【课程】西南科大网教学院_数学分析14_4.3 微分

4.3  微分

4.3.1微分的概念

    我们们先分析一个具体的实例：

试求一块正方形金属薄片受温度变化的影响边长由变到+时，面积的增量．

    解：因为边长为的正方形面积，

从变到+时，面积增量：

是的一次函数，()是比更

高阶的无穷小．这时，我们称为函数

在的微分．记为：

一般地，

    定义4.3.1  设函数在的某邻域有定义，在点处任给增量（+在已知邻域内），如果函数增量可写成：

=

其中是与无关的常数．则称在处可微，并称为在处的微分，记为：．

4.3.2可导与微分的关系

    定理4.3.1  函数在可微充分必要条件是在可导且

    证明：()设在可微，则对处任意增量，有

=

其中是与无关的常数，则有

从而,                  

于是，在可导，且．

    (设在可导，即

故,                     

其中

所以,                 

因为， 故在可微．

    由此可知：对一元函数来讲，可微与可导等价；微分实质是导数的另一种表示，且有公式

    特别地，在时，，即当将看成函数时，“自变量的微分”等于自变量的增量．因此为了形式上统一，我们约定自变量的微分就是自变量的增量．即，故在的微分可改写为：

即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商．这就是导数为什么又称为微商的理由．

    微分的几何意义：

    在直角坐标系中，函数的图象是一条曲线，如图4-3-2，在该曲线上任取一点，且过点作曲线的切线，它与轴的交角为，则该切线的斜率为:

    当自变量从处得增量时，就得到曲线上另一点，于是，曲线的纵坐标就得到相应的改变量

同时，处的切线纵坐标也相应的改变，在直角三角形中，有：               

  由此可见，函数的微分的几何意义就是：在某点处，当自变量取得改变量时，曲线在该点处的切线之纵坐标的改变量．

4.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则

    我们知道，对一元函数来讲，可导与可微是等价的．因此，我们可以得下列基本初等函数的微分公式：

     （是常数）     

     ,     

                  

              

                       

                     

           

             

    由和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则：

    设在可微，且在商的情形，则

                      

                      

     对于这四个公式，我们只证(3)，其他三个公式用类似的方法证明．根据微分的定义和乘积的求导法则，有

    现在我们介绍复合函数微分法则

    定理4.3.3  设在可微，在可微，则复合函数在可微，且

　　　　　　(1)

    证明：由微分的定义和复合函数求导法则有：

因为，所以，

    在上述定理的(1)式中，可以看出：函数，当是中间变量，即时函数的微分总可以写成形式：

                      　　　              　　　(2)

    换言之，对于，无论是自变量还是中间变量，函数的微分都具有形式：. 微分的这种性质，称为一阶微分形式的不变性．

    另外，我们应该注意到：无论上面的(1)式还是(2)式都告诉了我们复合函数的微分的一般方法：逐次微分法．

   

典型例题：

例4.3.1  求函数处的微分．

    解：先求函数在任意点处的微分

因为　　　　　　　

所以，                 

 

    例4.3.2  求函数，当，时的微分．

    解：函数在任意点的微分为：

                      

   所以             .

例4.3.3  求下列各函数的微分．

     (1)                     (2)

     (3)                          (4) )

    解：利用逐次微分法

    (1) 

        

        

    (2)        

    (3) 

     

    (4)