基于力传递的混合型索穹顶初始预应力计算方法

基于力传递的混合型索穹顶初始预应力计算方法

赵宴刚1 尚仁杰2

(1.北京外国语大学， 北京 100089； 2.中冶建筑研究总院有限公司， 北京 100088)

摘 要：通过索穹顶结构对称性及节点平衡、力矩平衡，推导出竖向荷载由中心向外逐圈传递的各肢竖向力及水平力计算式；根据每肢所传递的竖向力及水平力大小，推导出脊索和斜索初始预应力计算式以及环向索和撑杆初始预应力计算式。对于Levy型索穹顶结构，当相邻2圈节点数变化时，内圈对外圈会出现3肢节点，成为混合型索穹顶，将3肢分为两类，推导了不同肢所传递竖向力和水平力计算式，从而得到了此类索穹顶初始预应力计算方法。新方法将索穹顶初始预应力分为两部分：一部分为竖向荷载下最小初始预应力值，一部分为预应力自平衡部分，其中，自平衡部分整体成线性变化，因此，可以通过提高最内节点上端径向水平合力大小提高整个索穹顶结构的初始预应力水平，从而满足各种荷载工况下的受力要求。最后，通过一个算例介绍了新方法的计算过程并验证了该方法的正确性。

关键词：索穹顶； 混合型索穹顶； 初始预应力； 竖向荷载； 力传递

1 概 述

索穹顶结构是美国工程师Geiger根据Fuller的张拉整体结构思想开发的一种新型预应力结构，并在1988年汉城奥运会场馆中采用，其中体操馆直径120 m，击剑馆直径96 m，这是世界上首次在大型工程中采用索穹顶结构[1]。Levy等人又在1996年亚特兰大奥运会主场馆乔治亚穹顶(Georgia Dome)中采用，该穹顶平面为240.79 m×192.02 m的椭圆[2]。

索穹顶结构与车辅式张拉结构一样，通过采用高强度预应力拉索而节省钢材；结构杆件少，通透性好，轻盈美观；圆形或椭圆形布置，受力合理，跨越能力强，因此，索穹顶结构与车辅式张拉结构[3-4]成为圆形或椭圆形大跨度场馆屋盖结构选型中经济、美观的预应力技术方案。

我国近年对索穹顶开展了一系列研究，包括初始预应力计算[5-8]、结构静、动力性能[9-10]研究及施工成型研究[11]等，特别是初始预应力的确定，一直是索穹顶结构研究的焦点问题。

索穹顶结构设计的关键是力与型的统一，也就是根据建筑造型和荷载确定索的初始预应力。标准的Geiger型(肋环型)、Levy型(葵花型)索穹顶(图1)初始预应力研究已经较为成熟[5-8]。对于葵花型索穹顶，从外到内半径减小、每周的等分数不变时，杆件会越来越密，习惯做法是当半径减小到一定数值时，每周等分数减少一半，出现Levy型与Kiewitt型的混合型结构，见图1c。这种形式索穹顶初始预应力计算需要考虑节点数变化段不对称的影响。本文提出了一种计算圆形索穹顶结构初始预应力的简单方法：首先根据对称性计算出各肢(1肢是指位于同一竖直平面内的脊索和斜索两根索)传递的竖向力大小，再计算出各肢传递的水平力大小，考虑节点竖向荷载及力矩平衡，计算出脊索与斜索初始预应力值。该方法考虑了Levy型(葵花型)节点数变化的影响，可以计算Geiger型(肋环型)、Levy型(葵花型)、Geiger与Levy混合型及Levy与Kiewitt混合型索穹顶初始预应力，还可以得到竖向荷载下保持所有索段稳定的最小初始预应力值及提高预应力时所有索段预应力增加的规律。图1为常见索穹顶类型，最外圈为受压环形梁。

a—Geiger型(肋环型)；b—Levy 型(葵花型)；
c—Levy与Kiewitt混合型；d—Kiewitt型。
图1 索穹顶结构常见类型

2 荷载的传递

2.1 竖向荷载的传递

竖向荷载由内向外，逐渐传递到最外圈的结构上。从结构的水平投影(图2)看，环向索水平布置，不传递竖向荷载；每肢传递竖向力大小可根据对称性确定，保证竖向荷载传到相邻外圈节点后，外圈节点荷载及传递来的竖向力之和都相同。

传递起始，第1圈到第2圈竖向荷载传递：

V1→2=V1

(1)

式中：Vi为由内向外第i圈节点受到的竖向外荷载；Vi→(i+1)为由节点i到(i+1)单肢传递的竖向力；mi→(i-1)、mi→(i+1)为由节点i到(i-1)的肢数和由节点i到(i+1)的肢数。

中心是撑杆时，第1圈就是中心点，m1→2=n2。第2圈(i≥2)以后竖向荷载的传递可分两种情况：节点数不变ni+1=ni；节点数变化ni+1=2ni。

图2 索穹顶结构平面投影

1)节点数不变(ni+1=ni)时，可按式(2a)或式(2b)计算：

Vi→(i+1)=(Vi+mi→(i-1)V(i-1)→i)

(2a)

(2b)

式中：ni为从内到外第i圈撑杆根数，也就是节点数。

2)节点数变化(ni+1=2ni)时,节点数变化形成的索穹顶称为Levy与Kiewitt混合型索穹顶。节点i向外圈节点有3肢。根据节点(i+1)向内侧肢数的不同分为2种：1肢节点记为(i+1)1，2肢节点记为(i+1)2，节点(i+1)1竖向外荷为V(i+1)1与节点(i+1)2竖向外荷载V(i+1)2由于受荷载面积不同而不同，应保证竖向荷载从节点i传递到节点(i+1)1和(i+1)2后，再加上原来的节点荷载相同：

(3)

求解得到：

Vi→(i+1)1=(Vi+mi→(i-1)V(i-1)→i)+(V(i+1)2-V(i+1)1)

(4)

Vi→(i+1)2=(Vi+mi→(i-1)V(i-1)→i)+(V(i+1)1-V(i+1)2)

(5)

至此，可以由内到外计算出各肢传递的竖向力Vi→(i+1)：i=1时按式(1)计算；i≥2时，外层节点数不发生变化(ni+1=ni)按式(2a)或式(2b)计算；外层节点数倍增(ni+1=2ni)按式(4)、式(5)分别计算Vi→(i+1)1和Vi→(i+1)2。

2.2 水平力传递

水平力也是由内向外，逐段传递到最外圈的环向结构上。

传递起始，对于中心撑杆，由于对称性，可以认为上端、下端均受到径向水平力，与中心为环形的受力是相同的，根据撑杆的力矩平衡，统一按式(6)计算：

R1′=

(6)

式中：L 1为节点1→2间的径向水平距离；R 1为节点1上端径向水平力合力。

R1和R1′是由内向外逐计算水平力传递的基础，R1最小为0。R1大小直接影响整个索穹顶内力，在结构对称时，R1是影响结构初始预应力大小的唯一变量。

第2圈(i≥2)以后水平力的传递可分两种情况：节点数不变ni+1=ni，节点数变化ni+1=2ni。

1)节点数不变(ni+1=ni)时，根据节点i撑杆径向水平力平衡得到：

Ri=(Ri-1+)

(7a)

根据节点i撑杆力矩平衡得到：

Ri′=

(7b)

图3 撑杆力矩平衡

式中：Ri为节点i撑杆上端内肢产生的径向水平合力；为节点i撑杆下端环向索产生的径向水平合力；Li为当i到(i+1)为单肢时，Li取i到(i+1)径向水平投影长度；当i到(i+1)为双肢时，取i到弦(i+1)-(i+1)垂直距离的水平投影长度；φi,(i+1)为水平投影面内线段i-(i+1)与节点i处径向线形成的夹角，按式(13)计算；φ(i+1),i为水平投影面内线段(i+1)-i与节点i+1处径向线形成的夹角，按式(14)计算；分别为i点撑杆在(i+1)点水平面上、下的高度(图3)。

2)节点数变化(ni+1=2ni)时,根据节点i撑杆关于点E的力矩平衡(图4)得到：

图4 关于点E力矩平衡

=

(8)

其中

Ri+1-Ri-\5

cos φi,(i+1)2

式中：Ri根据式(7a)求得；Vi→(i+1)1根据式(4)求得；V(i-1)→i根据式(2)求得，几何形状与图2、图4对应。

图2中节点i(点A)一圈和节点(i+1)一圈间为节点数变化区，A点向外圈与B、C、D三点相连接，根据受力对称性，B、C、D三点撑杆向内径向水平合力相等，上节点向内径向水平合力均为Ri+1，则AB段拉力的水平分力为：

HAB=Hi,(i+1)2=

(9)

A点(节点i撑杆的上、下端点)向内径向水平合力与向外径向水平合力相等得到：

Ri+Ri′=2HABcos φA,B+HAC=Ri+1+Ri+1

(10a)

得到：

Ri+1=(Ri+)

(10b)

式中：φB,A、φ(i+1)2,i为BA段与第1节点B即(i+1)2点处径向线形成的夹角。

(11a)

(11b)

式中：φA,B、φi,(i+1)2为AB段与第1节点A即i点处径向线形成的夹角。

根据Ri可以计算水平投影面内(i-1)-i段所传递的水平力H(i-1)→i：

H(i-1)→i=

(12)

当节点数变化时，(i+1)可分为(i+1)1和(i+1)2：

单肢Hi→(i+1)1=Ri+1

(13a)

双肢Hi→(i+1)2=

(13b)

3 初始预应力计算

至此，已经计算得到水平投影面内各肢传递的水平力Hi→(i+1)和竖向力Vi→(i+1)，可根据下文方法计算肢内脊索、斜索初始预应力。

脊索、斜索与水平面形成的夹角分别为(图5)：

(14a)

(14b)

式中为节点i至(i+1)水平投影长度(图5)。

图5 点i及i′力矩平衡

当i至(i+1)斜向布置：

(15a)

当i至(i+1)径向布置时：

(15b)

脊索拉力为脊索用拉力代替，对i′点力矩平衡；斜索拉力斜索用拉力代替，对i点力矩平衡，分别得到：

(16a)

(16b)

1)斜向索初始预应力(以拉为正)：

脊索

(17a)

斜索

(17b)

2)撑杆压力Pi(以压为正)，当i→(i+1)为mi→(i+1) 肢时：

(18a)

当i→(i+1)节点数变化(ni+1=2ni)时：

(18b)

式中为节点i撑杆下端点竖向荷载；上端点竖向荷载为向下为正。

3)环向索初始预应力以拉为正)：

(19)

中心为撑杆时，不存在； 中心为环时，还存在上层环向索拉力

(20)

至此，计算得出了索穹顶结构所以杆件初始预应力。

4 算 例

平面布置见图2，空间示意见图1c，几何尺寸：直径48 m，矢高6 m，外形为球形，n1=1,R1=0，n2=8,R2=6 m，n3=n4=n5=16，R3=12 m，R4=18 m，R5=24 m；；；；

竖向荷载按表面积均布荷载(包括结构自重)q=0.5 kN/m2计算，V1=16.8 kN，V2=13.9 kN，V31=13.1 kN，V32=15.7 kN，V4=22.6 kN。其中加在撑杆下节点力为

先计算竖向荷载传递：

V2→32=(V2+V1→2)+(V31-V32)=3.35 kN

V3→4=(V31+V2→31)=(V32+2V2→32)=11.20 kN

V4→5=(V4+2V3→4)=22.50 kN

再计算水平力传递，水平力计算分2步。

1)第1步计算R1=0时，考虑竖向荷载Vi：

2)第2步，取所有Vi=0，R1=10x kN，得到：R1=10x kN，R1′=4.118x kN，R2=14.118x kN，R2′=7.941x kN，R3=12.338x kN，R3′=10.617x kN，R4=25.295x kN，R4′=32.194x kN，R5=65.865x kN。其中x为可调整参数。

计算结果见表1。

表1数据表明，当R1=0时各杆件为最小预应力，三类杆件预应力小于10 kN。建立索穹顶有限元分析模型，表1中前7种杆件截面积300 mm2，8～11号杆截面积为500 mm2，12号杆截面积为1 000 mm2，13～15杆截面积为2 000 mm2，16、17号杆截面积为3 000 mm2，18杆截面积为4 000 mm2，弹性模量取2×105 MPa。将表1最右列各杆件初始预应力及所有竖向荷载施加在索穹顶上，结构竖向位移见图6，环向索拉力见图7，最大位移仅0.003 mm，各杆件内力相差均不到1%，说明该方法的正确性。

可以通过提高R1来提高整个索穹顶的预应力水平，防止其他荷载工况下索的松弛。如果确定初始预应力时只考虑结构自重，并满足建筑要求的结构尺寸，只需将上述荷载换为结构自重求解即可。当屋面荷载施加后，结构会发生变形，产生一定挠度，各杆件内力也会发生变化。

表1 索穹顶初始预应力 kN

Vi+R1=0Vi+R1=10Vi+R1=10Vi+R1=20Vi+R1=30TT1→2010017100172003430051TB1→214972415919131232927449TT2→3165528023113591938230621TB2→31343234664371174178148315TT2→325710424282511249318436TB2→32157122448171791962723056TT3→4239127537284243596146523TB3→4572706567612026776976971TT4→510188617754112515130269155148TB4→520393022028217118239146270014TC272052103757087981254103177TC323728527210253590280800318915TC4763883825118132788957891011416P1133004667179672263427301P2159382742175812032324164P31327054037351243916144816P32322054037346243866144316P411539212788126043138831153756

图6 竖向位移 mm

图7 环向索拉力 kN

5 结 论

本文提出了一种竖向力和水平力由内向外传递的计算方法。并给出了根据竖向力、水平力计算所有杆件的初始预应力值的计算方法。

1)本文的方法可以计算Levy型(葵花型)索穹顶结构在节点数发生变化时形成的Levy与Kiewitt混合型索穹顶，算式还考虑了节点数变化时1肢节点与2肢节点竖向力不同的影响。

2)初始预应力可以分为两部分：一部分为承受竖向荷载所需要的最小预应力值；一部分为自平衡预应力值。其中，自平衡部分与最内节点上端径向水平合力成正比，可以通过此变量的增加提高整个结构的预应力值，满足各种工况需要。

3)通过算例介绍了本文方法的计算过程并验证了本文方法的正确性，算例也给出了用最内节点上端径向水平合力控制整个索穹顶结构初始预应力的具体数据。经过有限元分析，该方法确定的预应力值引起的结构变形只有0.003 mm，达到力与变形的统一。

4)本文方法可以计算Geiger型(肋环型)、Levy型(葵花型)、Geiger与Levy混合型以及Kiewitt与Levy混合型索穹顶结构的初始预应力值。

5)本文的方法是在竖向荷载作用下张拉所确定的初始预应力，如果结构施工时除了结构自重外没有其他荷载，应在结构荷载全部施加后调整到表1的初始预应力数值。

参考文献

[1] GEIGER D H. The Design and Construction of Two Cable Domes for The Korean Oliympics[C]//Proceeding of IASS-ASCE. Osaka:1986.

[2] LEVY M P. The Georgia Dome and Beyond Achieving Light-Weight Long-Span Structures[C]//Proceeding of IASS-ASCE. Atlanta:1994.

[3] 尚仁杰，郭彦林，吴转琴，等. 基于索合力线形状的车辐式张拉结构找形方法[J].工程力学，2011,28(11)：145-152.

[4] 尚仁杰，吴转琴，刘景亮.基于双层平面索变形的车辐式张拉结构找形方法[J].应用力学学报，2013,30(5):720-725.

[5] 董石麟，袁行飞. 葵花型索穹顶初始预应力分布的简捷计算法[J].建筑结构学报，2004,25(6)：9-14.

[6] 王振华，董石麟，袁行飞.Levy型索穹顶考虑自重的初始预应力简捷计算法[J].工程力学，2009,26(4)：1-6.

[7] 董石麟，袁行飞.索穹顶结构的新形式及其初始预应力确定[J].工程力学，2005,22(2)：22-26.

[8] 阚远,叶继红.索穹顶结构的找力分析方法-不平衡力迭代法[J].应用力学学报，2006,23(2)：250-256.

[9] 宗钟凌，郭正兴.葵花型索穹顶结构力学性能及拉索破断试验研究[J].工程力学，2013,30(1)：271-277.

[10] 魏德敏，徐牧，李頔.索穹顶结构风振相应时程分析[J].振动与冲击，2013,32(17)：68-74.

[11] 陈联盟，董石麟. 凯威特型索穹顶结构多种张拉成形方案模型试验研究[J].建筑结构学报，2010,31(11)：45-51.

A METHOD TO CALCULATE THE INITIAL PRESTRESS OF HYBRID CABLE DOMES BASED ON FORCE TRANSFER

ZHAO Yangang1 SHANG Renjie2

(1.Beijing Foreign Studies of University, Beijing 100089， China；2.Central Research Institute of Building and Construction Co.Ltd, MCC Group，Beijing 100088, China)

ABSTRACT：The vertical force and horizontal force of each truck were calculated from the center to the out of the cable dome based on the symmetry of cable dome, joint loads balance and moment balance. The equations to calculate the initial prestresses of the up cable(ridge cable) and down cable of each truck were deduced. The equations of initial prestresses of hoop cables and struts were given also. The joints with three trucks to the out circle joints would appear when the numbers of joints of adjacent two circles were different for Levy cable dome. Three trucks were divided into 2 types. The equations to calculate the vertical force and horizontal force of each of the three trucks were deduced, the method to calculate the initial prestresses of this type cable dome were obtained. The initial prestress were divided into two parts thrtough the new method, one part was the minimum initial prestress, one part was self-equilibrating initial prestress. The second part was proportional to the radial horizontal force on the top joint of the inner strut. The initial prestress of the cable dome could be improved by increasing the radial horizontal force of the inner strut so as to satisfy different working conditions. The method was introduced by an example at last.

KEY WORDS： cable dome; hybrid cable dome; initial prestress; vertical load; force transfer

DOI:10.13206/j.gjg201710003

第一作者：赵宴刚，男，1979年出生，硕士，工程师。

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收稿日期：2017-06-23