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【来源】初中数学微课程，李尚志著黄喆编辑 （许兴华数学/选编）    
我当时是班上乐队吹笛子的。虽然吹笛子只能算是业余水平，也可算是“六艺初探”的第二艺。不仅“探”音乐，还“探”出了数学问题。 笛子的构造很简单，只是一根竹子上打几个洞。笛子需要花钱买，竹子却很容易找到。我就想：能不能自己找一根竹子打几个洞做成笛子，就不用花钱买笛子了。问题是：在竹子上什么位置打洞才能吹出正确的音阶1,2,3,4,5,6,7,i ? 后来我知道，发出的音的频率大体上与孔与孔之间的距离成反比。问题就归结为：1,2,3, 4,5,6,7,i的频率各是多少？当时我们还自己制作过一个“乐器”：用一根线绷紧套在金属文具盒上，用一支短铅笔插进去，就做成一个“吉它”，可以弹出歌来。用手按在线上的不同位置来调整发声的弦的长短，就发出不同频率的声音。声音的频率与弦长成反比。实际弹奏的时候，发哪个声音应当按住哪个位置是凭经验靠耳朵听。但我仍然想一个问题：如果空弦是1，要弹出2,3,4,5,6,7,i各个音，弦长应当缩短到几分之几？ 上图的电子琴的琴键中，白键的C音是C调的1，以后的白键D,E,F,G,A,B,C各音依次为C调的2,3,4,5,6,7,i.。从1往后，不论经过一个黑键还是白键都是上升一个半音，从1上升到2,3,4,5,6,7,i分别上升了2,4,5,7,9,11,12个半音，频率分别上升到1的频率的q^2,q^4,q^5,q^7,q^9,q^11,q^12倍。由1的频率可以算出其余各音的频率。任何一个琴键发出的声音都可以作为1，将这个1的频率f的1,q^2,q^4,q^5,q^7,q^9,q^11,q^12倍分别作为1,2,3,4,5,6,7,i的频率，这叫做十二平均律。这样确定的不同调的各音之间的比例完全相同，各音各调一律平等。但其中除了相差8度的音之外其余任何两个音的频率比都是无理数。 后来读到另外一本关于音乐的小册子，其中讲的1,2,3,4,5,6,7,i各个音的频率却不是无理数而是简单分数：1，9/8，5/4，4/3，3/2，5/3，15/8，2。并且解释：频率是简单分数，这样的音乐才和谐。这些频率比显然不是2^(1/12)的幂，每升高半音所升高的比例也不相同。例如从1到2升高两个半音是9/8倍，从2到3同样升高两个半音却是10/9倍，二者并不相同。十二平均律做到了各音平等，而各音之比是简单分数强调和谐。这两个方案显然不一致。哪一个正确？很让我疑惑不解。 后来读到了第三本小册子，是华罗庚在1960年代最早组织中学生数学竞赛时写的小册子《从祖冲之的圆周率谈起》。那时的数学竞赛小册子不是教怎样做竞赛题，而是开拓视野介绍相关的数学知识。华罗庚的这本小册子讲的不是音乐，也没有讲怎样计算圆周率π，而是讲怎样将无理数π用分母尽可能小的分数来逼近。虽然华罗庚讲的不是音乐，我却从中读懂了音乐。按照华罗庚小册子讲的算法，我将十二平均律算出来的无理数(2^(1/12)的幂)用分母尽可能小的分数逼近，得到的果然就是9/8,5/4,/4/3,3/2这些简单分数。 后来我知道：音乐历史上并不是先按十二平均律算出无理数再化成简单分数。而是反过来，由简单的分数3/2的各次幂产生出不同的音。相差八度(频率比为2)的音可以认为是同一个音，因此可以将3/2的每个幂除以2的某个幂使1<(3><2。以某个频率f的音作为1，得到的不同音的频率(3^m ^(m+n))f可以都限制在音f与2f之间。不难发现3^12/2^19="">1到2的等比数列，也可再调整成分母尽可能小的简单分数。 1997年我在中国科技大学开设《数学实验》课程，以中学时代关于音乐与数学的这一段思考和学习为素材，并编写了计算机程序按照所算出的频率将各个乐音播放出来，组成乐曲，成为课程中最吸引学生兴趣的精彩节目。这个节目也写进了中学新课程标准教材，又进入了我创立的以数学文化为主要内容的精品视频课程《数学大观》的课堂。当学生们在数学课堂上听到由计算机演奏出《康定情歌》的动人旋律时，他们对数学的仇恨、恐惧、误解在不知不觉中烟消云散，滋生起对数学的爱。
小学高年级就学了圆周率π，知道中国古代数学家祖冲之算出π的近似值3.1415926…在世界上领先了很多年。从那时起我就热衷于自己当一回祖冲之，将π的近似值重新算一遍。 记得当时看见一本连环画，说祖冲之勤于观察，做了一个很大的圆来量出直径与周长，根据测量数据得出π的近似值。我也就按照这个方法去算π。我不可能做一个很大的圆，只能找一个现成的圆来度量。家里喝水的杯子就是现成的圆。但真要去度量就发现问题：用硬尺子量还是用软尺子量？硬尺子量直径比较方便，量周长就有问题：圆周不是直的而是弯的，用硬尺子去量要跟着转弯，一不小心滑动了一下，量出的周长就不准确了。我母亲是做缝纫的，量体裁衣时需要量腰围胸围，因此家里有软尺子。用软尺量也有问题：用力太大就把尺子拉长了，量出的长度就偏小; 用力太小没把尺子拉紧，量出来的长度就偏大。不管怎样，用度量的方法得出的π的精确度都不高，远不能达到祖冲之的水平。 另一个方法就是利用几何知识算出π的近似值。很多书上都说祖冲之的π是由圆内接正多边形的周长算出来的。正六边形周长与直径之比为3，利用勾股定理可以依次算出正12边形、正24边形、……、正6×2n边形的周长与直径之比，让n无限增大就得到π的越来越精确的近似值。我企图按照这个方法去计算。但是，用勾股定理就需要开平方，那时没有计算机计算器，只能用四位数学用表或者用手算，n还不太大就算不下去了。而且我想：每次开平方都是近似值，利用近似值参加后面的运算，下一次开平方的时候又是近似值，每次都产生一些误差，一次又一次的误差越积累越多，我甚至怀疑祖冲之怎么能够用这个方法达到他所算出来的π的精确度。古书说，祖冲之的著作《缀术》因为“学官莫能究其深奥，故废而不理。”北宋时就已经失传了。祖冲之到底怎样算出精确度那么高的近似值，是否还是谜？ 将x=1代入就可以算出arctan1，得到π。不过，将x=1代入arctan1=1-1/3+1/5-1/7+…收敛太慢，书上给了一个收敛更快的算式π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239) 由arctanx的计算公式分别算出arctan(1/5), arctan(1/239)就得到π/4从而得到π。 按照这个方法，我算了不到一个钟头，就达到了祖冲之的精确度。当然，祖冲之不可能用这个方法来计算π，他不可能知道计算反三角函数arctanx的公式。 很自然我想知道：计算反三角函数的这个公式怎样的来的？在此之前，我曾经问过中学老师一个问题：三角函数表是怎样算出来的？ 现在计算三角函数、反三角函数很容易：用计算器就行了。我读中学的时候，计算三角函数、反三角函数都只能查表。中学生用的表叫做《四位数学用表》，包括平方表、平方根表、立方表、立方根表、正弦（余弦）表、正切（余切）表、对数表、反对数表等等。平方表我知道怎样算出来。比如要算125的平方，将125与自身相乘得到15625，写到表中去，下一次就不用再算只要查表就行了。立方表也是这样。平方根表算起来麻烦些，也有一个算法，慢慢算就行了。我不知道正弦、正切、对数、反对数怎样算，就去问中学老师。 如果现在有学生这样问中学老师，得到的回答一定是：“高考不考，问它干啥？”那时候的老师决不会这么回答。老师说：“你只要会查表就行了，不用管怎样算出来的。”老师的回答是对的，因为他的教学任务是教我们查表而不是教我们编表。我没有再问，但心里想：“我只要查表就行了，编表的人又怎么办呢？一定是查以前的人编的表。以前的人查更以前的人编的表。不过，总不能一直查到人类始祖亚当夏娃那里去，或者在中国查到开天辟地的盘古那里去，总得有第一个人编出第一份表来让以后的人查吧？第一个人是怎样计算正弦正切对数反对数的呢？”这个问题一直存在我的心里。 等等。我眼睛一亮，突然明白了，这不就是计算正弦余弦的公式吗？等式左边的sinx,cosx看起来简单，却计算不出来。等式右边看起来复杂，却可以用多项式来作为近似值，只要算加减乘除四则运算就行了，总可以慢慢算出来，就得到了正弦余弦。如果x很小，例如要计算1°的正弦sin1°，此时x的弧度值为π/180≈0.01745，可以将高次项x^3,x^5,…忽略不计，得到sinx≈x，直接用一次函数x近似代替sinx，得到sin1°≈0.01745。 相关注释请点击：微积分诗(李尚志教授著释) 小时候看电影，很崇拜电影里那些英雄可以从地面跳上房顶。后来知道他们其实跳不到那么高，但可以从上面跳下来。将跳下来的过程拍下来，倒着放映，看起来就是从下面跳上去。中学物理告诉我们，如果函数y=f(x)的自变量x是时间，y是速度，区间[a,x]与曲线所围面积S(x)就是路程。由速度f(x)求路程S(x)是定积分，比较困难。反过来，由路程S(x)求速度f(x)是求导数，很容易。也可以像拍电影那样倒过来拍：找一个函数F(x)使它求导得到的速度F’(x)=f(x)。F(x)不一定是路程函数，但一定是位置函数，末位置减初位置得到的F(b)-F(a)就一定是路程S(x)了。我是从一本小册子《从量变看物理世界》读到这个方法的，当时简直欣喜若狂，当场就求出了n次函数y = x^n下方的面积S(x) = x^(n+1)/(n+1)。后来知道这叫做微积分基本定理，是微积分最重要的定理。F(x)叫做f(x)的原函数。以上第四首诗说：测量天的高度不需要从下往上量，可以让银河从上往下量，就是说的这个思想方法。 我立刻明白，1加上无穷多个1/2，这个级数趋于无穷大，没有极限。翻回来看书的封面，上面是四个大字：数学分析。 |
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