，使得对上的一切，都有

()(

其中(和(分别称为在上的最小值和最大值

注意：

    (1) 定理3.3.2中，如果把闭区间改为开区间，则定理的结论不一定成立. 例如：函数=在连续，但在内，既不能取得最大值，也不能取得最小值．

(2) 定理3.3.1中，若把在连续改为不连续，则定理的结论不一定成立的．例如：

=     

3.3.3 介值定理

     定理3.3.3 设在上连续，且，则对于介于与之间的任何数，都存在，使得.

推论（零点存在定理）  设在连续且，则存在，使得.

这个推论的几何解释如图3-3-4所示，即：

    若点与)在轴的上下两侧，则连接、两点的连续曲线至少与x轴相交一次．因而可以用这个推论来证明方程在某区间上根的存在性，即若连续曲线在区间端点、的值异号，则方程在区间内至少有一个根，推论中的即为方程的根．

  

必须注意：若定理3.3.2及其推论中的区间不是闭的，或者函数在区间上有间断点，则定理的结论不一定成立．

 

典型例题：

    例3.3.1  证明：在区间内有一个实根．

    证 因为在[0,1]上连续，且

所以由推论可知，在内至少存在一点，使得

.

这个就是的一个根．

 

    例3.3.2  证明：方程在区间内至少有一个根．

     证：设=

      在上连续，且

        

由零点存在定理，使得

故是在内的一个根．

 

    例3.3.3  证明：方程必有一个不超过的正根．

    证：设=，在区间上连续，且

       

       

    若，则，由零点存在定理，即，使得

 

即

    若，则的不超过的正根

所以有不超过的正根．