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芝诺是2500年前一位古希腊的哲学家，他想出了许多著名的悖论，其中一个相信不少人都听说过，因为那是一个故事，叫做阿基里斯与龟。 善跑英雄阿基里斯和乌龟比赛跑，因为龟跑得很慢，阿基里斯决定让它100米，然后再开始跑。当阿基里斯冲刺了100米到了乌龟原来出发的位置，但这时乌龟已经爬了10米。 所以阿基里斯不得不继续追赶乌龟。当他又跑了10米到达乌龟原来的位置时，乌龟又爬了1米，所以阿基里斯还得继续追赶，如此循环往复！ 所以这个悖论的记录那是：阿基里斯不能追上乌龟！这太可怕了，因为我们都知道他肯定能追上，事实上就是能追上。 芝诺提出的另一个悖论和这个很相似，是这样的，很简单，任何人都可以随时做这个动作感受一下。 举起双手，手心相对进行拍掌动作，这个动作很简单。如果保持一只手不动，比如说左手不动，右手慢慢靠近左手直到完成击掌。 当你这么做的时候，你实际上是在不断减半双手间的距离，比如说两只手开始相距1米远，当右手靠近左手的过程中，你在不断对1米的距离进行减半，减半，再减半，开始相距1米，然后是0.5米，0.25米…因为有无限多次的减半，所以你不可能完成击掌！但显然不是这样的，这是个悖论。 到底发生了什么？为什么一个有无限多步骤的过程就这样结束了呢？ 当然，从数学角度来解释上面的问题会很简单，数学家早已经搞定了这个问题。简单说一下，假设两只手开始相距1米，第二次靠近时右手靠近了1/2米，继续靠近，双手距离又经过了1/4米… 右手走过的距离就是：S=1/2+1/4+1/8+1/16… 这里有一个小技巧，将上面整个数列乘以1/2，我们就得到下面的算式： （1/2）S=1/4+1/8+1/16+1/32… 现在将两列相减，左边我们得到（1/2）S，而右边要一项一项减，记住第一列数据的第一个数也就是1/2拉下来，从第二个数1/4开始减第二列的第一个数（1/4），我们会发现1/4和1/4抵消，1/8和1/8抵消…，后面所有项都抵消了，只剩下1/2。 也就是1/2S=1/2，即S=1。所以一共就是1米，也就是说右手走过的距离是1米，即便经历了无限多个步骤，右手走过的距离还是1米！ 当然时间也是很重要的一方面，如果你双手每靠近半米需要一秒钟，在无穷多的时间后能走完1米，但你花费了无穷多的时间。但事实上并不是如此，只需要2秒钟你就能完成击掌动作，算法同上面类似。 所以这样的级数我们说它是“良态”的，当你一项一项加起来，这列数的和越来越靠近某个数。如果级数的部分和越来越靠近某数时，我们就说它是“良态”的，而加到无穷多项时，级数刚好等于那个值，这就是悖论的真相。 这样的悖论给人的感觉就像你在有限的时间里完成了一个无穷多步的过程，这个过程并没有最后一步，那你是如何完成的呢？ 这同样是个悖论，这个问题困惑了人们两千多年，很多著名的思想家都曾被这个问题难倒。这涉及到一个问题，如果我们在现实世界，把一件东西（或时间）无限次的分割下去，这样能做到吗？也就是说，时间和空间可以被无限分割吗？ 或许真正的无限只存在于数学里，在物理学领域，普朗克长度和时间就是最小的空间和时间单位！ |
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