《时间之问18》“宫商角徵羽”还是“Do Re Mi Fa So La Si”?
一周后,学生和老师在餐厅碰面了。他们在门口点完餐,往里面的座位走去。 “咦,这首背景音乐好熟悉!” 老师回头和学生说道。 “嗯,是啊,旋律很优美。” 学生放慢脚步听了一下。 “我好像很久以前听过,不过记不起名字了,你记得它的名字吗?” 老师走到了桌子旁边,坐下了。 “让我想想,”学生坐下来又听了一会说道,“好像是《春江花月夜》吧?” “嗯,我想起来了,确实是这首!你是怎么想起来的?” 春江花月夜 pixabay “我很喜欢这首曲子:春夜,潮水涨起,月亮在水中冉冉升起,美妙的月色下花朵散发出幽香,荡一叶扁舟于水上,感觉很有意境!”学生说道。 “嗯,在这绝美的月夜里,却有一对恋人不得相见。” “是啊,美景中平添了一份浓浓的离愁。” “我想起另外一种更加悲凉的离愁。”老师说道。 “比恋人不能相见更加悲凉的离愁?恐怕只有生死之别了?” “对,正是。” “谁和谁的生死之别呢?” “燕国的太子丹和他的爱卿荆轲之间的生死离别。” “哦,你说的是荆轲刺秦王的故事吧?”学生问道。 “你猜对了。荆轲你一定听说过,但是他一开始并不是燕国人。” “哦,是吗?” “荆轲据说是齐国后裔,他特别喜欢游历天下、读书击剑、结交四方豪杰。后迁他居燕国,改姓荆,遇到了一个屠夫高渐离,两人成为好朋友。” “荆轲这个豪士怎么会结交一个低贱的屠夫?” “荆轲素喜酒,一天他在街上酒至半酣,忽然听到一阵音乐,原来是高渐离在击筑,荆轲颇有感慨,和着乐曲唱了起来,越唱越激动,七尺男儿竟不禁泪湿衣衫,后来两人引为知己。” “哇,这个屠夫不一般!拿得起杀猪刀,也弹得了高雅音乐。对了,筑是什么乐器?” “筑是中国最早的击弦乐器,在战国时非常流行,到了汉朝刘邦亲自作《大风歌》时,还亲自击筑伴奏。可惜宋朝以后逐渐失传了。” “燕国太子丹是怎么找到荆轲的?” “当时,秦嬴政相继灭掉了战国七雄的魏国和赵国,下一步虎视眈眈,准备一举灭掉燕国。” “赵国这么强大的国家都被秦国灭了,燕国一定极度担心吧?” “对,燕国不仅弱小、还失去了赵国的缓冲,太子丹非常着急,但是要想联合其它国家一起抵抗秦国时间来不及,只能另谋它策。” “有什么办法呢?” “太子丹的忠臣田光向他推荐了荆轲,之后为了保守秘密田光咬舌自尽。太子丹无比悲痛,找到荆轲后,二人都痛恨强秦,但是弱不胜强,商议之后认为只有一条绝路:行刺秦王!秦国群龙无首必自乱,燕国方可自保。” 荆轲刺秦王 from Wikipidia “但秦国宫殿戒备森严,行刺谈何容易?” “是啊,所以他们要想接近秦王,只能以举国投降的方式向秦国示好,换来秦王亲自受降。在受降仪式上要献上燕国的全国地图,表示臣服。” “这能打动秦王呢?” “荆轲这认为还不够打动秦王。荆轲向太子丹提出要秦国叛逃到燕国的将领樊於期的人头,献给秦王,秦王必喜。但是太子丹不忍心,于是荆轲亲自找到樊於期对说报秦王仇的时机到了,只缺一样东西:你的人头。樊於期二话不说,引颈自刎。” “哇,为了抗秦,身家性命都豁出去了!” “虽然人头和地图都有了,太子丹却认为还要更周全一些。他寻找到了最锋利的徐夫人匕首,萃上剧毒,沾血即死。为了防备万一,还给荆轲配备了一个勇士秦舞阳。” “这下万事俱备,只欠东风了。”
“出发的日子到了,太子和宾客穿白衣戴白帽,在易水河边列队为荆轲送行。祭祀完毕就要上路了,荆轲的好友高渐离也来送行,他击着筑,荆轲和着曲子高歌一曲,歌声里有悲凉的变徵之声。想着此行有去无回,一行人站在瑟瑟的寒风中听了这哀伤的曲子,不禁相互垂泪而泣。” “是啊,秦国虎狼之地,凶多吉少,真是生离死别!” “荆轲上前唱道:“风萧萧兮易水寒,壮士一去兮不复还!” “这两句已经传唱千古。” “荆轲越唱越激昂,声音又变成了高昂慷慨的羽声,众人听了士气昂扬,怒发冲冠。于是荆轲驾车绝尘而去,头也不回。”
“这里面提到了羽声和变徵之声,都是中国古代的音名吧?” “对。” “我突然想起一个成语,中国人形容一个人唱歌弹琴跑调说“五音不全”。对了,是哪五个音呢?” “宫、商、角、徵、羽!” 老师说道。 “哦,是啊,我有印象。” “其实早在战国时期的《管子·地员篇》里,把这五个音和家畜的鸣叫声做了比拟。”
“啊,怎么这么奇怪,现在通行的音符是do-1,re-2,mi-3,fa-4,so-5,la-6,si-7七个音,可是古代中国却说五音,这是怎么回事?” “嗯,还记得上次我们提到的音符的回归吗?” 老师问道。 “嗯,记得。我们上次先从过年回家开始聊起,聊到了苏武的十九年归乡路,接着聊到了数字的回归,所有的数字都可以回归到质数,最后我们聊到了音乐和音符的回归。”(《时间之问17》音乐的回归与数字) “是的,上次我们提出要创建一套规则来产生新的音符,接下来我们看看用这套规则,到底可以产生五个音符还是七个音符?” “好啊,我迫不及待地想知道宫、商、角、徵、羽是怎么来的!” “我先卖个关子吧,”老师说道,“借用《道德经》上的一句话:道生一,一生二,二生三,三生万物。” “此话怎讲?” “从中音1到高音1,频率变高2倍,音调提高了八度。同理,把任何一个中音提高八度,变为对应的高音,都是频率提高2倍。我们把这个称作“一生二”,你同意吧?” “同意。” “反之,把中音1的频率乘以3再除以2,相当于琴弦长度变为原来的2/3,音阶提高了五度。我们把这个叫做二生三。” “同意,不过”,学生说道:“一生二,二生三,可以理解,可是从三却直接产生了万物,而不是三生四、四生五,这样是不是太快了点?” “别急,这只是一个比喻,帮助我们理解音符的产生。” “哦,那怎么从“三”一下子产生许许多多的音符呢?” “和牛顿同时发明微积分的大数学家莱布尼兹曾说过,“音乐是心灵的算术运动”,要想知道音乐的产生就要考察一下数学和音乐的关系。音符虽然繁多,但是规则却只有一条:就是反复利用三倍频率(五度关系)同时辅以二倍频(八度关系),就可以创造出许多新的音符来。” “这也有点简单得不可思议了!请举个例子好吗?” “好,不过我先解释一下上次没有说的五度的意思。” “好啊?为什么从do-1到so-5是五度呢?” “在音乐里,如果从一个音出发到相邻的第二个全音叫做二度,从中音1到中音2就是二度;以此类推,从中音1到中音5就是五度。” “啊哈,原来这么简单。” “我们从do-1出发,提高五度,相当于频率乘以3/2。” “明白了,现在我们有了do-1和so-5。”
“哪我们继续?” “好!” 五音 “我们继续从so-5(就是3/2倍频)出发向上,提高3/2倍,就变成了9/4,因为超出了八度(二倍频)范围,所以和它最相似的音就是减去八度,也就是频率减半,变成9/8。这就是re-2。” “那总结一下这三个音的频率倍数如下。” 学生拿来一张餐巾纸,在上面写道。
学生盯着这个表看了一会,“等一下!” “怎么了?” “啊,我明白啦!” 学生大声大声叫道,引得邻桌的人侧目。 “你明白什么了?” “我终于明白毕达哥拉斯为什么从数学中研究音乐。原来它们都是比例!有理数是两个整数的比值,而音符是两个频率的比值,这比值也是两个整数之比,例如八度就是2:1,而五度是3:2!同样,从质数出发,乘以一定的比例就可以构造出所有的数,而从一个固定的音出发,乘以一定的比例就可以构造出所有的音符!” “你说得很对!” “可是,为什么音符是和频率的比值有关呢?难道这和人的听觉有很大关系吗?” “对,生物学里有一个著名的韦伯-费希纳定理(Weber-Fechner law),说的就是这个意思。人的听觉、视觉等等对比值关系更敏感。” “哦,是吗?不妨说来听听。” “举一个视觉的例子吧。在一个黑暗的房间里有一支蜡烛,如果再点一支蜡烛,立刻觉得比原来亮了很多,这是因为两根蜡烛的亮度翻倍了。但是,如果一个房间里有10支蜡烛,再多加一支蜡烛,感觉会明亮很多吗?” “不会觉得比之前更亮多少。” “那如果还想达到亮度增大很多的效果,你猜需要添加多少支蜡烛?” “按照这种逻辑,还应该再添加10支蜡烛。” “对,要让蜡烛数量翻倍才可以。” “啊,我明白了,所人耳听到的音差主要体现在频率比,而不是频率差。要让耳朵识别出一系列的不同音符的差别,就要让它们符合一致的比例关系。” “也就是?” “对,让不同的音符频率尽量满足一个等比数列 。韦伯-费希纳定理是普遍存在的一个原理,以后你要是学了生物学以及电子学,都会发现类似的规律。不过目前我们要确定是新的音符的频率,如果要让音符均匀分布,就需要让声音的频率呈现固定的比例关系。” 韦伯-费希纳定理在视觉上的例子:上面一行圆形等差变大,看起来变大的趋势越来越缓慢;而下面一行圆形等比变大(40%),所以看起来是均匀增加。from Wikimedia “好的,也就是两个音符之间呈现3/2的比值关系吗?” “对。” “明白了,看来只要反复利用3/2的关系,就可以把剩下的音符全部确定下来。” “你说的很对,看来你已经发现创造音符的秘诀了。” “那我们继续找第四个音!继续增加五度?” “对,从9/8出发,继续升高3/2倍,变成27/16=1.6875。这个音叫做la-6. ”
“嗯,看来,这个方法确实简单,现在我们已经有四个音符了。” “对,再用一次五度,就凑齐古代中国的五音了。” “真不错,我们继续。” “la-6音继续向上,频率27/16乘以3/2,得到81/32。” “这个数字介于2和3之间,也就是超过了8度。” 学生说道。 “对,我们找和它最接近的音,也就是频率减半,变成81/64=1.265625。这就是mi-3。” “哇!我们终于找全了五个音!”
“嗯,这五个音就是五代中国的五律:宫、商、角、徵、羽!” “太棒了,宫、商、角、徵、羽,我要牢牢记住它们。” “这种每隔五度产生新音符的方法叫五度相生法。” “我很好奇,中国古代是用这种方法来产生五个音符吗?” “其实,中国古代产生音符的方法不是五度相生法,却比五度相生法更容易计算!” “哦,是吗?是什么方法?” “叫三分损益法!最早记载在战国时期的《管子·地员篇》里。” “三分损益?怎么损益呢?” “损是减少,益是增加。” “三分是什么意思呢?像魏蜀吴三分天下那样吗?” “嗯,所以我刚才说三生万物。” “啊,原来你在这里等着我呢!那具体怎么三分呢?” “把一根琴弦等分成三段,减去其中一段,长度变为原来的2/3,中国古代称之为损 ,于是就音调增加了五度。” “哦,听起来有道理,那益呢?就是把琴弦增加吗?” “对,增加1/3,变成原来的4/3倍。” “这样音调就降低到原来的3/4?” “对。只要反复利用3/2和3/4,就可以创造出五个音符。” “让我试试看?” “好啊!” “从do-1出发,先损1/3,频率比变为3/2,得到了so-5。然后再益1/3,频率比乘以3/4,也就是3/2x3/4=9/8,就是re-2。之后再来一次损,就是9/8x3/2=27/16,得到了la-6,最后再来一次益1/3,就是27/16x3/4=81/64,得到了mi-3。哇,和上面的结果一样。”
“对,但是三分损益法更简便。” “为什么呢?” “因为频率比始终没有超出2,所以不需要像五度相生法那样如果超出范围要降八度。” “哦,果然如此。中国古代就这五个音吗?” “五音只是俗称,其实早在战国时期,中国的曾侯乙编钟就有了十二个音,它是一套双音编钟,人们可以在五个半八度的宽广音域内进行演奏和创作,而欧洲直到18世纪初才在钢琴上达到同一水平。”老师说道。 “真是没想到,编钟不只是大,而且音域如此宽广。那既然中国古代远不止五个音,为什么还俗称五音呢?” “那是因为五音中两两之间都是全音,而多加的两个音和相邻的音出现的半音。全音听起来更加和谐。以五音谱的曲子有一种独特的韵味,历史上称为中国音阶 。” “那加上变徵和变宫就变成了七音,这和西方的do-re-mi-fa-so-la-si是一样的吗?” “嗯,可以这么说,因为西方有一种音律是用五度相生法产生的。” “让我看看,宫商角徵羽分别对应于1-2-3-5-6,只剩下4和7没有确定,应该就是变徵和变宫了,怎么找到这两个音呢?” “你猜猜!” “继续用五度法确定?” “对,要求是一样的,新产生的音符频率必须介于1倍和2倍之间。”老师说道。 “好,那我们从刚才最后一个音mi-3出发。” “从mi-3向上,找五度音,也就是频率81/64乘以3/2,得到243/128=1.8984,命名为si-7。” “嗯,胜利在望,就剩最后一个音了!继续增加五度吗?” “不,正好相反,而是从高音1减小五度,也就是频率降低3/2倍,或者从中音1来一个益1/3。” “哦,好,我看看,高音1的频率倍数如果是2,那么除以3/2就等于4/3=1.333,是这样的吗?” “嗯,如果用三分损益法,就是对中音1益三分,得到4/3,结果和五度相生发一样,得到了最后一个音,命名为fa-4.” “哇,这七个音终于找全了!” 七音 “我们把最后得到的这两个音插入到之前的五音里,变徵就是把徵降低半音,也就是so-5降低半音变成了fa-4,而变宫则是在清宫的基础上降低半音。”
“太棒了,我觉得最赞地方是,这种方法保证了很多音符之间是很纯的五度关系,而五度音听起来是很和谐的。” “对,你说的没错,不过...” 老师犹豫地说道。 “不过... 什么?” “有些音的频率比值看起来还是挺复杂的。” “你说的是哪些音?” “比如mi-3频率是81/16。” “哦,是啊,分子和分母都很大。” “而si-7的频率就更绝了,是令人绝望的一个比值:243/128!” “嗯,这样的音和其他音符一起弹奏,听起来和谐性要差一些吧?” “对。” “哪怎么提高和谐性同时又不偏离原来的音调呢?”学生问道。 “这是个好问题!人们想到了用分数来近似的方法。” “近似?怎么近似法?” “比如mi的频率1.2656,可以近似于1.2,1.3或者1.25.” “嗯,1.2是6/5,1.3是10/13,而1.25则是5/4.” “我们需要找一个比值,分子和分母比较小,而且接近1.2656。” “那就非1.25=5/4莫属了!” “对,实际上人们也是这样近似的。” “可是分子里面的5意味着什么呢?” “频率要先变大5倍,也就是5倍频,然后降低八度(二倍频)之后再降低八度(二倍频)就可以了。” “嗯,虽然是近似值,不过这倒也简便,更容易产生和声。那si-7呢?” “si7就简单了,因为它和mi3之间刚好相隔五度,所以只需把mi-3的频率比(5/4)升高3/2倍就可以,这样就得到了15/8。” “嗯,这样分子和分母的数值简单多了!” “这种音律听起来很纯,所以又叫纯律。”
纯律 “很好听的名字,因为mi和si的频率比值更简单,所以这种纯律应该听起来更和谐了。” “嗯,是的。” “可是无论是五度相生律、三分损益法、还是纯律,都有个无法解决的棘手难题。” “哦,什么问题?” “无论做完五次五度还是七次五度,最终的音都没法实现完美的转调。” “为什么要实现完美的转调?” “比如唱一首歌,如果一开始用中音唱一遍,到高潮时会用高音唱一遍,那么从中音转到更高的音调时,要让中间所有的音听起来不跑调。传统的五音和七音在转调时总有一些误差,听起来不太和谐。” “哦,这背后的原因是什么呢?” “是因为音符没办法完美回归!” “回归,又是回归!!” “对,要完美的回归才行。” “此话怎讲?” “因为第一个音是宫,所以经过数次五度相生之后,如果音调能够回到宫音的整数倍,那就是完美返宫。如果能够完美返宫,那就又可以开始一轮新的循环,从而可以实现完美的转调。比如哥伦布环球航行,如果他没有回到起点,他就没法证明地球是圆的。如果一套音律没法完美返宫,也就没法重新开始新的音调。” “但是五度相生并不能实现这个目的,为什么呢?” “比如从中音do-1开始,每次乘以3/2,五次之后我们得到了(3/2)5=7.594,这个数值近似等于8,也就是23,但还差一点点。因为超出了1-2的范围,所以我们把它除以4,相当于做了两次降八度,于是得到了1.898,可惜这个数离2差了一点点。所以没法完美的回归。” “嗯,虽然很多音之间是五度,但是转了一圈回来发现不能回到最初的起点,这对音乐演奏有什么影响吗?” “当然有了,你会发现转调时有点麻烦,因为没法完美回归,所以下次再出发时就产生了音差,如果经过多次转调,那音就跑得很远了。” “那西方的七音解决了这个问题吗?” “没有解决,西方固守五度相生法,一直受到转调问题困扰。” “那这个问题有人已经解决了?” “经过数千年的中外无数音乐家、数学家的不懈探索,这个问题终于在500年前解决了。” “是谁呢?” “是明朝的一个王子。” “不会吧,这么厉害,敢问他的尊姓大名?” “哦,说来话长,今天时间不多了,我们下次再聊吧!” “好的,老师再见!” “再见!” 感谢:写作过程中受到武际可、张伟伟、张华容三位老师博文的启发,特此感谢。 科学网—律学和十二平均律 - 武际可的博文科学网—音律之旅 - 张华容的博文 后记:收笔之后,觉惴惴不安,因文中内容跨越多个学科,虽尽力修订,但必有纰漏,如蒙指正,幸甚幸甚!
关于作者:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神,更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。 参考文献:
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