函数的函数是泛函，泛函的泛函是什么？

这其实是个名称问题，函数和泛函并没有什么本质的不同。它们都是一种映射（mapping），区别是：函数一般代表的是定义域和值域为数域（常见的如 R^n）的映射，而泛函指的是定义域为某函数空间，值域为数域的映射。说白了，泛函就是函数的推广，泛函的泛函还是泛函，没有其他特别的称呼，据我所知。

数学里专门研究泛函的分支是泛函分析——概括整理经典分析和函数论的成果，把数学分析的一些研究方法运用到一般的抽象空间（比如Banach空间、Hilbert空间）进行更纯粹的研究。目前，泛函分析的内容非常丰富，与其他学科也有着紧密的联系，已经成为了研究数学、物理等领域不可或缺的知识。

下面对数学里线性泛函的相关概念作一简单的介绍。

线性算子

首先，线性泛函是特殊的线性算子：举个例子，线性代数里矩阵可以对应一个线性变换，就是一个线性算子。再比如求导运算：

就是连续可微函数空间到连续函数空间的线性算子。

取值于实数（复数）的线性算子称为实（复）线性泛函，比如积分运算：

f就是一个函数空间上的线性泛函。

线性算子的连续性和有界性

简明地，如果一个线性算子T满足

那么称T连续。如果对于线性算子T，存在一个常数C>0满足

那么称T 有界。当X和Y都是赋范空间时，连续性和有界性是等价的。有了这些概念，我们来介绍泛函分析中最重要的定理之一——Hahn-Banach延拓定理，在数学上具有广泛的应用。

Hahn-Banach定理

对于有限维空间上的线性泛函，它一定是连续的， 而且可以组成一个与基空间具有相同维数的线性空间，我们称为对偶空间。自然会问：如果是无穷维线性空间，会有什么结果？下面给出Hahn-Banach定理在赋范空间的一个特殊形式：

由这个可以得到判断赋范空间零元的一种方法：

X*代表X上的对偶空间（包含X上所有的连续线性泛函）。

---

至于其他的一些重要概念，比如：弱收敛，谱，广义函数，紧算子等，下次有机会再说吧。