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【课程】西南科大网教学院_数学分析30_9.2 正项级数

2017-11-06  百眼通

9.2  正项级数

会用正项级数的比较判别法, 掌握正项级数的比值判别法、根式判别法,掌握p-级数收敛的条件。

定理9.2.1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.

定理9.2.2(比较判别法)设是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切都有

                                                      (1)

那么  1 若级数收敛,则级数也收敛;

      2 若级数发散,则级数也发散.

推论9.2.1(比较判别法的极限形式)设是两个正项级数,若

                                            (3)

 1 时,级数同时收敛或同时发散;

    2 且级数收敛时,级数也收敛;

    3 且级数发散时,级数也发散.

定理9.2.3(达朗贝尔判别法或称比式判别法)设级数为正项级数,且存在某自然数及常数

    1 若对一切,不等式

                                           (6)

成立,则级数收敛;

    2 若对一切,不等式

                                           (7)

成立,则级数发散.

推论9.2.2(比式判别法的极限形式)若为正项级数,且

                                      (9)

    1  时,级数收敛;

2  时,级数发散.

定理9.2.4(柯西判别法或称根式判别法)设为正项级数,且存在某自然数及正数,则

    1  若对一切,不等式

                                       (11)

成立,那么级数收敛;

    2  若对一切,不等式

                                          (12)

成立,那么级数发散.

推论9.2.3(根式判别法的极限形式) 设为正项级数,且

                                       (13)

  1  时,级数收敛;

    2  时,级数发散.

定理9.2.5(柯西积分判别法) 设函数上非负递减函数,则正项级数与非正常积分同时收敛或同时发散.

 

典型例题:

9.2.1  判别级数的敛散性.

      因当时,有

而级数收敛,故由定理10.2.2也收敛.

9.2.2  判别级数的敛散性.

      因为

而几何级数收敛,故级数也收敛.

9.2.3  判别级数的敛散性.

      因为

所以级数收敛.

9.2.4  讨论级数的敛散性.

   因为

按照根式判别法的极限形式有:当时,级数收敛;当时,级数发散;而当时,级数为,显然也发散.

9.2.5  讨论级数的敛散性,这个级数通常称为p      级数.

    解:作,考虑积分(

而当时,级数已知是发散的.因此,对于p—级数来说,当时发散,当时收敛.

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