Matlab学习笔记

本文主要记录一些学习Matlab过程中的一些琐碎的易忘的知识点，以待日后翻阅查看。

快捷键指令

• cmd+k 清除指令界面
• quit 退出matlab
• whos 可以查询迄今为止所有定义的变量的类型、内存空间、是否复数,who只查看变量名称
• clear 清除全部变量，clear x y z清除制定变量
• ... 用来续行
• format short/long 结果精确到4位小数或者16位小数，format short e用科学计数法计数，format rat 查找最近结果的比例式
• % 注释标记

数学运算符

• pi 相当于派
• abs求绝对值
• exp(a) 求解e的a次方
• sqrt(a) 对a开根号
• log(a) 求a的自然对数ln(a)，log10(a) 求10为底的a的对数
• sin cos tan atan 三角函数随便用
• a/b是右除，意思是a➗b
• a\b是左除，意思是b➗a
• 运算顺序：幂运算优于乘除，右除优于左除
• 在赋值语句后面加 ; 可以只起到赋值的效果，不输出 x=20 的赋值结果（不显示在命令窗口）
• 2 +3i 表示复数就可以用i
• .^幂次方运算需要在^之前加.
• pretty(f)用书面方式显示方程f

易错点

• 看清是直径还是半径
• 当重新定义了自变量x，需要重新运行y=f(x)，从而获取新的y值，否则会有矢量大小不匹配的错误
• axis([-4,4,-2,2])别忘了最外面的括号
• 得到一个大矩阵：

[x, y] = meshgrid(-3:0.1:2, -5:0.1:5) [x, y] = meshgrid(-5:0.2:5)

• 矩阵求模：sqrt(dot(A,A))
• 当出现error的时候，先看看有没有定义变量，syms x
• .*和dot是不同的运算，dot得出来的结果是两个矩阵对应元素相乘后加起来，因此得到一个数字，.*没有加起来，因此得出来的是一个矩阵
• syms定义多个变量的时候不需要加，
• 如果极限不存在,为NAN，那么再计算一下左右极限来进一步确定一下
• 渐近线需要先求解出来，再用plot([3,3],[-10 10],'r--')画出来，注意中间的定义域和值域的首尾之间没有，
• dsolve里面不能传入连等的条件,Dx=x(0)=0这种结果是错误的。
• 积分的时候int(f)中的f不需要加引号

线性代数基础

补充一点线性代数的基础知识：

向量：u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)

单纯行乘列的矩阵乘法公式: u * v'={u1v1+u2v2+u3v3}

叉积公式：cross(u,v)=u x v = {u2v3-v2u3, u3v1-v3u1, u1v2-u2v1}

点积公式：sum(dot(u,v))=sum(u .* v) = u1v1+u2v2+u3v33=|u|*|v|*COS(U,V)

叉乘（向量积）的意义就是通过两个向量来确定一个新的向量，该向量与前两个向量都垂直

点乘（数量积）的结果就是两个向量的模相乘，然后再与这两个向量的夹角的余弦值相乘。或者说是两个向量的各个分量分别相乘的结果的和。很明显，点乘的结果就是一个数，这个数对我们分析这两个向量的特点很有帮助。如果点乘的结果为0，那么这两个向量互相垂直；如果结果大于0，那么这两个向量的夹角小于90度；如果结果小于0，那么这两个向量的夹角大于90度。

• 行向量 a=[1,2,3] a=[1 2 3], 列向量 b=[1;2;3]
• 引用向量的个别“单行单列”元素a(1),a(4:6),a(:)第三个是显示a向量所有的元素
• 引用向量的个别“多行多列”元素a(2,3) a(:,2) a(:,2:3) a(1:2,2:3)第二行第三列，第二列，第二列和第三列，一二行二三列，a(1,:)=[],删除第一行
• 复制行创建新矩阵a([1,2,1],:)，复制一行放在一行，复制二行放在二行，复制一行放在三行
• 转置运算用 ' ，加减乘除直接算
• 向量合并，行向量用,合并，列向量用;合并
• a=[0:2:10]创建从0到10间隔2的等差行向量
• a=logspace(0,1,5)创建从10^0到10^1之间含有5个等差元素的点，注意是圆括号（）
• length(a),max(a),min(a)分别求解出- 矩阵的个数，最大值，最小值
• 求模（繁琐版）对于实数 sqrt(sum(a.*a)) 对于复数sqrt(sum(a.*conj(a))) ，conj(a)是求复数的共轭复数
• dot(a,b) cross(a,b)点乘（对应元素相乘并求和）和叉乘
• 当a是带有复数的矩阵，'是转置加共轭，而.'是单纯的转置
• .*是对应位置元素相乘（行乘行），*是矩阵相乘（行乘列）
• ./``.\``.^分别是右除，左除和幂次方，换句话说只要是加.基本都是对应位置元素互相运算
• zeros(m),zeros(m,n) eye(m),eye(m,n)分别是零矩阵和单位矩阵
• det(a)求矩阵a的行列式，助力求解多元一次方程的解
• rank(a)求矩阵a的秩
• inv(a)求矩阵a的逆矩阵，det(a) != 0的矩阵a才有逆矩阵
• rref(A)求A降行后的梯形矩阵
• magic(n) 魔方矩阵(幻方)是一个 n×n 矩阵。矩阵的元素从 1 到 n^2 之间,并且行元素的和等于列元素的和。
• [L, U] = lu(A) 对矩阵 A 进行 LU 分解，x = U\(L\b)用来求方程组的解

求方程的解

普通方法：

增广矩阵：

逆矩阵：

线伪逆矩阵求无限解det(a)=0：

LU分解：

绘制图像

x=[0:0.1:10]; y=cos(x); plot(x,y),xlabel('x'),ylabel('cos(x)'),gird on,axis equal,legend('cos(x)');

绘制图像+加坐标轴标签+网格+坐标轴间隔相同+图例，当更新x的区间或者间隔的时候，需要重新调用y=cosx来更新y值，否则会报错

fplot('exp(-2*t)*sin(t)',[0, 4]), xlabel('t'), ylabel('f(t)'), title('阻尼弹力')

fplot自动计算间隔，画出平滑的曲线

axis ( [xmin xmax ymin ymax] )

确定绘图的x轴和y轴的绘图范围，axis auto让matlab自动确定x轴和y轴的间距

• 输入图例或者坐标轴名称的时候务必注意输入''，不要输入变量作为参数

t = [0:0.02:4]; f = exp(-2*t)*sin(t);??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.

• 当一个函数是由二个或更多个函数相乘构成,别忘记在相乘时加上“.”以便告诉 MATLAB 我们是对两个矩阵进行相乘。应改为

  t = [0:0.02:4];f = exp(-2*t).*sin(t);

• 同时画两条曲线，plot(t,f,'-',t,g,'--')

• 实线’-‘虚线’—‘虚点线’-.’点线 ‘:’
• 同时画两条实线，并且确定两条实现的颜色和虚实plot(x,y,'r',x,z,'b--')
• 画平行于坐标轴的直线 plot([0,0],[-1,2],'--')不可以用plot(0,[-1,2],'--')

对方程画图

%ezplot里面的参数需要加'' ezplot('x^2 - 6*x - 12') d = 'x^2 - 6*x - 12';ezplot(d); %限定图像定义域 ezplot(d,[x1,x2]); %限定图像的定义域和值域 ezplot('x+3', [-4, 4, -2, 2]) %错误，ezplot里面没有等号 ezplot('x+3=0') %正确 ezplot('x+3')

MATLAB 颜色说明符

颜色	key
黑色	k
白色	w
红色	r
黄色	y
绿色	g
蓝色	b
青色	c
洋红	m

• 绘制子图使用命令 subplot(m, n, p),这里 m 和 n 告诉 MATLAB 产生的产生的子图有 m 行和 n 列,p 用来告诉 MATLAB 我们所要贴上去的 某个已经绘制的图形窗口在第几个块中，记住，要先subplot开辟空白表，再在plot画上图像
• 产生x数集的命令：
  x = linspace(a,b):MATLAB 会在 a 到 b 间取出均匀分布的 100 个点(或行向量),如果写成x = linspace(a,b,n):那么 MATLAB 会在 a、b 之间取出均匀分布的 n 个点。
• 在两条plot命令之间加hold on可以使得两个图像重叠，而不必清除原有重新绘制
• 将图像上特定的点用红色圆圈圈起来plot(double(s(1)),double(subs(f,s(1))),'ro')

绘制极坐标曲线：

theta = [0:pi/90:2*pi]; r = a*theta; polar(theta,r), title('阿基米德螺线');

​

绘制双log曲线：

• loglog(x,y),它产生的图像x，y轴均使用对数值
• semilogx(x, y),它产生的图象 x 轴使用对数值, y 轴仍然用直接值;
• 相应地,semilogy(x, y)产生的图象 y 轴使用对数值,x 使用直接值。

绘制离散图（折线图）

months=['J';'F';'M';'A';'M';'J';'J';'A';'S';'O';'N';'D']; N=20; x=(1:N); y=ceil(12*rand(N,1)); plot(x,y); set(gca,'YLim',[0 13],'YTick',1:12,'YTickLabel',months)

YLim 限制纵坐标的总范围0~13

YTick 月份对应点在总范围中的部分1~12

YTickLabel 纵轴的文字标定值

绘制离散图（柱状图）

x = [1:5];y = [50,98,75,80,98]; bar(x,y), xlabel('学生'),ylabel('分数'), title('期末测试') %水平的柱状图 barh(a,b),xlabel('学生人数'),ylabel('考试分数') %三维柱状图 bar3(a,b),xlabel('考试分数'),ylabel('学生人数')

%默认是非分组的柱状图 bar(x, y, grouped); %设置分组柱状图 bar(x, y, stacked); x = [54.5,64.5,74.5,84.5,94.5]; garcia= [0; 3; 18; 13; 10]; simpson= [3; 5; 20; 10; 5]; smith= [1; 2; 15; 17; 8]; y = [garcia simpson smith]; bar(x,y),xlabel('考试分数'),ylabel('学生人数'),legend('加西亚','辛普森','史密斯')

绘制离散图（针头图）

plot(t,f),xlabel('时间(秒)'),ylabel('弹簧响应') %替换为： stem(t,f),xlabel('时间(秒)'),ylabel('弹簧响应') %填充绿色菱形标记： stem(t,f,'--dg','fill'),xlabel('时间(秒)'),ylabel('弹簧响应')

等高线图(二维+三维)

​[x,y] = meshgrid(-5:0.1:5, -3:0.1:3); %[x,y] = meshgrid(-2:0.1:2);如果两个变量的取值范围相同，可以只写一次z = x.^2 + y.^2;[C,h] = contour(x,y,z);%c是等高线矩阵，h是等高线句柄 %给等高线加上图例set(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*2) %变成三维图像,30指的是等高线的密度 contour3(x, y, z, 30)； %装扮图像 surface(x,y,z,'EdgeColor',[.8 .8 .8],'FaceColor','none') grid off；view(-15,20)；%摄像机沿着x，y轴移动

解释set指令的参数：

contour(x,y.z)：（x，y）是平面z=0上点的坐标矩阵，z为相应点的高度值矩阵。

[C,h]=contour(x,y,z)：C 为返回等值线矩阵，h为图形对象的句柄向量，也就是代表所绘制图形；

set(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*2)
h：图形对象；

ShowText：显示等高值标签命令，后面设置’on’，就是打开显示标签；

TextStep：标签的步长；

LevelStep：等高线步长；

get(h,'LevelStep')：得到等高线步长的值。

这个命令就是从第一个等高线开始，每隔一个给等高线贴上标签。

三维图像

%绘制圆柱体 t = 0:pi/10:2*pi;[X,Y,Z] = cylinder(1+sin(t));surf(X,Y,Z); axis square; %普通三维图像 mesh(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') %表面颜色过渡的图像 surf(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') %底部有等高线映射的图像 surc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z') %图象中的阴影可以设置为flat、interp和faceted。 %flat 是用同一颜色为每个网格进行着色并隐藏网格线 %而 facted 则显示网格 %使用 interp 是 告诉 MATLAB 使用颜色插值的办法进行着色,因此显得非常平滑 surfl(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z');shading interp;%将图像着色为灰色colormap(gray);

• mean(a)行向量可以求得每一个行元素的平均值，mean(A)矩阵可以求得每一列的平均值
• median(raw)中位数
• std(raw)标准差
• size(A)判断矩阵的大小
• ~=是不等于
• disp('错误:数据必须具有相同的维数。')自定义错误出现时，屏幕上显示的语句

逻辑控制

if_else判断

myaverage.m文件的内容（文件名与函数名务必相同，否则无法调用)

function ave = myaverage(x,N) sizex = size(x); sizeN = size(N); if sizex(2) ~= sizeN(2) disp('错误:数据必须具有相同的维数。') else total = sum(N); s = x.*N; ave = sum(s)/total; end end

for循环

for index = start : increment : finish statements end

input输入

r = input('输入半径:')

while循环

while condition statements end

switch_case语句

switch expression case 1 do these statements case 2 do these statements case n do these statements end

解方程

一元一次方程

%'a'的意义是标定未知量，这样剩下的一个字母被认为是常量 %solve('a*x + 5=0','a')和solve('a*x + 5','a')是一样的，=0是默认值 solve('a*x + 5','a') MATLAB 响应输出为: ans = -5/x

一元二次方程

s = solve('x^2 - 6*x - 12 = 0') s= 3 + 21^(1/2) 3 - 21^(1/2) %这两个值可以用s(1),s(2)取到 d = 'x^2 + 9*x -7 = 0'; solve(d); %强制转换格式，可以将多项式转化为小数 x = double(s(1))

二元一次方程组

s = solve('5*x + 4*y = 3','x - 6*y = 2'); %使用点句号“.” 我们就可以取得相应的 x 和 y 值 s.x s.y

方程的展开(多个多项式相乘)

%定义变量x syms x expand((x - 1)*(x + 4))

方程的合并和化简（分配多项式）

collect(x*(x^2 - 2)) %经测试，可以被expand代替

因式分解

factor(112)%分解数字 factor(x^2 - y^2) factor([x^2-y^2, x^3+y^3])%多个因式同时分解

多项式相除

%多项式相除 syms x; simplify((x^4-81)/(x^2-9)) ans = x^2+9 %log函数化简 syms x; simplify(exp(2*log(3*x))) ans = 9*x^2 %三角恒等式 syms x; simplify(cos(x)^2-sin(x)^2) ans = 2*cos(x)^2-1 simplify(cos(x)^2+sin(x)^2) ans = 1

使用指数和对数函数求解方程

eq = 'log10(x) - log10(x - 3) = 1'; s = solve(eq);

泰勒级数展开式

taylor(sin(x),'order',20)//20为展开的项数

极限计算

独立变量趋近于0

%limit(f) limit((x^3 + 1)/(x^4 + 2))

独立变量趋近于非0

%limit(f, a) limit(x + 5,3)

独立变量趋近于无穷大(小)

%limit(f,inf) %limit(f,-inf) limit(sqrt(x^2+x)-x,inf)

左极限和右极限

a = limit(f,x,3,'left') b = limit(f,x,3,'right')

求导数

%一阶导数 diff(f) %n阶导数 diff(f,n)

检查等式两边的式子是否相等

isequal(a,f)

将常数代入方程得到结果

subs(h,2) %将多个常数代入求得方程的结果 subs(F,{b,x},{2,4})

求解符号微分方程

%dsolve('eqn', 'cond1', 'cond2', ...),cond1等是初始条件 dsolve('Dy = y*t/(t-5)','y(0) = 2') dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

常微分方程(ODE)求解

s = dsolve('Dy=a*y') s = C1*exp(a*t) C1 = 2; a = 4; %将常数代入字母为系数的方程 f = subs(s) f= 2*exp(4*t) %或者 f = subs(s,'C1',2);

方程组和相平面图

设置曲线图像细节

%调用 findobj 命令告诉 MATLAB 查找图象中的线条,然后使用 set 命令为线条设置颜色(最后所有的line都变为红色) ezplot(s.X),set(findobj('Type','line'),'Color','r') %调用 get 命令,它将返回当前图形对象的句柄 h=get(gca,'children'); %使用下面的命令改变它（单独的一条line变为虚线） set(h(1),'linestyle','--')

常微分方程（ODE）的数值解

使用ODE23和ODE45求解一阶方程

我们创建一个.m文件,输入下面的内容。

function ydot = eq1(t,y) ydot = cos(t);

通过调用ODE32/ODE45函数来求解ODE(产生的是t和对应的y的数组元素)

%[t,y] = ode23('func_name', [start_time, end_time], y(0)) [t,y] = ode23('eq1',[0 2*pi],2); %[t,y] = ode45('func_name', [start_time, end_time], y(0)) [t,w] = ode45('eq1',[0 2*pi],2)

首先我们产生一个表示解析解的数集,然后我们可以比较:

f = 2 + sin(t);

使用下面的命令来产生图象:

plot(t,y,'o',t,f),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),axis([0 2*pi 0 4]) plot(t,w,'o',t,f),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),axis([0 2*pi 0 4])

ODE23

ODE45

ODE23与ODE45区别：

1. 如果误差对你非常重要,那么使用ode45将是明智的选择，ODE45误差小
2. 根据数值画出的点比前面我们从ode32得到的密度要高

带有扰动的常微分方程

function ydot = eq2(t,y) global tc w F = t*exp(-t/tc)*cos(w*t); ydot = 5*(F-y);

tc = 0.1; w = 6.28; final_time = 1.0; [t,y] = ode45('eq2',[0 final_time],y0); plot(t,y),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),axis([0 0.7 0 0.015]) plot(t,y,t,F,'--'),xlabel('t'),ylabel('y(t)'),axis([0 0.7 0 0.05])

二阶方程求解

function xdot = eqx(t,x); %创建数组储存数据 xdot = zeros(2,1); xdot(1) = -x(1)^2 + x(2); xdot(2) = -x(1) - x(1)* x(2); [t,x] = ode45('eqx',[0 10],[0,1]); plot(t,x(:,1),t,x(:,2),'--'),xlabel('t'), axis([0 10 -1.12 1.12])

二阶方程求解需要把这个方程换成一阶方程组

积分计算

INT命令

%int(f) %int(f, v) 语法来调用 int,其中 f 就是要积分的函数,而 v 是积分变量 syms x; int(x)

对于计算积分的读者来说,不要忘记在你的答案后面带上积分常量

定积分

int('x',2,3)

or

F = int(x); subs(F,x,3)-subs(F,x,2)

多重积分

int(int(int(x*y^2*z^5,x),y),z)

int(int(f,x,2,4),y,1,2)

数值积分

调用 trapz(x, y)函数 MATLAB 可以进行梯形积分

%等分次数越多，误差越小 x = linspace(0,2,10); y = x.^2; a = trapz(x,y); a= 2.6831

正交积分

MATLAB 有两个命令 quad 和 quad1 可以用来实现正交积分。这种类型的方法基于使用 二次函数代替矩形更能接近曲线下方面积的原理(使用高阶的多项式还能够得到更精确的结 果)。辛普森法则(Simpson’s rule)是把积分区间分成偶数段,相邻两段下面的面积用不同 的二次函数近似表示。quad 函数采用适应辛普森法则的逼近方法进行数值积分。要使用 quad,把被积的函数传递给它,后面跟着积分区间。
quadl 函数采用洛巴托(Lobatto)积分法。这是一种适应正交积分更加灵活复杂的类型, 查阅 MATLAB 的帮助以便获得更多的信息。

quad 和 quadl 函数的不利方面是无法对点集进行积分。

quad('exp(-2*x)'',0,1/8)

数据拟合

%n 是我们要 MATLAB 求出的多项式的次数 %对于 y = mx + b 形式的方程,我们把 n 设为等于 1, %因此调用的语句将是 polyfit(x, y, 1) %n次多项式有n+1个常数系数 polyfit(x, y, n) 如果我们使用 p = polyfit(x, y, n)调用 polyfit,第 j 个系数的引用写成 p(j) m = p(1) b = p(2)

指数函数的拟合

拟合程度

当r^2接近1，或者，RMS小于1，则说明拟合程度比较好。

%其中，AVE是原有的数据，MEAN是原有数据的平均值，w是拟合数据，S和A公用的数据是AVE，即原有数据 S = sum((Ave - MEAN).^2) A = sum((w - Ave).^2) r2 = 1 - A/S

另一种我们可以用来体现拟合程度的方法是计算一个称为均方根(Root-Mean-Square,RMS)误差的数 值,要用过这种方法来评估多项式与实际数据的拟合程度,我们可以使用下面的命令:

w = m*sqft + b d = price - w; N = 10; d2 = d.^2; RMS = sqrt((1/N)*sum(d2))

可以使用 find 命令提问与数据有关的问题。例如,温度小于 80 度是在什么时候

find(y < 80)