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数学中的整数、有理数、无理数、负整数、正整数的概念是什么?

2017-11-16  鸿知文库

你说的这些数,部分是包含关系,部分有着不同的分类,他们名字不同,根本原因在于他们有着不同的性质!这些数的发展,其实和历史有很大关系的,就让我来给你逐一讲解。



正整数:整数的概念,是人们在生活中产生的,在原始人猿时期就学会了简单的计数。

当人类进入文明时期后,整数的概念被扩展,但也仅仅限于正整数(不包括零)。

有理数:可以表示成两个数之比的数。

当整数被扩展后,人们会发现整数不够用了,比如把2个苹果,分给3个人,就会出现非整数,这对人们来说,很容易理解也很容易处理,然后有理数出现人们的生活中。

零:最早人类是没有零这个概念的,最早的阿拉伯数字也是没有零的,把零正式加入运算的是印度人,中国使用零是在十三~十四世纪。

负数:比零小的数叫做负数。

负数的使用更晚些,直到17世纪,欧洲的数学家也认为负数是不合法的,而我们中华文明使用负数却要早很多,《九章算术》里面就有关于负数的计算,但并未得到推广,民间基本没有负数的使用。直到十八世纪,负数才逐步被加入计数当中。

无理数:不能表示成两个整数之比的数。



无理数的发现,要比零和负数早很多。公元前500左右,毕达哥拉斯的一个弟子希伯索斯,发现了根号2不能表示成两个整数之比,为此,毕达哥拉斯学派陷入恐慌,最终把希伯索斯扔进了大海,而无理数的发现,造成了第一次数学危机,一直到十八世纪,历经2000多年这个危机才得以化解,无理数才真正被承认。

虚数:虚数是垂直于实轴的另外一维数,并定义-1的正二次开方为虚数单位,用i表示。



虚数的历史就更有趣的了,虚数来自于三次方程的求根公式——卡尔丹公式。


人们从这个公式中,发现了虚数的价值。

复数:实数和虚数组成的二维数就是复数。



………………

值得一提的是,无理数里面还有普通无理数和超越数之分;在康托尔超穷理论中,还有超穷数;在数论中,还有合取数,完全数等等分类,但只限于那个领域;不过超越数值得一提。

超越数:无法满足有限的整数代数式的数。比如圆周率π,自然对数e,就无法存在于有理数系数的代数解中。

另外,在整数数域,无理数数域,甚至实数数域都是不完整的数域,因为我们利用加减乘除开方对数等运算,得到的结果会跳出这个数域,比如整数数域开方就很容易得到无理数,比如对负数开根号就跳出了实数数域。

而复数是我们使用的完整数域,在这个数域中,无论你做何种运算,得到的数都在复数数域里面。所以复数数域是完整数域,再往上就没必要扩展了,不过还是有人在研究,比如还有四元数、八元数,但基本都用不到。

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