直线与圆锥的位置关系
一、选择题
1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()
A．[－，]B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]
解析：设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1.所以－1≤k≤1.
答案：C
2．设斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有()
A．4条B．5条C．6条D．7条
解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆C：＋＝1，可得3x2＋4bx＋2b2－4＝0，由Δ＝16b2－12(2b2－4)>0，可得b2<6，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝×＝×＝，分别取b2＝，，时，可分别得|AB|＝2,1,3，此时对应的直线l有6条．
答案：C
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为()
A.B.C.D.
解析：在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，|PF1|＝2|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|＝a，|PF1|＝a，又|PF1|2－|PF2|2＝|F1F2|2，即a2－a2＝4c2，∴e＝＝.
答案：A
4．过抛物线y2＝4x的焦点F作两条弦AB和CD，且AB⊥x轴，|CD|＝2|AB|，则弦CD所在直线的方程是()
A．x－y－1＝0B．x－y－1＝0或x＋y－1＝0
C．y＝(x－1)D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)
解析：依题意知AB为抛物线的通径，|AB|＝2p＝4，|CD|＝2|AB|＝8，显然满足条件的直线CD有两条，验证选项B，由得：x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，此时|CD|＝x1＋x2＋p＝8，符合题意．同理，x＋y－1＝0也符合题意．
答案：B
5．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为斜边作等腰直角三角形F1MF2，如果线段MF1的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是()
A.＋B.－C.D.
解析：记双曲线的焦距为2c.依题意知点M在y轴上，不妨设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F1(－c,0)，M(0，c)，线段MF1的中点坐标是(－，)．又线段MF1的中点在双曲线上，于是有－＝1，即－＝4，－＝4，(e2)2－6e2＋4＝0，e2＝3±.又e2>1，因此e2＝3＋，注意到()2＝3＋，e＝.
答案：C
6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()
A．2B.C.D.
解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4×≤.
答案：C
二、填空题
7．若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．
解析：由题意易知两交点的横坐标为－c，c，纵坐标分别为－，，所以由＝2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝(负根舍去)．
答案：
8．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________.
解析：由y2＝8x知2p＝8，p＝4.
设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F，
∴直线AB方程为y＝(x－2)，
把点B(xB，yB)代入上式得：
yB＝(xB－2)＝(－2)，
解得yB＝－2，∴xB＝，
∴线段AB中点到准线的距离为＋2＝.
答案：
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析：根据抛物线的焦半径公式得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
三、解答题
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足＝＋，求k的值．
解：(1)∵双曲线－y2＝1的离心率为，
∴椭圆的离心率为.
又∵b＝1，∴a＝2.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝0.
∵＝＋，
∴m＝(x1＋x2)，n＝(y1＋y2)，
∵点M在椭圆上，∴m2＋4n2＝4，
∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2
＝[(x＋4y)＋3(x＋4y)＋2x1x2＋8y1y2]
＝[4＋12＋8y1y2]＝4.
∴y1y2＝0，
∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝k·(－)＋1＝0，
即k2＝，∴k＝±.
此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16＞0
∴k的值为±.
11．椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴为短轴的倍，直线y＝x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右顶点，·＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上两点E、F使＋＝λ，λ∈(0,2)，求△OEF面积的最大值．
解：(1)根据题意，a＝b，C(a,0)，
设A(t，t)，则t>0，＋＝1.
解得t2＝＝b2，即t＝b，
∴＝(b，b)，＝(a,0)，
·＝ab＝b2＝，
∴b＝1，a＝，
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF中点为M(x0，y0)，
∵＋＝λ，
∴
∵E、F在椭圆上，则
由①－②得＋y－y＝0，
∴kEF＝＝－×＝－，
∴直线EF的方程为y－λ＝－(x－λ)，
即x＝－3y＋λ，代入＋y2＝1，
整理得4y2－2λy＋λ2－1＝0，
∴y1＋y2＝λ，y1y2＝，
∴|EF|＝＝|y1－y2|
＝·＝·，
又∵原点O(0,0)到直线EF的距离为h＝，
∴S△OEF＝|EF|h＝
＝≤×＝，
当λ＝时等号成立，所以△OEF面积的最大值为.
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用心爱心专心
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