【课程】西南科大网教学院_数学分析37_11.1 多元函数的微分法

第十一章  多元函数的微分学

11.1　多元函数的微分法

　　　　            

理解偏导数的概念。了解全微分的概念。了解二元函数可微性、偏导数存在性、连续性之间的关系。会求二元函数的一阶、二阶偏导数，会求二元函数的全微分。掌握复合函数一阶偏导数的求法。会求由方程所确定的隐函数的一阶偏导数

11.1.1 偏导数

定义11.1.1  设二元函数定义在区域，且是的内点，另取：，作：

如果              

或                 

存在，则称其极限值分别是在点对或有偏导数，记作

 或                   

对于二元函数来说，偏导数存在不一定连续，而连续函数也不一定有偏导数．这与一元函数的情形（可导必连续）有些不同．

对于的n元函数的偏导数的定义和求法与二元函数的情形完全相同．一般n元函数的偏导数（或）共有n个．

11.1.2  高阶偏导数

定义11.1.2 二元函数在开区域内任意点存在偏导数：, 它们作为定义在的二元函数，若关于和的两个偏导数还存在，即             

则称这些偏导数是二元函数的二阶偏导数，用下列记号来表示：

其中符号或表示对二元函数先求关于的偏导数，再求关于的偏导数，它的极限表达式为：

而符号或的表达也类似．并称和为的二阶混合偏导数．

    一般情况，函数的n-1阶偏导数的偏导数称为的n阶偏导数．我们将二阶和二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．

定理11.1.1  若二元函数在开区域存在连续的二阶偏导数，则对，都有

_.

_{11.1.3 全微分}

  一元函数在可微，即

其中：是关于的高阶无究小，且．函数在的微分推广到多元函数就是全微分．

定义11.1.3  若二元函数在点的全改变量

可表为               

其中是与和无关的常数，则称函数在点可微，线性主要部分称为函数在点的全微分，记为   即．

定理11.1.2 若二元函数在点可微，则函数在点存在两个偏导数，且

一般说来，n元函数的全微分具有形式

    我们知道，若在点可微，则

其中是与和无关的常数，而．由此，有

即

故在点连续，即可微必连续．

可微，连续与偏导数存在之间的关系：

定理11.1.3  （函数可微的充分条件）若二元函数在点的邻域存在两个偏导数，且在点连续，则函数在点可微．

11.1.4 复合函数的微分法

定理11.1.4  若二元函数在点的邻域内存在连续的偏导数，而，可导，则复合函数（一元函数）也可导，且

                          

推论 若在点的邻域内存在连续偏导数，而，在点存在偏导数，则复合函数在点存在偏导数，且

11.1.5  隐函数的求导公式

定理11.1.5  设都在的某邻域内连续，且，，则在上存在函数使得：

(1)  ;

     (2)  在上连续;

     (3)  在上恒有：

     (4)  若在处连续，则在可导，且

    对二元隐函数，设

所确定函数：的偏导数存在，将代入原方程得关于的一个恒等式：

    利用复合函数微分法，将上式两端分别对求偏导数得：

于是，只要，就得

    对于由所确定函数，有同样的公式：

典型例题：

例11.1.1  求函数的偏导数，．

    解 将看作常数对求导，有

将看作常数对求导，有 _,

从而                

例11.1.2  求下列函数对各变量的偏导数

    (1)     (2)     (3)

    解  (1) ；

         (2) ；

  (3)

          

          

           ．

例11.1.3  试证：在不连续，但两个偏导数都存在．

    证  当点沿直线趋于时，有

即极限值随的变化而变化，故不存在，所以在不连续．但

从而．

例11.1.4  试证：在(0,0)点两个偏导数均不存在．

    证  由偏导数的定义，有

                

故不存在，同理 也不存在．

例11.1.5  已知：，试证：．

    证   因为

              

所以,     

故                        ．

例11.1.6  求函数在点的全微分．

    解  因为

故               

                   

 

例11.1.7  证明：函数

在点(0,0)不可微．                                            

    证   由例11.3.4知：，而

如果在点(0,0)可微，则应有

从而有                  

可是，当时，有

这与是关于的高阶无穷小矛盾．从而在点(0,0)不可微．

例11.1.8  设，其中：，计算．

解 由公式(1)，有

．

 

例11.1.9  设，而，求．

解 因为,,,,，由公式(2)和(3)，得

例11.1.10  已知：具有连续的二阶偏导数，且

，试求．

    解  因 ，所以

 

又由 ，从而

 

例11.1.11  设，试求．

    解  令，则

  例11.1.12  求下列各隐函数的导数或偏导数．

(1)    已知：，试求；

(2)    已知：，试求．

    解  (1) 将两边对求导，并注意到是的函数，则

故                          

    (2) 将看作的函数，即，将两边对求偏导数,有            

同理，有             

从而                  ．