专题10四边形
一、选择题
1．2017年贵州省毕节地区如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且EAF=45°，将ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E''处，则下列判断不正确的是（）
A．AEE′是等腰直角三角形 B．AF垂直平分EE''
C．E′EC∽△AFD D．AE′F是等腰三角形
【解析】
考点：旋转的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质相似三角形的判定．
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
【答案】A
考点：正方形的性质．2017年山东省东营市如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
BE=2AE；DFP∽△BPH；PFD∽△PDB；DP2=PHPC
其中正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
∴，
DP2=PHPC，故正确；
故选C．
正方形的性质，等边三角形的性质相似三角形的判定和性质是平行四边形，点是边上的一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：
①平分；②平分；③；④．
其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C.3D．4
【答案】D
【解析】
∴∠CFB=∠BCF，
BF=BC，
正确；
FB=BC，CFBE，
B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
PF=PC，故正确．
故选：D．
菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质中，的平分线交于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交的延长线于点，与交于点，连接.下列结论错误的是（）
A．B．C.D．
【答案】D
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，
AH∥BG，AD=BC，
H=∠HBG，
HBG=∠HBA，
H=∠HBA，
AH=AB，同理可证BG=AB，
平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质.（2017年山东省潍坊市第12题）点为半径是3的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形,顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A.或B.或C.或D.或?
【答案】D
【解析】
试题分析：过B作直径，连接AC交AO于E，
点B为的中点，
BD⊥AC，
如图，
点D恰在该圆直径的三等分点上，
BD=×2×3=2，
OD=OB﹣BD=1，
四边形ABCD是菱形，
DE=BD=1，
OE=2，
连接OD，
CE==，
边CD==；
考点：1、圆心角、弧、弦的关系；2菱形的性质的对角线的长分别为，则这个菱形的周长为（）
A．B．C．D．
【答案】D
考点：菱形的性质
二、填空题
1．2017年湖北省十堰市如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，OEBC于E，连接OE，若ABC=140°，则OED=．
【答案】20°.
【解析】
试题分析：四边形ABCD是菱形，DO=OB，DE⊥BC于E，
OE为直角三角形BED斜边上的中线，OE=BD，OB=OE，
OBE=∠OEB，ABC=140°，OBE=70°，OED=90°﹣70°=20°，
故答案为：20°．
考点：菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质.
中，平分交边于，平分交边于.若，，则.
【答案】8或3AB=8；
②在?ABCD中，BC=AD=11，BCAD，CD=AB，CDAB，
DAE=∠AEB，ADF=∠DFC，
AE平分BAD交BC于点E，DF平分ADC交BC于点F，
BAE=∠DAE，ADF=∠CDF，
BAE=∠AEB，CFD=∠CDF，
AB=BE，CF=CD，
AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
考点：平行四边形的性质中，按以下步骤作图：为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点；为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；射线，交边于点，若，则平行四边形周长为
【答案】15
考点：平行四边形的性质
4.（2017年贵州省六盘水市第16题）如图，在正方形，等边三角形顶点分别在边上，则
【答案】75°.
试题分析：∵正方形等边三角形正方形等边三角形的外侧，作等边三角形，则__________度．
【答案】45
考点：1、正方形，2、等边三角形
三、解答题
1．2017年贵州省毕节地区如图，在ABCD中过点A作AEDC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且AFE=∠D．
（1）求证：ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．
（1）AF=2.
【解析】
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．
．2017年江西省（1）计算：÷；
（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且EFG=90°．求证：EBF∽△FCG．
（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）先根据正方形的性质得B=∠C=90°，再利用等角的余角相等得BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定EBF∽△FCG．1、相似三角形的判定；2分式的乘除法；3正方形的性质中，过点做于点，做于点，连接，
求证：（1）;
（2）
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD，，再由，，可得，根据AAS即可判定；（2）已知菱形，根据菱形的性质可得AB=CB，再由，根据全等三角形的性质可得AE=CF，所以BE=BF，根据等腰三角形的性质即可得.
试题解析：
(1)∵菱形，
∴AD=CD，
∵，
∴
∴
(2)∵菱形，
∴AB=CB
∵
∴AE=CF
∴BE=BF
∴
考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.
4．2017年山东省日照市如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为E．
（1）求证：DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
【答案】(1)详见解析；(2)AD=BC（答案不唯一）．（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：
AB=DC，AD=BC，
四边形ABCD是平行四边形，
CE⊥AE，
E=90°，
由（1）得：DCA≌△EAC，
D=∠E=90°，
四边形ABCD为矩形；
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
5.（2017年湖南省岳阳市第18题）（本题满分6分）
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在中，对角线，交于点，．
求证：．
【答案】AC⊥BD；四边形ABCD是菱形．
【解析】
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．
6．2017年浙江省杭州市如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GEDC于点E，GFBC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，AGF=105°，求线段BG的长．
AG2=GE2+GF2（2）
【解析】
在RtGFC中，CG2=GF2+CF2，
AG2=GF2+GE2．
正方形的性质矩形的判定和性质勾股定理直角三角形30度的性质
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