光轨迹非直线。还是短程线。洛伦兹变换还能用吗？

题主你好。题主的前两句话混淆了两个概念：在相对论里，短程线不是空间曲线，而是时空曲线。时空曲线的长度是相对论不变的。这一点在爱因斯坦的《广义相对论与引力理论纲要》一文的开头就已经指明了。建议你去读一读。如果按照空间曲线去理解相对论，那么对不起，这种理解方式不是相对论性的，它在根本上违背相对论。因为相对论是时空统一的理论，必须要把时间和空间同时考虑进去。小编将从爱因斯坦的论文出发，论证短程线（按照小编的习惯，还是叫测地线geodesic）可以推导出相对论。

另外，从最后几句话看得出来，题主根本没理解狭义相对论，甚至没有理解运动学。光速不变原理的含义要理解两点，第一是这里光速指的是在无外场的真空下光的速度大小，第二是观者必须是惯性运动。这就意味着这种情形下，光不可能走曲线。另外，速度是矢量，它怎么可能等于一个标量？这里明显要把光速理解为光的速度大小。题主连这一点都不清楚，看来物理常识令人捉急啊。现在很多人都犯题主的错误，没有理解某个理论就说这个理论不对，这真的很ludicrous，也很naive。

考虑狭义相对论时空的时空线元

对于亚光速粒子，我们可以将右边第二项变成速度平方乘以时间微分的平方，进而两边直接开方再乘以粒子质量（指静止质量，这里不引入动质量，下同）。【从后面的推导能看出这里乘以-m会更好。】

这是一个作用量泛函，所以可以两边对空间坐标xi求泛函导数，令之为零，给出泛函的驻点，也就是给出了自由粒子的运动方程。严格证明会发现驻点就是极小值点。这就是最小作用量原理。而这里，我们考虑的是根据作用量给出与坐便xi相共轭的动量。按照分析力学我们知道有

一般会添加一个负号，为的是与相对论力学的结果一致。从分析力学的角度看，作用量乘以一个常数，是规范不变的，所以它不影响运动方程的形式。于是有

进一步，由作用量给出哈密顿量

得到能量为

这里我们可以重新定义作用量为

这样推导出来的结果和相对论力学的结果一致。这里稍微解释一下，我们这里得到的量与相对论力学的结果相差一个光速因子，爱因斯坦的论文里也是如此。不过说实话，这不重要，因为c是物理常数，它不会影响物理理论本身。在理论物理里，一般直接令光速c=1，这样得到的能量动量如下

如果我们考虑时空线元积分泛函的极小值，就可以推出测地线方程：

这正是亚光速自由粒子的运动方程。由此可见时空线元已经包含整个相对论动力学。不仅如此，如果我们考虑广义力的存在，就可以给出有力场下的粒子运动方程。

至于洛伦兹变换，这是一个很低级的话题，因为学过群论的都知道，洛伦兹变换是狭义相对论时空的对称变换之一(还有三维空间的转动变换和时空平移变换)，说白了就能保持时空线元不变的变换，也就是使下式成立的变换

这是一个很好的练习，小编有时候无聊的时候就自己推着玩。不过今年8月底，小编推导出了一个很有趣的变换（后来小编才知道上个世纪70年代就已经有人推导过了），它和我们常见的洛伦兹变换很像，但是有一些区别。其形式为（这里补上了光速c）

很明显这里的v要大于c，可以验证它满足上述的要求。不仅如此，它还还满足正常洛伦兹变换，因此它从属于正常洛伦兹群。这说明了狭义相对论没有禁戒掉超光速粒子的存在。不过狭义相对论不允许亚光速连续变换到超光速。

最后，小编想说一下光是怎么运动，狭义相对论里的光是真空光，且无外场。由于真空光的速度大小为c，所以时空线元恒为0，这一点在广义相对论也是如此。这对我们建立光的运动方程产生了不小的影响。不过方法总比困难多。推导光的运动方程，可以从下面的式子来考虑

既然它也是相对论不变的，那么引入放射参量λ，改写它为

前面的作用量泛函启示我们，上面这个式子是可以直接拿来做为拉格朗日函数的，所以代入拉格朗日方程（可以证明作用量泛函导出的运动方程就是拉格朗日方程）有

这里需要说明的是，对于运动方程而言，我们可以选择的拉格朗日函数其实很多，而且，它们在运动方程的意义上是等价的（在能量动量的意义上不一定等价，甚至都不等价）。由于我们关心的是光的运动方程，所以这里采取的是一个拉格朗日函数。很明显，无外场真空下的光是直线运动。

如果考虑有外场，需要在拉格朗日方程补充广义力——这一点学过分析力学的都知道，小编就不再补充介绍了。那时候，光不一定走直线，最简单的例子，介质中的光就是走折线甚至曲线。