【课程】西南科大网教学院_数学分析32_9.4 函数项级数的概念

9.4  函数项级数的概念

了解收敛点与收敛域及和函数的概念

定义9.4.1  设是定义在区间上的一个函数列，则表达式

                         (1)

称为定义在上的函数项级数, 简写为, 并且称

                                     (2)

为函数项级数(1)的前n项和，也称函数项级数(1)的部分和函数列．

    若，数项级数

                               (3)

收敛，则称函数项数级(1)在点收敛，称为函数项级数(1)的收敛点．若级数(3)发散，则称函数项级数(1)在点发散．若函数项级数(1)在上的某个子集D上的每个点都收敛，则称级数(1)在D上收敛．若D为级数(1)所有收敛点的集合，则称D为级数(1)的收敛域．级数(1)在D上每一点与其所对应的数项级数(3)的和，就构成了一个定义在D上的函数，此函数称为函数项级数(1)的和函数，并记作：

即                    

典型例题：

例9.4.1  讨论函数项级数的收敛域．

    解 它是公比为的等比级数，部分和函数列为

    当时，由于，所以，级数在区间收敛，且收敛于和函数．

    当时，由于不存在，，所以，此时级数是发散的．故函数项级数的收敛域为．且

例9.4.2  求函数项级数的收敛域．   

    解  因为对任意，有

而数项级数收敛，由比较判别法知：给定的函数项级数在点处收敛，由的任意性知：函数项级数的收敛域为．