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许兴华数学（网络配图) 众所周知，现实世界中的量有相等关系，也有不等关系，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识。不等式在解决最优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用，它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。 不等式在中学数学中占有重要地位，在历年高考中颇为重视，在高中数学竞赛中更是屡见不鲜。由于不等式的形式各异，所以证明方法灵活、技巧多样，因此不等式的证明也是中学数学的难点之一。 为了突破难点，我们认为有必要以题组的形式对一些常见的证明方法和典型例题进行一些思考、研究和适当总结。 不等式一些常见的证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，构造法和判别式法等。 本文提供一组由浅入深的不等式题目，首先让读者独立完成，然后再跟笔者的思考与参考答案对照：勤于思考与善于用功，必将使大家在数学学习中立于不败之地。 许兴华数学（网络配图） 下面是笔者的教学笔记的原版手稿详解，供同学们学习参考。 【评注】以上方法称为“常值代换法”。当已知条件改为a+4b=m(m是正数)时， 相应地，[(1/a)+(4/b)]m/m=[(1/a)+(4/b)](a+4b)/m，即可用此法。 【评注】在不等式的证明中，有时有适当地换元，转化为双勾函数f(x)=x+(a/x)(a>0)在给定区间上的最大最小值问题。本题正是这样的方法。 【评注】这个不等式的形式非常优美：左边三项正好分别是右边三项的倒数，我们利用二次函数的思想巧妙地证明了这个不等式。 【评注】同样地，我们发现，这个不等式的形式非常优美：把字母a,b,c任意对换，题目不变！这种情况，我们称为：不等式具有“轮换对称性”，我们利用公式“三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”巧妙地证明了这个不等式。
【评注】不等式的证明中具有“形式美”的题目真是太有趣了：此题中把字母a,b,c任意对换，题目不变！从而不等式也具有“轮换对称性”，本题我们利用“不妨设a+b+c=1来证明”。如果a+b+c不等于1，而有a+b+c=y”，则我们通过一个简单的换元即可化为“已经证明了的不等式”，这真是出奇制胜的数学典范啊！ 大家看了这篇文章有什么感受？欢迎大家在后面给我留言！你们的热情鼓励，是我坚持不懈地更新文章的巨大精神动力！谢谢大家！
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