上海中学数学·2012年第12期47
抛物线中的定点定值
214031江苏省无锡市第一中学刘峰
最近笔者在教学过程中发现了抛物线的一
些性质，现将其中关于定点定值的部分性质整
理如下．为行文方便，约定文中抛物线方程都为
Y。一2p,r(>0)，0表示坐标原点，文中所有直
线斜率都存在．
性质1：过P(一t，O)，(f>0)任作一直线交
抛物线于点A、B，点C为B关于轴对称点，则
直线AC恒过定点(t，0)．
证明：设A(易，)，B(券，)，c(券，一)，
因为置线AB过点P，所以是一是，即
二旦一一二旦一
，整理得r一，由AI、，，，正q，、
一(券一(
c坐标可得直线Ac方程为一二2p’一Y二lYz
，
即一(—f)，则直线AC恒过定点(￡，0)．
性质2：A为抛物线上异于原点的任意一
点，连接AO交直线一一2p于点C，过C作I，
轴的平行线，交抛物线于点B，则弦AB恒过点
(2p，0)．
证明：设A(．Yo，Y。)，则直线OA的方程为
一可得C(--2等)''贝0可得B(等，
．
4
一
4P
。
2)，所以走一二专一蚕，从而可
2pY
得直线AB的方程为一竺一2p)，则弦
AB恒过点(2P，0)．
的过程，同学们报以热烈的掌声．笔者又借此追
问：由此你能得到等腰三角形的什么特点?一
学生站起来口答：“等腰三角形的顶角平分线，
底边上的中线，底边上的高线互相重合．”笔者
对学生回答很满意，这正是等腰三角形的重要
性质．通过一题多变学生对全等的应用得到了
巩固，又对等腰三角形有了深刻的认识．学生的
思维在题目的不断变化中打开，达到了思维的
性质3：过抛物线的焦点F任作弦AB，分
别过A、B作轴的平行线，分别交抛物线的准
线于C、D，则AD、BC交于原点0．
证明：设A(2
，)，B(，3，)，则c(一
鲁，)，D(一等，)，因为AB过焦点F，所以
是m墨一面0--yz，整理可z—
p，则是一五Yl--Y2
2p‘2
—
2p(y一z)Y+P，从而可设
直线AD的方程为Y一是AD+6，将A(ffl，Y)带
人可得b一0，从而直线AD过原点，同理直线
BC过原点，从而结论成立．
性质4：已知A(_f。，Y。)是抛物线上的一个
定点，过A做抛物线的两弦AB、AC，若是AB·
k一m(m≠0)，则直线BC恒过定点(一，
一Y。)．
证明：设A(券，B(券)、c(豸)，
过B、C两点的直线方程可整理为：2p：c一(Y+
Y2)Y+Yl2—0．已知kAB·忌Ac—(≠0)，即
言二·考二=，整理得2p(券一)一3，；；。‘z77z
2p222
(+)(--y。)+YYz一0．易见点(。一，一
Y。)在直线BC上，即结论成立．
性质5：A、B为抛物线上任意满足是m+
较高层次，增强了学生分析问题、解决问题的能
力及对习题的应变能力，同时又培养了学生的
发散思维，激发了学生的学习兴趣．
总之，在数学教学中，教师应根据教学需要
给学生创设宽松的学习氛围，充分调动学生学
习数学的积极性，使学生进入自主学习的状态，
进而激发学生的学习兴趣，获得数学课堂教学
的大容量、高效率．
42上海中学数学·2012年第12期
抓“双基’’促“建构"追寻高效数学教学
一道中考题的阅卷感悟
226363江苏省南通市通州区新联中学崔云
2012年南通中考试卷第25题是一道简
单的函数应用问题，题目是从函数图像中获
取信息，运用函数知识解决实际问题．笔者有
幸参加了这道试题的阅卷工作，有一些发现
与感悟．
1试题分析
题目：(2012年南通第25题)如图1，甲、乙
两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从
甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离
是一m的两点，则动直线AB恒过定点(。，)．IVBi一『=P一P，则+
㈣2测…一++一知
是一+一，既有一，过A、B的—l_+—吾；又因为-ABt—P+Pz一
线方程可整理一一葡2p高+面1一+
+，易见点(o，)在直线A1__2mmB上，即1--cod(臼+号
动直线AB恒过定点(O，)．
性质6：P(，Y)为抛物线上一定点，A、B
为抛物线上满足是一一k的任意两动点，则有
n一一
Yo．
证明：设A(．-y1)、B()，则一
一
2p同理k(~--2
T
p-自kCA=--
yoyo瓠T。。
2p2户
知，y．．+一一(y。+Y)，即Y+一一2y。，从
而]~AB--一P有]gAB=--~
．
-陛质7：过抛物线的焦点F任作弦AB、
CD测击+击一吾，击+一1．
证明：以F为极点，抛物线开口为正方向
对称轴为极轴，建极坐标系，则抛物线的极坐标
方程为p一--，设0为FP与极轴的夹角，
则A、B的极半径为P一IFA】一，lO2—
2p．2
性质8：过抛物线的焦点F任作弦AB，弦
AB的垂直平分线交抛物线的对称轴于C，则
lABI：lFC一2．
证明：以F为极点，抛物线开口为正方向，
对称轴为极轴，建极坐标系，则抛物线的极坐标
方程为fO—，设0为FA与极轴的夹角，
D为AB的中点，则FDI一÷(1FAl—lFBI)
一
(～)一pcosO
，而fCDIcos／)1cosOsin0—2、1一+”
一一(+)===IAB
有结论成立．
以上部分性质特殊化后可以得到许多熟知
的结论，在此不一一赘述；其中除性质4、性质
8，其他性质都可推广到椭圆与双曲线中去．
参考文献
[1]护成躲，姜官扬．对一道高考题的拓展性研究
EJ3．上海中学数学，2011，1～2．
E2]严军，周勇泉．抛物线一个几何性质的发现[J]．
中学数学月刊，2006，02．
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