旋转相似在最值问题中的应用

一、旋转相似：

已知：△ABC和△ADE是共点相似，那么共点的四条边（红色），一定可以再找到一组相似三角形。△ABD∽△ACE。

二、实战1

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，CD⊥AB于D，P是CD上一个动点，以P为直角顶点向下作等腰直角三角形BPE，连接DE。求DE的最小值.

解答：因为△ACB和△EPB共点相似，∴△AEB∽△CPB

∴∠1=∠PCB=45°

∴E在射线AE上运动，E的轨迹是一条直线。

且看动图

所以E是射线AE上一点，D为射线AE外一定点，所以点到直线间，垂线段最短。当DE⊥AE时，DE最小

三、实战2

如图，线段AB=4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是         

以AB为斜边，构造等腰直角三角形AEB，同理△EMB也是等腰直角三角形。

且看动图

总结：动点轨迹：

①实战1，与定点A成定角关系，轨迹是一条直线。

②实战2，与定点E成定长关系，轨迹是一个圆。