【课程】西南科大网教学院_数学分析36_10.2 二元函数的极限和连续性

10.2  二元函数的极限和连续性

了解二元函数的极限和连续性的概念。

10.2.1 二元函数的极限

定义10.2.1.  设函数在点集上有定义，点是的一个聚点，若，当

 

时，恒有： , 则称函数在存在极限且极限是,记为.此极限也称为函数在点的二重极限．

定理10.2.1. 充分必要条件是，

, 时，恒有

．

定理10.2.2  若函数与在点存在极限，则

     1  

     2  

     3 

定义10.2.2.  若当x→a时(y暂时看作常数)，二元函数存在极限，设；且当y→b时，函数存在极限，设：

则称是二元函数在点的累次极限．同理可定义另一个不同次序的累次极限，即    

其中 ．

定理10.2.3 若二元函数在点的二重极限和两个累次极限都存在，则

10.2.2 二元函数的连续性

定义10.2.3  设二元函数定义在点集上，点，并且是的聚点，若

则称二元函数在点连续．

二元函数在点连续的“”定义途述为：

当且仅当,, :

且时，恒有．

定义10.2.4  若点集的任意点都是的聚点，且二元函数在任意

 

点都连续，则称在连续．

定义10.2.5  若二元函数在点不连续，则称点是二元函数的不连续点或间断点．

定理10.2.3  若二元函数与在点处都是连续的，则二元函数，，在点也都连续．

定理10.2.4 若二元函数在连续且二元函数在点连续，则复合函数

在点连续．

 

典型例题：

例10.2.1 讨论函数在的二重极限和两个累次极限．

解  考虑点沿抛物线趋于时，的

 

二重极限．

故随的变化而变化，不是一个确定常数，所以不存在．

又因                

且                  

即在(0,0)的两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在．

例10.2.2  讨论函数, 在点的二重极限以及两个累次极限．

    解 是的定义域．而

对使得，, 并且时，恒有

 

故                        

但是，两个累次极限

   

                                                                       

都不存在． 

　例10.2.3  计算下列各极限

     (1) ，         (2)

    解  (1)  因连续，故

．

    (2)  因在点连续，故

．

 

例10.2.4  计算下列各极限

     (1)            (2)

解 (1)   

           ．

        (2)