【课程】西南科大网教学院_数学分析30_9.2 正项级数

9.2  正项级数

会用正项级数的比较判别法， 掌握正项级数的比值判别法、根式判别法，掌握p-级数收敛的条件。

定理9.2.1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．

定理9.2.2（比较判别法）设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切都有

                                                      (1)

那么  1 若级数收敛，则级数也收敛；

      2 若级数发散，则级数也发散．

推论9.2.1（比较判别法的极限形式）设和是两个正项级数，若

                                            (3)

则  1 当时，级数和同时收敛或同时发散；

    2 当且级数收敛时，级数也收敛；

    3 当且级数发散时，级数也发散．

定理9.2.3（达朗贝尔判别法或称比式判别法）设级数为正项级数，且存在某自然数及常数，

    1 若对一切，不等式

                                           (6)

成立，则级数收敛；

    2 若对一切，不等式

                                           (7)

成立，则级数发散．

推论9.2.2（比式判别法的极限形式）若为正项级数，且

                                      (9)

则

    1  当时，级数收敛；

2  当或时，级数发散．

定理9.2.4（柯西判别法或称根式判别法）设为正项级数，且存在某自然数及正数，则

    1  若对一切，不等式

                                       (11)

成立，那么级数收敛；

    2  若对一切，不等式

                                          (12)

成立，那么级数发散．

推论9.2.3（根式判别法的极限形式） 设为正项级数，且

                                       (13)

则  1  当时，级数收敛；

    2  当时，级数发散．

定理9.2.5（柯西积分判别法） 设函数上非负递减函数，则正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散．

 

典型例题：

例9.2.1  判别级数的敛散性．

    解  因当时，有

，

而级数收敛，故由定理10.2.2知也收敛．

例9.2.2  判别级数的敛散性．

    解  因为

而几何级数收敛，故级数也收敛．

例9.2.3  判别级数的敛散性．

    解  因为

所以级数收敛．

例9.2.4  讨论级数的敛散性．

　　解 因为

按照根式判别法的极限形式有：当时，级数收敛；当时，级数发散；而当时，级数为，显然也发散．

例9.2.5  讨论级数的敛散性，这个级数通常称为p      级数．

    解：作，考虑积分（）

而当时，级数已知是发散的．因此，对于p—级数来说，当时发散，当时收敛．