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怎么理解数学中的级数?

2017-11-14  zzzzsm

备注:最近时间段的更新放在文章后边,方便按时间段来看。

我先写个学习级数部分的引入内容,分为三大部分:

  • 无穷级数到底在研究什么?
  • 正项级数及根据定义判别正项级数是否收敛?
  • 正项级数的比较判别法

后续有时间再继续更新此文~


(一) 无穷级数到底在研究什么?

辣么长一串串数字,加在一起到底是干啥用呢?

所谓级数,就是说无穷多个数相加在一起,这时候就叫他无穷级数。

百度百科上给出的解释是这样的:



宝刀君这里献献丑,也给出级数的相关概念,如下所示:



注意,发散的级数是没有和的,比如说,让你算这样一道级数求和的题:



针对这一道题,历史上给出了3种不同的答案,而且每一种似乎还都挺有道理,不信你看:



第一种答案我们都很容易能想到,一正一负,加起来为0。

第二种答案是保留第一项,我把你后面的那些项加到一起,后面的加在一起是0,这样整体得结果就是1.

第三种答案是说提出来一个符号,这样括号里边的相当于就是题目待求值S,1-S=S,得出结果为1/2.

那么,到底哪个是正确的呢?

其实都是错的!


因为无论答案是0,1,还是1/2,它都有个前提级数必须是收敛的

而你所给的这个级数,他是发散的,发散的级数根本就没有求和的概念,因为是发散的,因此也不会遵守加法的结合律。

那么,级数要收敛,它必须满足的必要条件是什么呢?



对这个必要条件,我们可以从两个角度来理解:


A定义上:因为你这个级数是一直在累加求和,那么第n项肯定是无穷小量,不然越加越大成无穷了。

B使用上:当你拿到一个级数,发现它的通项的极限不等于0或者说不存在时,那么这个级数肯定是发散的。但是,这个条件也仅仅是必要条件,不是充分条件


比如说对于调和级数它就是发散的,书上证明调和级数发散的方法有很多,宝刀君在这里给大家附一个简单的证明方法,如图:



如上图所示,调和级数对应的就是红色矩形的面积,好家伙,你比下面的曲边梯形的面积都还要大,而曲边梯形的面积算出来已经是无穷大了,你调和级数还不是发散的?

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综上所述,对于级数,我们的研究思路是:

无穷多个一般项加在一起,我关心的是你的和到底存在不存在?如果你求和加在一起是无穷,那么去研究你是没有任何意义的。


那么,怎么样来求你无穷多个项加在一起的和是否存在呢?


有人就这样想啦,我把你的前n项和求出来,因为你是无穷多个,那么我对n取极限,让n趋于无穷,如果limSn的极限存在,那此时就说你这无穷多项加在一起求和是存在的。


如果这个和的极限存在,这就说明这个级数是收敛的。如果这个极限不存在,那么就说明这个技术是发散的。


因此,无穷级数研究的是数列极限存在与否的问题

(二)正项级数及根据定义判别是否收敛

级数那么多,我先学习其中一个最典型的,就是你啦—正项级数

理解了级数的概念后,我们学习的第一个级数是:正项级数,按照定义,正项级数的通项Un是大于等于0的,这也就意味着:正项级数不是说每一项都必须是正的,某几项也可以等于0呀。


换句话说:一个正项级数可以缺项的


一谈到级数,我们关心的就是它的敛散性的问题,那么对于一个正项级数来讲,如何判断正项级数是否收敛呢?


我们从基本定义出发:我看你这个级数是不是收敛的,我就看你的前n项和的极限是否存在,即研究当n取无穷时,LimSn这个极限是不是存在的?如果我们把Sn看成一个新的数列的话,这个数列的每一项是S1,S2,S3,….,Sn,因为你是各项为正,故单调递增,这就是正项级数的特点!


再继续展开想啊,我们在学习第一章极限与连续时,有关极限的存在准则有两个:一是单调有界数列必收敛;二是夹逼定理。而正项级数已经保证了单调递增,那么如果它是有上界的,就可以判断出这个正项级数是收敛的


(三)正项级数的比较判别法

有同学会讲,你说起来倒是简单啊,操作起来好像并不容易哦。

你给我每一个级数都按照定义来做,不把我累死啊!有木有啥简便的方法啊?

当然有啊,我之前求和取极限,都是从自身出发,把每一项都加起来看你总和存在不存在的,这样做太累了,如果我换个角度,我不求和啦,我不看你总数啦,我只选出“人大代表”,也就是我只取每个级数的“通项”,我就拿你这个通项去跟别人PK!


基于这样的思想,引出了著名的“比较判别法”!!!



需要注意的是:比较判别法只适用于正项级数!小心啦,这个知识点虽然小,但是陷阱够深,如果在题目里,命题人直接对一个没说是否为正项级数的级数使用比较判别法判断敛散性,那你就要理直气壮的对命题人说了:呦呦,小瞧我试不试,少爷我就是不掉进你挖的坑里!


上面提过,一个级数是否收敛的必要条件是:你的通项的极限值为0,也就是个等价无穷小。现在用的是“比较判别法”,我要跟别人比较啊!一决高下时,难免会分出个你抢我弱,不过这里比较的是:两个级数的通项趋于0速度的快与慢!如果用极限形式表示,那么这就是一个0比0型的求极限的问题:



宝刀君对上面这张图做几句解说:

A、当L为正数时,这两级数是一路货色,具有相同的敛散性!


B、当L为0时,你返回去看是谁比谁来着,是Un比Vn,那就说明此时的Un是Vn的高阶无穷小,Un趋于0的速度更快,此时如果趋于0速度慢的级数Vn是收敛的,那么快的级数Un肯定是收敛的!简而言之:慢的都收敛了,我快的肯定收敛!


C、当L为正无穷时,这说明分母Vn此时是趋于0的速度比较快的啊!此时如果这个“快的”都发散了,那我Un这个“慢的”不用说,肯定就是发散的!


总结一下:通过上面的描述,我们可以看出:比较判别法及其极限形式的实质就是“跟别人(参照物)比!”,通过与其他人的比较,从而得出自己的敛散性


那这个“参照物”选谁呢?

茫茫级数中,到底选哪几个级数,才能让我知道自己到底是不是收敛的呀?


别灰心,前辈们都帮你整理好了,我们这些后人只管拿来用就好了。实验统计(历年考试真题的统计),常用的比较级数有俩:分别是等比级数(也叫几何级数)P级数,也就是说一谈到Vn,你就找他们两就够了!



市面上的参考书上还会给出其他广义P级数来展示其完整性,在我看来这完全没必要,只会给你增加记忆负担,你就记住这两个就行了,足以去打仗了(考试了)!

(四)总结

级数本来是研究无穷多项加在一起,看你的和的极限存在不存在的,现在只需要将每个级数的“代表”:通项Un或者Vn拿出来就可以了,而一个级数是否收敛的必要条件是它的通项要趋于0,也就是说它这个通项一定是无穷小,因为你一直在累加求和,那么第n项肯定是无穷小量,不然越加越大成无穷了。


因此,级数收敛的问题转化为2个无穷小量的比较,就看你这两个无穷小量趋于0速度的快与慢。通过比较判别法的极限形式,我们知道,如果慢的收敛了,那么快的肯定是收敛的,如果快的都发散了,那么慢的肯定是发散的。


比较判别法的特点就是,我现在判断级数Un是否收敛,我需要找一个参照物(找别人),通过比较,得出自己是不是收敛的。那么参照物如何找,你只需要记住两个级数就可以了:等比级数和P级数!


2017年7月4日第二更(可以戳以下链接进行查看)

王者荣耀!级数、极限和泰勒公式三大王 桃园三结义 搞事情啊!!! - 知乎专栏



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