导数考点分析醅经典例题讲解
知识梳理：
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)函数f(x)的导函数称函数为f(x)的导函数．
=0（c为常数）；（2）（a为任意常数）；
（3）(4);
(5);(6);
（7）；（8）
（9）f(x)＝tanxf′(x)＝
；（2）；
（3）（c为常数）；（4）；（5）。
5、复合函数求导的运算法则
一般地，设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′x＝φ′(x)，函数y＝f(u)在u处有导数y′u＝f′(u)，
则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝＝．
复合函数y＝f(ax＋b)的导数为(f(u))′＝＝.
6、函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0f(x)为；
f′(x)≤0f(x)为．
函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；
如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
求f′(x)；
求方程的根；
检查f′(x)在方程的根左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取
得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
求f(x)在(a，b)内的；
将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1、曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()
A．y＝x－1B．y＝－x－1C．y＝2x－2D．y＝－2x－2
[解析]本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
2曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()
A．1B.2C．eD.
[解析]本题主要考查导数的意义．y′＝′＝ex，所以k＝e0＝1.
3、与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()
A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0
[解析]直线2x－y＋4＝0的斜率为k＝2.由y＝x2得y′＝2x，令2x＝2，得x＝1.所以切点为
(1,1)，斜率k＝2，则所求切线为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0为所求．
4若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第二象限，则函数f′(x)的图像是()
[解析]由题意可知在第二象限
?b>0，又f′(x)＝2x＋b，故选C.
设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ，则导数f′(1)的取值范围为()
A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]
[解析]f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin.
θ∈，θ＋.∴sin∈，
f′(1)∈[，2]，故选D.
已知f(x)＝(2x＋1)2，则f′(x)＝________.
[解析]f(x)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1，f′(x)＝8x＋4.
已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
解析主要考查导数及函数的求值．
f′(x)＝－f′sinx＋cosx，f′＝－f′in＋cos，
f′＝，f′＝，
f＝f′cos＋sin＝·＋＝1.
函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)＝________.
[解析]f(x)＝，f′(x)＝，切线斜率f′(x0)＝＝0，x0＝e，f(x0)＝f(e)＝.
如果偶函数y＝f(x)的图像如图，那么导函数y＝f′(x)的图像可能是()
[解析]由图形语言，不妨设函数y＝f(x)在(－b，－a)和(0，a)上为增函数(b>a>0)，在(－a,0)和(a，b)上为减函数，则导函数y＝f′(x)在(－b，－a)和(0，a)上有f′(x)>0.在(－a,0)和(a，b)上有f′(x)<0，函数y＝f′(x)的图像在(－b，－a)上时在x轴上方，在(－a,0)上时在x轴下方，在(0，a)上时在x轴上方，在(a，b)上时在x轴下方，故选A.
下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是()
A．B．C．D．解析对于，f(x)在原点附近为增函数，f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，
一定不正确；对于，同理，导函数开始应在x轴上方，一定不正确，故选B.
函数f(x)＝ax2－b在区间(－∞，0)内是减函数，则a，b应满足()
A．a<0且b＝0B．a>0且bRC．a<0且b≠0D．a<0且bR
解析f′(x)＝2ax，当x<0时，由f′(x)＝2ax<0，得a>0，a>0，bR.
12、函数y＝ax3－x在R上是减函数，则()
A．a＝B．a＝1C．a＝2D．a≤0
[解析]y′＝3ax2－1，
函数y＝ax3－x在R上是减函数，
3ax2－1≤0在R上恒成立，a≤0.
13、设aR，若函数y＝ex＋ax，xR有大于零的极值点，则()
A．a<－1B．a>－1C．a≥－D．a<－
先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．
解析y′＝ex＋a，由条件知，有解，a＝－ex<－1.
函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值、最小值分别是()
A．5；－15B．5；－4C．－4；－15D．5；－16
[解析]y′＝6x2－6x－12，令y′＝0x＝－1(舍去)或x＝2.
x＝0时y＝5，x＝2时y＝－15，x＝3时y＝－4.ymax＝5，ymin＝－15.故选A.
函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
[解析]本题主要考查求导公式和单调区间．
f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0得－1
f(x)的单调减区间为(－1,11)．
函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
[解析]本题考查利用导数判断函数的极值点．
f(x)＝x3－3x2＋1，f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，x1＝0，解得x2＝2.
x<0时，f′(x)>0；02时，f′(x)>0.x＝2时，f(x)取极小值．
已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)．求过点P的切线方程．
[解析]设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0－x.又f′(x)＝3－3x2，
切线斜率k＝＝3－3x，即3x0－x－2＝(x0－2)(3－3x)
(x0－1)[(x0－1)2－3]＝0，解得x0＝1或x0＝1±，
相应的斜率k＝0或k＝－9±6.
切线方程为y＝2或y＝(－9±6)(x－2)＋2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a、b、c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导．
x＝±1使方程f′(x)＝0，
即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得
又f(1)＝－1，a＋b＋c＝－1
由解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x>1或x<－1时，f′(x)>0，当－1
函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，
当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
例1(1)若f′(x0)＝2，则的值为________；
设函数f(x)在x0点可导，则下列极限等于f′(x0)的是()
A.B.C.D.
解法1：令x0－Δx＝x′0，则当Δx→0时，x′0→x0，
＝f′(x′0)＝f′(x0)．
解法2：＝＝f′(x0).
例求下列函数的导数：y＝3xex－2x＋e；
y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′
＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.
y＝；(5)y′＝＝＝.
y＝xcosx－sinx.
(6)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
y＝(1＋sinx)2；y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2cosx(1＋sinx)．
y＝ln；
(8)y′＝＝··(x2＋1)′＝.
y＝cos32x＋ex；(9)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.
y＝lg.
(10)y′＝＝··(1－x2)′＝.
考点三、导数的几何意义
例已知曲线方程为y＝x2，
(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程；(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程．
[解析](1)A(2,4)在y＝x2上，
由y＝x2得y′＝2x，y′＝4.因此所求直线的方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)方法1：设过B(3,5)与曲线y＝x2相切的直线方程为y－5＝k(x－3)，即y＝kx＋5－3k.
由，得：x2－kx＋3k－5＝0.Δ＝k2－4(3k－5)＝0，整理得(k－2)(k－10)＝0，
k＝2或k＝10.所求的直线方程为：2x－y－1＝0，或10x－y－25＝0.
方法2：设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2得y′＝2x，y′＝2x0，
由已知kPB＝2x0，即＝2x0，将y0＝x代入上式整理得：x0＝1或x0＝5，
切点坐标为(1,1)，(5,25)，所求直线方程为2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.
点评(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．
(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解析(1)∵f′(x)＝3x2＋1，f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
切线的方程为y＝13x－32.
(2)解法1：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又直线l过原点(0,0)，
0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，x0＝－2，
y0＝－26，k＝13.直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
解法2：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，又k＝f′(x0)＝3x＋1，＝3x＋1，解之得，x0＝－2，
y0＝－26，k＝13.直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)切线与直线y＝－＋3垂直，
切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，x0＝±1，
，或，
切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.
例已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；
若不存在，说明理由；
(3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方．
[分析](1)求f′(x)转化成恒成立问题．
(2)假设存在a，求出a值进行检验．
[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对xR恒成立．
3x2≥0，只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
故f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，则a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x(－1,1)恒成立．
－1
在x(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：f(－1)＝a－2
f(x)的图像不可能总在直线y＝a的上方．
已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
[分析]依据导数的符号来判断函数的单调性，再由单调性求最值．
[解析](1)f′(x)＝(x－k＋1)ex令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) －ek－1 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)，
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1.讨论函数f(x)的单调性．
分析本题考查了导数的计算、导数的应用，体现了较强的分析能力、转化能力及应用能力，还体现了分类讨论思想．解题思路是求函数导数，讨论参数，确定导数的正负，判定函数的增减
[解析](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋2ax＝.
当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1
则当x时，f′(x)>0；故f(x)在上单调递增，
x时，f′(x)<0.在上单调递减.
例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)．如图所示．(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值．
[解析](1)结合图像可得：
x (－∞，1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 由上表可得f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.
(2)解法1：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5得，
，解得a＝2，b＝－9，c＝12.
解法2：设f′(x)＝m(x－1)(x－2)＝mx2－3mx＋2m，
又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
所以a＝，b＝－m，c＝2m，f(x)＝x3－mx2＋2mx.
f(1)＝5，－m＋2m＝5，m＝6，a＝2，b＝－9，c＝12.
[点评]本题要求学生善于随机应变，根据实际情况，读图像，列表格，翻译不等式，定极大值，很好的考查了学生思维的灵活性，将传统二次函数问题结合导数方式出现，很好的兼顾了基础与能力的要求、新旧内容的衔接，源于教材又不拘泥于教材，是一道训练读图识图能力，运用“数形结合”思想解决问题的好题．
因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0且3x2＋2ax＋b＝0的两根分别为x1，x2，所以f(x)＝x1或f(x)＝x2，
当x1是极大值点时，f(x1)＝x1，x2为极小值点，且x2>x1，如图(1)所示，可知方程f(x)＝x1有两个实根，f(x)＝x2有一个实根，故方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根；
当x1是极小值点时，f(x1)＝x1，x2为极大值点，且x2
综合以上可知，方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0共有3个不同实根．
设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[分析]先对f(x)运用求导法则求导，再由题目条件求出a，b值．
(2)求出a，b值之后，用于解决第二问，再研究导数求极值．
[解析](1)f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1f′(x)＝6x2＋2ax＋b
由题意知－＝－，a＝3.又f′(1)＝0，6×12＋2a＋b＝0，
6＋6＋b＝0，b＝－12.a＝3，b＝－12.
(2)由(1)知a＝3，b＝－12.f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x2＋x－2)＝6(x＋2)(x－1)
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
f′(x)随x变化如下表
x (－∞，－2) －2 (－2,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 ∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，在x＝1处取得极小值f(1)＝－6.
[点评]该题考查用导数研究三次函数的单调性与极值．三次函数含参数，需要根据条件求参数，考查学生的运算能力．
例3已知函数f(x)＝ax2＋lnx(x>0)．
(1)当a＝－时，求函数f(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
[分析]本题主要考查了函数的性质和利用导数研究函数的最值等知识，同时也考查了分类讨论
的思想和函数与方程思想．
[解析](1)f(x)＝－x2＋lnx(x>0)，
f′(x)＝－x＋＝－＝－.
令f′(x)＝0，得x1＝2，x2＝－2(舍去)，
当x[1,2]时，f′(x)≥0；当x[2，e]时，f′(x)≤0，
在区间[1，e]上，f(x)max＝f(2)＝－＋ln2.
(2)f(x)＝ax2＋lnx(x>0)，f′(x)＝ax＋＝(x>0)
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的；
当a<0时，
f′(x)＝＝由f′(x)>0得：
由f′(x)<0得：.又x>0，f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
[点评]近年来，函数与导数、不等式结合的问题成为高考考查的热点．这类问题或给出新的情景，理解起来有一定的难度，或需要较强的运算和构造能力，给我们整理式子和寻找问题的突破口带来困难．因此，我们在复习时需要对这类问题进行针对性的训练．
已知函数f(x)＝x2ex，求函数在[－1,1]上的最值．
[解析]f(x)＝x2ex，
f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(2x＋x2)．
令f′(x)＝0，x＝0或x＝－2(舍去)．
f(0)＝0，f(－1)＝e－1＝，f(1)＝e，
f(x)max＝f(1)＝e，f(x)min＝f(0)＝0.
求函数f(x)＝x4－lnx4，的最值．
[解析]函数f(x)＝x4－lnx4在上可导，且f′(x)＝4x3－＝.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1(舍去)．
f(－e)＝e4－4，＝e－4＋4，f(－1)＝1，
并且e4－4>e－4＋4>1，
函数f(x)＝x4－lnx4，x[－e，－]的最大值为e4－4，最小值为1.
[点评]求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小值.例设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析](1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋.
于是解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
[解析]设直线l与曲线C1切于点(x1，y1)，与曲线C2切于点(x2，y2)，
则y1＝x，y2＝－(x2－2)2.
由y＝x2，得y′＝2x1，
直线l的方程可以表示为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x.
又由y＝－(x－2)2＝－x2＋4x－4.
y′|x＝x2＝－2x2＋4.
直线l的方程可以表示为y＋(x2－2)2＝(－2x2＋4)(x－x2)，
即y＝(4－2x2)x＋x－4.
由题意可得，和表示同一条直线．
从而有?
x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
若x1＝0，则由可得切线方程为y＝0；
若x2＝0，则由可得切线方程为y＝4x－4.
适合题意的直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
例已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝(a>0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)若以y＝F(x)(x(0,3])图像上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤
恒成立，求实数a的最小值；
是否存在实数m，使得函数y＝g＋m－1的图像与y＝f(1＋x2)的
图像恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
[解析](1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(x>0)，(a>0)，F′(x)＝－＝(x>0)
a>0，由F′(x)>0?x(a，＋∞)，F(x)在(a，＋∞)上单调递增．
由F′(x)<0?x(0，a)，F(x)在(0，a)上单调递减．
F(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)F′(x)＝(0
a≥。
当x0＝1时，－x＋x0取最大值.a≥，amin＝.
若y＝＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝ln(x2＋1)的图像恰有四个不同交点，
即x2＋m－＝ln(x2＋1)有四个不同的根，亦即m＝ln(x2＋1)－x2＋有四个不同的根．
令G(x)＝ln(x2＋1)－x2＋，
则G′(x)＝－x＝＝.
当x变化时G′(x)，G(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1) (－1,0) (0,1) (1，＋∞) G′(x)的符号 ＋ － ＋ － G(x)的单调性 ↘ ↗ ↘ 由表格知：G(x)极小值＝G(0)＝，
G(x)极大值＝G(1)＝G(－1)＝ln2>0.
画出草图可知，当m时，
y＝G(x)与y＝m恰有四个不同的交点，
当m时，y＝g＋m－1＝x2＋m－的图像与y＝f(1＋x2)＝
ln(x2＋1)的图像恰有四个不同的交点．
1．函数y＝x－sinx，的最大值是()
A．π－1B.－1C．πD．π＋1
解析f′(x)＝1－cosx≥0，f(x)在上为增函数f(x)的最大值为f(π)＝π－sinπ＝π，
2．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－3
解析因为y′＝3x2－12，由y′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，
得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2
3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是()
A．m≥B．m>C．m≤D．m<
解析由f′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
4．当x≥2时，lnx与x－x2的关系为()
A．lnx>x－x2B．lnx
解析构造函数F(x)＝lnx＋x2－x，则F′(x)＝＋x－1＝.
x≥2，F′(x)>0，F(x)在[2，＋∞)上为增函数．
又F(2)＝ln2＋2－2＝ln2>0，F(x)>0在[2，＋∞)上恒成立，
即lnx＋x2－x>0，lnx>x－x2.
已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()
A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件
解析本题考查了导数的应用及求导运算．
x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，得x＝9时；当x(0,9)时，y′>0，
x(9，＋∞)，y′<0.y先增后减，x＝9时函数取最大值，选C.
二、填空题
．如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，
则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.
[答案]2，－2
．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为____．
[解析]由已知得a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝－＜0(x＞1)，g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，
g(x)＜g(1)，g(1)＝1，＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，a≥1.
三、解答题
．已知a为实数，函数f(x)＝(x2＋1)(x＋a)，若f′(－1)＝0，求函数y＝f(x)在上的
最大值和最小值．
解析f′(x)＝3x2＋2ax＋1.f′(－1)＝0，3－2a＋1＝0，即a＝2.
f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)≥0，得x≤－1或x≥－；
由f′(x)≤0，得－1≤x≤－.因此，函数f(x)的单调递增区间为和，
单调递减区间为f(x)在x＝－1取得极大值f(－1)＝2，f(x)在x＝－取得极小值
f＝.又f＝，f(1)＝6，且>，f(x)在上的最大值为f(1)＝6，
最小值为f＝.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，求f(x)的极值．
[解析]f(x)过(1,0)点，f(1)＝1－p－q＝0.
f′(x)＝3x2－2px－q，且f(x)与x轴相切于点(1,0)，
f′(1)＝3－2p－q＝0.
解方程组得
f′(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，
其图像如图所示．
f(x)＝x3－2x2＋x，f(x)极大值＝f＝＋＝，
f(x)极小值＝f(1)＝13－2×12＋1＝0.
6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x＋12a－4(aR)．
(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)；
(2)若f(x)在x＝x0处取得最小值，x0(1,3)，求a的取值范围．
解析(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a
由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，
由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线经过点(2,2)．
(2)由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0
()当Δ≤0，即－－1≤a≤－1时，f(x)没有极小值．
()当Δ>0，即a>－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得
x1＝a－，x2＝－a＋故x0＝x2，由题设知，1<－a＋<3
当a>－1时，不等式1<－a＋<3无解
当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3得－
综合()(ⅱ)得a的取值范围是(－，－－1)．
7．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解析(1)当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了＝2.5(小时)，耗油×2.5
＝17.5(升)．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为f(x)升．
依题意得f(x)＝·＝x2＋－(0
f′(x)＝－＝(0
令f′(x)＝0，得x＝80.
当x(0,80)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x(80,120]时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
当x＝80时，f(x)取到极小值f(80)＝11.25(升)．
因为f(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
-1-
|
|
